- •Федеральное агентство по образованию
- •Учебное пособие
- •Список основных условных обозначений
- •Предисловие
- •Введение в инженерную реологию пищевой промышленности Основные общие понятия инженерной реологии пищевой промышленности и место реологии среди родственных дисциплин
- •Краткий исторический обзор развития реологии
- •Глава 1. Общая реология
- •1.1. Формализации Лагранжа и Эйлера
- •1.2. Законы сохранения вещества, количества движения и энергии
- •1.3. Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии
- •1.4. Тензор напряжений
- •1.5. Тензор скоростей деформаций
- •1.6. Вязкость, упругость, различные реологические эффекты
- •1.7. Реологические уравнения сдвигового течения
- •Реологические уравнения
- •1.8. Вязкоупругость
- •1.9. Общая классификация реологических моделей пищевых сред
- •1.10. Микрореология
- •Глава 2. Реометрия
- •2.1. Классификация приборов и методов реометрии
- •2.2. Приборная инвариантность, имитационность и обработка данных в реометрии
- •2.3. Теория капиллярных вискозиметров
- •Реологические свойства казеина
- •2.4. Теория ротационных вискозиметров
- •2.5. Теория конических пластометров
- •Коэффициенты конического пластометра
- •2.6. Элементы теории различных реометров
- •2.7. Некоторые результаты реометрии пищевых сред
- •Значения коэффициента динамической вязкости 103, Пас
- •Значения предельного напряжения сдвига 0, Па
- •Значения коэффициента динамической вязкости крови убойных животных 103, Пас
- •Значения коэффициента динамической вязкости меланжа 103, Пас
- •Значения коэффициента динамической вязкости животных жиров, 103, Пас
- •Реологические свойства фаршей
- •Эталонные характеристики фарша мясного
- •Компрессионные характеристики фарша сосисок русских
- •Релаксационные характеристики фарша сосисок русских
- •Метареологические свойства мяса
- •Значения величин, необходимых для расчета плотности по формуле (2.192)
- •Зависимость вязкости от температуры
- •Зависимость безразмерной вязкости от приведенного градиента скорости сдвига
- •Значения коэффициентов n и k
- •Значения эффективной вязкости в
- •Значения эффективной вязкости эф 103, Па с в зависимости от температуры и градиента скорости
- •Влияние температуры сахарного раствора на коэффициент динамической вязкости
- •2.8. Связь между структурно-механическими характеристиками и сенсорной оценкой качества продуктов
- •Вязкостные свойства пищевых продуктов
- •Данные для ориентировочной органолептической оценки вязкости пищевых масс
- •Глава 3. Реодинамика
- •3.1. Резание пласта вязкопластичного продукта
- •3.2. Течение пищевых сред по наклонной плоскости
- •Уравнения расхода жидкости
- •3.3. Течение пищевых сред в трубах прямоугольного сечения
- •3.4. Течение в различных рабочих каналах пищевых машин и аппаратов
- •Формулы для сложных каналов
- •3.5. Упрощенная линейная теория червячных нагнетателей
- •3.6. Уточненная гидродинамическая теория червячных нагнетателей
- •Значения поправочных коэффициентов kv и kр расходно-напорной характеристики червячного нагнетателя
- •Расчет поправочных коэффициентов для гидродинамической теории червячных нагнетателей в программе MathCad
- •3.7. Расчет червячных экструдеров по методу совмещенных расходно-напорных характеристик
- •3.8. Вероятность формосохранения пищевых изделий
- •3.9. Сопротивление движению лопасти смесительного аппарата
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Методика проведения исследований
- •4.3. Обобщение результатов реологических исследований
- •4.4. Смеси мороженого
- •4.5. Маргарины
- •4.5.1. Маргарины с содержанием жира 82 %
- •4.5.2. Маргарины с содержанием жира от 40 до 75 %
- •4.6. Кулинарные жиры
- •4.7. Пищевой топленый свиной жир
- •4.8. Мясной студень
- •4.9. Плавленые сыры
- •4.10. Кисломолочные продукты
- •4.10.1. Сметана с содержанием жира 20 %
- •4.10.2. Кисломолочный напиток «Бифидок»
- •4.10.3. Кисломолочный напиток «Ряженка»
- •4.10.4. Кисломолочный напиток кефир «Фруктовый»
- •4.10.5. Кисломолочный напиток кефир «Детский»
- •4.11. Сливочный сыр сладкий
- •4.12. Творог
- •4.13. Майонезы
- •4.13.1. Майонез провансаль «Утро»
- •4.13.2. Майонез летний «Нежко»
- •4.13.3. Майонез «Провансаль для салатов»
- •4.13.4. Майонез «Провансаль новый»
- •4.13.5. Майонез «Провансаль»
- •4.14. Масло «Веста»
- •4.15. Кетчуп «Шашлычный острый»
- •Список литературы к глАве 4
- •Приложение к главе 4
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира крем-брюле
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения смеси мороженого пломбира крем-брюле в интервале температур 5,0–40,0 °с
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого сливочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого сливочного крем-брюле
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого молочно-шоколадного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого молочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира сливочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира кофейного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира земляничного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира шоколадного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира сливочного
