- •Федеральное агентство по образованию
- •Учебное пособие
- •Список основных условных обозначений
- •Предисловие
- •Введение в инженерную реологию пищевой промышленности Основные общие понятия инженерной реологии пищевой промышленности и место реологии среди родственных дисциплин
- •Краткий исторический обзор развития реологии
- •Глава 1. Общая реология
- •1.1. Формализации Лагранжа и Эйлера
- •1.2. Законы сохранения вещества, количества движения и энергии
- •1.3. Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии
- •1.4. Тензор напряжений
- •1.5. Тензор скоростей деформаций
- •1.6. Вязкость, упругость, различные реологические эффекты
- •1.7. Реологические уравнения сдвигового течения
- •Реологические уравнения
- •1.8. Вязкоупругость
- •1.9. Общая классификация реологических моделей пищевых сред
- •1.10. Микрореология
- •Глава 2. Реометрия
- •2.1. Классификация приборов и методов реометрии
- •2.2. Приборная инвариантность, имитационность и обработка данных в реометрии
- •2.3. Теория капиллярных вискозиметров
- •Реологические свойства казеина
- •2.4. Теория ротационных вискозиметров
- •2.5. Теория конических пластометров
- •Коэффициенты конического пластометра
- •2.6. Элементы теории различных реометров
- •2.7. Некоторые результаты реометрии пищевых сред
- •Значения коэффициента динамической вязкости 103, Пас
- •Значения предельного напряжения сдвига 0, Па
- •Значения коэффициента динамической вязкости крови убойных животных 103, Пас
- •Значения коэффициента динамической вязкости меланжа 103, Пас
- •Значения коэффициента динамической вязкости животных жиров, 103, Пас
- •Реологические свойства фаршей
- •Эталонные характеристики фарша мясного
- •Компрессионные характеристики фарша сосисок русских
- •Релаксационные характеристики фарша сосисок русских
- •Метареологические свойства мяса
- •Значения величин, необходимых для расчета плотности по формуле (2.192)
- •Зависимость вязкости от температуры
- •Зависимость безразмерной вязкости от приведенного градиента скорости сдвига
- •Значения коэффициентов n и k
- •Значения эффективной вязкости в
- •Значения эффективной вязкости эф 103, Па с в зависимости от температуры и градиента скорости
- •Влияние температуры сахарного раствора на коэффициент динамической вязкости
- •2.8. Связь между структурно-механическими характеристиками и сенсорной оценкой качества продуктов
- •Вязкостные свойства пищевых продуктов
- •Данные для ориентировочной органолептической оценки вязкости пищевых масс
- •Глава 3. Реодинамика
- •3.1. Резание пласта вязкопластичного продукта
- •3.2. Течение пищевых сред по наклонной плоскости
- •Уравнения расхода жидкости
- •3.3. Течение пищевых сред в трубах прямоугольного сечения
- •3.4. Течение в различных рабочих каналах пищевых машин и аппаратов
- •Формулы для сложных каналов
- •3.5. Упрощенная линейная теория червячных нагнетателей
- •3.6. Уточненная гидродинамическая теория червячных нагнетателей
- •Значения поправочных коэффициентов kv и kр расходно-напорной характеристики червячного нагнетателя
- •Расчет поправочных коэффициентов для гидродинамической теории червячных нагнетателей в программе MathCad
- •3.7. Расчет червячных экструдеров по методу совмещенных расходно-напорных характеристик
- •3.8. Вероятность формосохранения пищевых изделий
- •3.9. Сопротивление движению лопасти смесительного аппарата
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Методика проведения исследований
- •4.3. Обобщение результатов реологических исследований
- •4.4. Смеси мороженого
- •4.5. Маргарины
- •4.5.1. Маргарины с содержанием жира 82 %
- •4.5.2. Маргарины с содержанием жира от 40 до 75 %
- •4.6. Кулинарные жиры
- •4.7. Пищевой топленый свиной жир
- •4.8. Мясной студень
- •4.9. Плавленые сыры
- •4.10. Кисломолочные продукты
- •4.10.1. Сметана с содержанием жира 20 %
- •4.10.2. Кисломолочный напиток «Бифидок»
- •4.10.3. Кисломолочный напиток «Ряженка»
- •4.10.4. Кисломолочный напиток кефир «Фруктовый»
- •4.10.5. Кисломолочный напиток кефир «Детский»
- •4.11. Сливочный сыр сладкий
- •4.12. Творог
- •4.13. Майонезы
- •4.13.1. Майонез провансаль «Утро»
- •4.13.2. Майонез летний «Нежко»
- •4.13.3. Майонез «Провансаль для салатов»
- •4.13.4. Майонез «Провансаль новый»
- •4.13.5. Майонез «Провансаль»
- •4.14. Масло «Веста»
- •4.15. Кетчуп «Шашлычный острый»
- •Список литературы к глАве 4
- •Приложение к главе 4
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира крем-брюле
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения смеси мороженого пломбира крем-брюле в интервале температур 5,0–40,0 °с
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого сливочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого сливочного крем-брюле
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого молочно-шоколадного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого молочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира сливочного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира кофейного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира земляничного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира шоколадного
- •Результаты исследования реологических характеристик смеси мороженого пломбира сливочного
- •Значения масштабного касательного напряжения смеси мороженого
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина бутербродного «Славянский»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения маргарина бутербродного «Славянский» в интервале температур 5,1–35,1 с
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина бутербродного «Особый»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина столового «Эра»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина «Сливочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина столового «Молочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина мягкого «Утро»
- •Результаты исследования реологических характеристик маргарина мягкого «Росинка»
- •Реологические характеристики мягкого маргарина «Домашний»
- •Результаты исследования реологических характеристик мягкого маргарина «Лакомка»
- •Результаты экспериментальных исследований влияния температуры продукта и градиента скорости на реологические характеристики маргарина брускового «Росинка»
- •Результаты исследований эффективной вязкости и касательного напряжения маргарина брускового «Утро»
- •Результаты исследований влияния температуры продукта и градиента скорости на реологические характеристики маргарина брускового «Сливочный новый»
- •Значения эффективной вязкости и касательного напряжения маргарина брускового «Домашний» в зависимости от температуры продукта и градиента скорости
- •Результаты исследований вязкостных характеристик и касательного напряжения маргарина для жарения «Волшебница»
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Новинка»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости кулинарного жира «Новинка» в интервале температур 10,0–30,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Белорусский»
- •Результаты исследования реологических характеристик кулинарного жира «Прима»
- •Результаты исследования реологических характеристик растительного сала
- •Результаты исследований касательного напряжения и эффективной вязкости кулинарного жира «Фритюрный»
- •Результаты исследования реологических характеристик пищевого топленого свиного жира
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости пищевого топленого свиного жира в интервале температур 12,0–44,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик мясного студня 1-го сорта
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости мясного студня 1-го сорта в интервале температур 10,0–25,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик плавленого сыра «Городской»
- •Средние значения безразмерной эффективной вязкости и безразмерного касательного напряжения плавленого сыра «Городской» в интервале температур 20,0–60,0 с
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Фруктовый»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Новый»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Шоколадный»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Латвийский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Костромской»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Кисломолочный»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Российский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Советский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Рокфор»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Лето»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Дружба»
- •Сыра плавленого «Дружба» в интервале температур 25,1– 80,0 °с
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Сыр с луком»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Невский»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Янтарь»
- •Результаты исследования реологических характеристик сыра плавленого «Угличский»
- •Результаты исследования вязкостных характеристик и касательных напряжений сметаны
- •Результаты исследования реологических характеристик творога
- •Результаты исследования реологических характеристик низкокалорийного майонеза провансаль «Утро»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза летнего «Нежко»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль для салатов» с содержанием жира 36 %
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль новый»
- •Результаты исследования реологических характеристик майонеза «Провансаль»
- •Результаты исследования вязкостно-скоростных характеристик масла «Веста»
- •Результаты исследования реологических характеристик кетчупа шашлычного острого
- •Глава 5. Учебно-методический материал
- •5.1. Вопросы и задания для самоконтроля и дистанционного обучения по инженерной реологии
- •5.2. Информационные технологии обучения – примеры программ для персональных компьютеров
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •5.3. Вариант рабочей программы дисциплины «Инженерная реология»
- •Раздел 3
- •Тема 3. Основные структурно-механические свойства пищевых продуктов.
- •Раздел 4
- •Тема 4. Методы и приборы для измерения структурно-механи-ческих свойств пищевых масс.
- •Раздел 5
- •Тема 5. Предельное напряжение сдвига пищевых материалов.
- •Раздел 6
- •Тема 6. Реометрия на ротационных вискозиметрах.
- •Раздел 7
- •Тема 7. Капиллярная вискозиметрия.
- •Раздел 8
- •Тема 8. Реодинамическая теория экструдеров.
- •Раздел 9
- •Тема 9. Реодинамические расчеты трубопроводов, контроль процессов и качества продуктов по структурно-механическим характеристикам.
- •Часть 2. Лабораторный практикум Лабораторный практикум для специальности 271100
- •Лабораторный практикум для специальности 270900
- •Часть 3. Список литературы
- •5.4. Некоторые единицы измерений
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный Указатель
- •Содержание
- •Глава 1. Общая реология 22
- •Глава 2. Реометрия 73
- •Глава 3. Реодинамика 152
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов 183
- •Глава 5. Учебно-методический материал 399
- •196006, Санкт-Петербург, ул. Коли Томчака, дом 28
1.3. Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии
Единообразная форма трех законов физики позволяет с помощью теоремы о дивергенции преобразовать интегралы по поверхности к интегралам по объему, а затем по правилу Лейбница о дифференцировании определенных интегралов по параметру поменять последовательность дифференцирования и интегрирования. Полученные уравнения дают возможность записать дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии пищевой среды, спроектировать эти уравнения на оси координат и решать различные краевые задачи течения, если известны дополнительно реологические уравнения или уравнения состояния дисперсной пищевой среды.