- •Значения масштабного касательного напряжения смеси мороженого
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина бутербродного «Славянский»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения маргарина бутербродного «Славянский» в интервале температур 5,1–35,1 с
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина бутербродного «Особый»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина столового «Эра»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина «Сливочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина столового «Молочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина мягкого «Утро»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина мягкого «Росинка»
- •Реологические характеристики мягкого маргарина «Домашний»
- •Результаты исследования реологических характеристик мягкого маргарина «Лакомка»
- •Результаты экспериментальных исследований влияния температуры продукта и градиента скорости на реологические характеристики маргарина брускового «Росинка»
- •Результаты исследований эффективной вязкости и касательного напряжения маргарина брускового «Утро»
- •Результаты исследований влияния температуры продукта и градиента скорости на реологические характеристики маргарина брускового «Сливочный новый»
- •Значения эффективной вязкости и касательного напряжения маргарина брускового «Домашний» в зависимости от температуры продукта и градиента скорости
- •Результаты исследований вязкостных характеристик и касательного напряжения маргарина для жарения «Волшебница»
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Новинка»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости кулинарного жира «Новинка» в интервале температур 10,0–30,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Белорусский»
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Прима»
- •Результаты исследования реологических характеристик растительного сала
- •Результаты исследований касательного напряжения и эффективной вязкости кулинарного жира «Фритюрный»
- •Результаты исследования реологических характеристик пищевого топленого свиного жира
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости пищевого топленого свиного жира в интервале температур 12,0–44,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик мясного студня 1-го сорта
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости мясного студня 1-го сорта в интервале температур 10,0–25,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик плавленого сыра «Городской»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения плавленого сыра «Городской» в интервале температур 20,0–60,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Фруктовый»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Новый»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Шоколадный»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Латвийский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Костромской»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Кисломолочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Российский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Советский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Рокфор»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Лето»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Дружба»
- •Сыра плавленого «Дружба» в интервале температур 25,1– 80,0 °с
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Сыр с луком»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Невский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Янтарь»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Угличский»
- •Результаты исследования вязкостных характеристик и касательных напряжений сметаны
- •Результаты исследования реологических характеристик творога
- •Результаты исследования реологических характеристик низкокалорийного майонеза провансаль «Утро»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза летнего «Нежко»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль для салатов» с содержанием жира 36 %
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль новый»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль»
- •Результаты исследования вязкостно-скоростных характеристик масла «Веста»
- •Результаты исследования реологических характеристик кетчупа шашлычного острого
- •Глава 5. Учебно-методический материал
- •5.1. Вопросы и задания для самоконтроля и дистанционного обучения по инженерной реологии
- •5.2. Информационные технологии обучения – примеры программ для персональных компьютеров
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •5.3. Вариант рабочей программы дисциплины «Инженерная реология»
- •Раздел 3
- •Тема 3. Основные структурно-механические свойства пищевых продуктов.
- •Раздел 4
- •Тема 4. Методы и приборы для измерения структурно-механи-ческих свойств пищевых масс.
- •Раздел 5
- •Тема 5. Предельное напряжение сдвига пищевых материалов.
- •Раздел 6
- •Тема 6. Реометрия на ротационных вискозиметрах.
- •Раздел 7
- •Тема 7. Капиллярная вискозиметрия.
- •Раздел 8
- •Тема 8. Реодинамическая теория экструдеров.
- •Раздел 9
- •Тема 9. Реодинамические расчеты трубопроводов, контроль процессов и качества продуктов по структурно-механическим характеристикам.
- •Часть 2. Лабораторный практикум Лабораторный практикум для специальности 271100
- •Лабораторный практикум для специальности 270900
- •Часть 3. Список литературы
- •5.4. Некоторые единицы измерений
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный Указатель
- •Содержание
- •Глава 1. Общая реология 22
- •Глава 2. Реометрия 73
- •Глава 3. Реодинамика 152
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов 183
- •Глава 5. Учебно-методический материал 399
- •196006, Санкт-Петербург, ул. Коли Томчака, дом 28
3.9. Сопротивление движению лопасти смесительного аппарата
Рассмотрим задачу (рис. 3.5), полагая наклон верхней пластины (лопасть мешалки) незначительным и задавая в случае обращенного движения скорость перемещения нижней горизонтальной пластины в отрицательном направлении оси x.
Рис. 3.5. Схема обращенного движения лопасти
В общем виде проекция уравнения движения на ось х имеет вид
, (3.121)
где – плотность; t – время; vх, vу, vz – проекции скорости частицы жидкости на оси х, у, z; р – давление; хх, ух, zх – касательные напряжения на площадках, перпендикулярных первому индексу в направлении второго индекса; qx – проекция ускорения свободного падения на ось х.
В силу горизонтальности оси х qx = 0. Пусть поток стационарный, тогда ; из-за малого наклона верхней пластины и ламинарности потока . Полагаем, что компоненты скорости по осям у и z отсутствуют (vz = vу = 0). Полагаем также, что напряжения сдвига не меняются в направлениях x и z . Тогда напряжение сдвига ух будет функцией координаты y и, опуская индексы при напряжениях, получим из (3.121) уравнение движения равновесия вида
(3.122)
или, приняв
(у) = 1(у) + 2(у), (3.123)
. (3.124)
Физически это означает разбиение задачи на две: течение между неподвижными пластинами под действием перепада давлений внутри участка а и течение под действием движения нижней пластины при отсутствии перепада давлений.
Пусть жидкость подчиняется степенному закону
(3.125)
где – коэффициент динамической вязкости; – скорость сдвига, здесь ; 0, – напряжение сдвига и скорость сдвига при произвольно выбранном приведенном состоянии течения (обычно принимают = 1 с–1); 0 – коэффициент динамической вязкости при скорости сдвига ; n – реологическая константа жидкости (индекс течения).
Часто реологический степенной закон представляют в виде
, (3.126)
где k – реологическая константа жидкости, коэффициент консистенции.
Сравнение формул (3.125) и (3.126) дает
. (3.127)
Интегрируя уравнение (3.124) для 1, получим
. ( 3.128)
В силу симметрии потока при у = 0 1 = 0 и С1 = 0.
Реологическое уравнение можно записать в виде
. (3.129)
Приняв = 1 и используя закон (3.125), получим
. (3.130)
Тогда из выражений (3.128) и (3.130) получим
(3.131)
и
. (3.132)
По условию прилипаемости жидкости к неподвижным стенкам канала запишем
. (3.133)
Определив по условиям (3.133) константу интегрирования С2, запишем
(3.134)
или, в силу равенства ,
. (3.135)
Проведем преобразование и интегрирование для потока под действием движения нижней пластины:
(3.136)
.