Итак, после названных преобразований законы физики могут быть записаны в виде
; (1.11)
; (1.12)
. (1.13)
В прямоугольных координатах дифференциальный оператор и полный дифференциал определяются равенствами
; (1.14)
, i = 1, 2, 3, (1.15)
где vi – проекция скорости потока на ось xi.
Тогда уравнение неразрывности для пищевой среды приобре-тет вид
. (1.16)
Следуя определению полной производной и раскрывая выражение для слагаемого, содержащего дивергенцию, запишем
; (1.17)
в проекциях на прямоугольную систему координат х, у, z
. (1.18)
Аналогично запишем уравнение движения:
. (1.19)
Положительный тензор соответствует отрицательному гидростатическому давлению р, а давление дает только дополнительный эффект к нормальным силам; это давление можно исключить из тензора напряжений, вычитая р из каждого диагонального члена тензора . Следовательно, можно ввести новый тензор напряжений :
= + р, (1.20)
где единичный тензор имеет вид
(1.21)
или
(1.22)
и
. (1.23)
Теперь уравнение движения можно записать следующим образом:
. (1.24)
Проектируя уравнение (1.24) на оси прямоугольных координат х, у, z, получим уравнения движения пищевой среды в скалярной форме:
; (1.25)
; (1.26)
. (1.27)
После ряда подобных преобразований можно получить уравнение энергии в прямоугольных координатах:
, (1.28)
где А – термический эквивалент работы; сV – удельная теплоемкость пищевой среды при постоянном объеме.
Тепловой поток связан с градиентом температуры в изотропной среде законом теплопроводности Фурье:
, (1.29)
где – коэффициент теплопроводности пищевой среды.
Формулы (1.28) и (1.29) позволяют решать термодинамические задачи расчетов переработки пищевых сред.
1.4. Тензор напряжений
В инженерной реологии пищевых дисперсных сред предполагается в основном рассматривать задачи течения, поэтому рассмотрим выражение для поверхностной силы вязкого сопротивления, приходящейся на единицу некоторой площадки, произвольно ориентированной в пространстве в прямоугольной системе координат. Вырежем мысленно элементарный тетраэдр, вершина которого совпадет с началом системы координат (рис. 1.1). Ориентация площадки определяется единичным вектором , скорость течения среды – вектором ; n – расстояние от начала координат до произвольной площадки, до основания тетраэдра.
На рис. 1.1 показаны три напряжения, которые вызваны силами, действующими в направлении оси х1. Первый индекс указывает на ориентацию поверхности, к которой приложена сила; второй индекс – на направление, вдоль которого действует сила. Например, 31 обозначает тангенциальную силу, отнесенную к единице площади, т. е. напряжение, действующее на грань, перпендикулярную оси х3 в направлении вдоль оси х1. Если обозначить площади граней тетраэдра, находящихся в координатных плоскостях, через S1, S2, S3 и стянуть тетраэдр в точку начала координат, то можно составить уравнения равновесия для компонент силы, действующей на наклонную площадку:
(1.30)
Рис. 1.1. Элементарный тетраэдр
Обозначив площадь наклонной площадки через S, уравнения равновесия можно записать так:
(1.31)
где n1, n2, n3 – проекции нормального единичного вектора на оси координат.
Вектор силы можно представить в виде суммы компонент:
(1.32)
где i – единичные вектора вдоль ортогональных осей координат.
Подставив в уравнение (1.32) выражения компонент вектора силы из уравнений равновесия, получим
. (1.33)
Заметим, что для симметричного тензора произведение на единичный нормальный вектор к наклонной площадке имеет вид
. (1.34)
Значит, сила, приходящаяся на единицу площади, может быть выражена следующим образом:
. (1.35)
В пределе стягивания тетраэдра в точку величина представляет собой силу, приходящуюся на единицу наклонной площадки, ориентацию которой характеризует нормальный единичный вектор . Величина называется тензором напряжения в данной точке и записывается в матричной форме:
. (1.36)
Для доказательства симметричности этого тензора выделим из среды плоскостями, параллельными координатным плоскостям, прямоугольный параллелепипед (рис.1.2), вращение которого могут обусловить тангенциальные силы F1, F2, F3, F4.
Рис. 1.2. Выделенный из среды параллелепипед
Силы на гранях параллелепипеда можно выразить через диагональные компоненты тензора напряжений и размеры тела. Например:
; (1.37)
. (1.38)
Затем вычисляются моменты этих сил относительно оси, проходящей через точку центра масс параллелепипеда и параллельной оси x3:
. (1.39)
Тогда
(1.40)
Теперь можно записать уравнение вращательного движения параллелепипеда:
(1.41)
где момент инерции параллелепипеда относительно оси вращения, проходящей через центр масс, определяется выражением
(1.42)
Тогда уравнение движения приобретает вид
(1.43)
и очевидно, что
(1.44)
Аналогично, рассматривая вращение вокруг двух остальных ортогональных осей, можно доказать равенство других диагональных элементов тензора напряжений:
. (1.45)
Следовательно, тензор напряжений в точке среды симметричный.