Запишем краевые условия и определим константы интегрирования С4 и С5:
;
(3.137)
;
Тогда при
. (3.138)
По принципу аддитивности решений получим
. (3.139)
Продолжим решение в линейной постановке, аналогичной задаче Рейнольдса–Релея.
При n = 1 получим из выражения (3.139)
. (3.140)
Полагая расход через любое поперечное сечение щели постоянным, запишем
. (3.141)
Подставив скорость vx по формуле (3.140) в (3.141) и проведя интегрирование, получим
. (3.142)
На участке х = 0а в некоторой точке хm выполняется условие . Пусть значению хm соответствует ширина щели hm, тогда из выражения (3.142) следует C6 = Uhm и можно записать зависимость (3.142) в виде
. (3.143)
Из геометрических соображений (см. рис. 3.5) свяжем переменные х и h:
. (3.144)
Тогда левую часть уравнения (3.143) можно преобразовать так:
. (3.145)
Подставив выражения (3.145) в (3.143) и разделив переменные, получим
; (3.146)
. (3.147)
Полагая, что давление вне зазора равно р0, запишем условия
р = р0 при h h0 и h h1 = h0 (1 + k). (3.148)
Условия (3.148) и выражение (3.147) дают систему уравнений для нахождения констант hm и С7:
;
(3.149)
.
Решая систему (3.149) и опуская выкладки, получим
(3.150)
и
. (3.151)
Подставляя значения констант hm и C7 по формулам (3.150) и (3.151) в формулу (3.147), получим
. (3.152)
В силу уравнения (3.144) между переменными h и x получим
(3.153)
и из формулы (3.152) получим распределение давления потока на пластину:
. (3.154)
Теперь можно рассмотреть подъемную силу R, действующую на пластину:
. (3.155)
В результате интегрирования
. (3.156)
Эта нелинейная функция от переменной K имеет максимум. Для отыскания величины K для Rmax проведем дифференцирование выражения (3.156) по K и приравняем производную к нулю:
= 0. (3.157)
Решение уравнения (3.157) дает значение K ≈ 1,188. Анализ функции (3.155) и уравнения (3.156) удобно производить при помощи программы MathCаd, расчеты и графики по которой приведены ниже.
Запишем функцию подъемной силы R с точностью до постоянного множителя, где K = x:
. (3.158)
Программа MathCad позволяет получить график функции f(х) – рис. 3.6. Очевидно, график имеет экстремум в области х = 1. Для уточнения аргумента х возьмем производную из выражения (3.158):
(3.159)
и решим задачу, приравняв эту производную к нулю:
; (3.160)
f2 (x) = 0. (3.161)
Решение системы (3.160), (3.161) можно представить графически (рис. 3.7).
И
Рис. 3.6. График
функции
по уравнению (3.158)
Рис. 3.7. Графическое
решение
поиска точки приложения
максимальной
подъемной силы
. (3.162)
Ввиду малости наклона верхней пластины примем касательные напряжения на нижней пластине удовлетворяющими выражению
. (3.163)
Взяв производную по у′ из выражения (3.140), получим
. (3.164)
Подставим выражение (3.164) в правую часть формулы (3.163):
. (3.165)
Используя формулы (3.143), (3.144) и (3.150), подставим в правую часть формулы (3.165) выражения для , h и hm; после несложных алгебраических выкладок получим формулу вида
. (3.166)
Силу сопротивления получим в результате интегрирования выражения (3.166):
; (3.167)
. (3.168)
Формулы (3.162) и (3.168) позволяют рассчитать максимальную подъемную силу и силу сопротивления при значениях, например,
а = 0,2 м; h0 = 10–4 м; U = 0,3 м/с; 0 = 10–1 Па · с.
С помощью программы MathCad получены величины
Fmax = 45,256 H; Rmax = 1,92104 H. (3.169)
Для прочностного расчета крепления лопасти мешалки вычислим точку приложения равнодействующей силы сопротивления движению. Составим выражения для момента равнодействующей МС:
(3.170)
. (3.171)
При k = 1,2 xR 0,42 а.