9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Опорный конспект ¹ 2

2.1. Векторы и линейные операции

				r	r
		r		a	- b
	b
			r		r
			a	+ b
			r
			a
r	r		r	r	=		l			r	;
b	= la		Û b:	b						a

r b

r		r
a
		c
	r
r		r
a	+ b	+ c

r	r	r	r	l < 0
b	-- a,	l > 0; b	-¯ a,

2.2. Базис в пространстве — " три некомпланарных векто-

r

r

r

ðà

e1,

e2,

e3

r

r

r

r

r

r

a

= a1e1

+ a2e2 + a3e3,

r

r

r

r

a

e3

{a , a , a } — координаты a

в базисе e ,

e ,

e ,

r

1

2

3

r

1

2

3

r

+ b1, a2 + b2, a3 + b3}

r

b

= {b1, b2, b3} Þ a

+ b = {a1

r

e2

r

= {la1,

la2,

la3}

e1

la

r

r

r

r

Базис на плоскости — " e1,

e2

, e1 P e2

r

r

2.3. Проекция вектора

a íà îñü l (ïðl

a ), свойства

B

uur

uuuuur

r

ïðl AB = ±

A¢B¢

,

a

l

uuuur

uuuur

A

(+),

åñëè

A¢B¢ -- l, (-),

åñëè

A¢B¢ -¯ l

B ¢

10.

r

r

¶r r

A¢

ïðl a =

a

cos(a,l )

r

r

r

+

r

20.

ïðl (a

+ b)

= ïðl a

ïðl b

r

r

30.

ïðl la

= lïðl a

2.4. Прямоугольная система координат

Z					r	r r	— ортонормированный базис,
			A		i , j, k
				B	r	r		r	r
r					a	= axi	+ ay j + az k
k
r					r	= a2		+ a2	+ a2
			r		a
i	0		j	Y			x	y	z

	X	A(xA, yA, zA ), B(xB , yB , zB ) Þ
		uuur

ÞAB = {x - xA, yB - yA, zB - zA, }

2.5.Скалярное произведение

r

r

=

r

r

cosj =

r

r

a

×b

a

b

a

ïðar b;

r

r

r

= {ax

= {bx , by , bz } Þ

b

a

, ay , az }, b

r

r

= axbx + ayby + azbz

j

Þ a

×b

r a

Свойства:

0

r

r

r

×

r

r

r

1 .

a

× r

=r

a

;

b

b

20. (la) ×b

= l(a

×b);

r

30.

r

r

r

r

r

r

a(b

+ c) = a

×b

+ a

×c;

0

r

2

=

r

2

;

4 .

a

a

r

r

r

r

50.

^ b

= 0

a

^ b Û a

Основные приложения:
		r		uuur
		Работа: A = F	× BC			r
	r	Угол j между		r
	F			a	è	b :
				r		r		r
					=	a	× b
B	C	Проекция ïðar b					r
							a

r r a × b cos j = r r

a b

2.6. Векторное произведение

ì1)

r

r

r

r

r

c

^ a,

c

^ b

r

r

r

r

ï

r

r

r

c

b

´ b

ï

=

b

sin j

j

c

= a

Û í2)

c

a

r

ï

r

r r

a

î

a, b, c — правая тройка

ï3)

			r	r	r
	r		i	j	k
r		=
a	´ b		ax	ay	az
			bx	by	bz

Свойства:

10.

r

r

r

r

a ´ b

= -b

´ a;

20.

r

r

r

r

(la)

´ b

= l(a

´ b);

30.

r

r

r

r

r

r

r

a ´ (b +

ñ) = a

´ b

+ a

´ ñ;

r

r

SD =

r

r

40.

a

´ b

= SY,

a

´ b

r

r

r

r

50.

= 0 Û ax bx

a

P b

Û a

´ b

r

r

r

Момент: M0

= r ´ F

/2;

=ay by =az bz

O		M0 r
rr	A	F

2. 7. Смешанное произведение

r	r	r	r	r	r		r r r		ax	ay	az
								=
a	´ b	´ ñ	= (a	´ b) × ñ		,	a b ñ		bx	by	bz
									cx	cy	cz

Свойства:

10.

r

r

r

r

r

r

(a

´ b) ×

ñ

= a

× (b

´ ñ);

20.

r

r r

r r r

a b ñ

= -b a ñ;

30.

r

r r

r

r r

r r r

a b ñ

= b ñ a

= ñ a b;

r r

40. Объем параллелепипеда, построенного на

r

a, b, ñ:

Vïàð =

r

r r

,

VDïèð =

r r r

/ 6;

a b ñ

a b ñ

r

r

r

r r

50.

r

a, b, ñ — компланарны Û a b ñ = 0

2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rn

n

r

a2,

...,

an};

ai ÎR,

i = 1,n}

—

n-мерное

R

= {a = {a1,

векторное пространство

r

r

= {a1

+ b1,

a2 + b2,

..., an

+ bn

Û a

+ b

},

r

= {la1,

la2, ..., lan };

l ÎR,

r

r

ÎR

n

la

"a,b

n

—

r

,

r

,

r

ÎR

n

Базис в R

" линейно независимые e

e

..., e

1

2

n

!

Пусть базис

r

r

r

e1

= {1, 0, ..., 0}, e2 = {0,1, ..., 0},

...,

en = {0, 0, ...,1},

r

r

= a1b1 + a2b2 + ... + anbn Û R

n

— n-мерное евклидово

a

× b

пространство,

r

=

a12 + a22 + ... + an2

a

2.9. Линейные преобразования. Собственные значения и соб-

ственные векторы. Квадратичные формы в Rn

r r r

А — линейное преобразование в R

n

r

n

,

Û x¢ = Ax,x,x¢ÎR

r

r

r

r

r

r

r r

ÎR

n

, l Î R.

A(x

+ y) = Ax +

Ay,

A(lx) = lAx "x, y

r

r

r

Þ A

e

, e

, ..., en

— базис в Rn

= (a

),

i, j = 1,n.

1

2

r

ij

r

r

r

— собственный вектор A

l ÎR — ñîá-

x

Û x

: Ax

= lx,

ственное значение.

det(A - lE) = 0 — характеристическое уравнение А.

А — самосопряженный

â

евклидовом

пространстве

n

r

r

r

r

R

Û Ax

× y

= x

× Ay

Þ в ортонормированном базисе A = (aij) =

= (aji), i, j =

1,n

Ю $ ортонормированный базис из собственных

векторов: матрица оператора А имеет диагональную форму.

n n

Квадратичная форма f (x

, x , ..., x ) = ååaij xi xj , aij = aji ,

1

2

n

i

=1 j =1

A = (aij ), i, j = 1,n , — ее матрица, li— собственные значе-

n

ния А приводится к каноническому виду åli xi2.

i=1

2.1. Векторы и линейные операции над ними

О: Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением (рис. 2.1).

Из двух граничных точек этого отрезка одна является началом, а r uuur

другая — концом. Вектор обозначается a или AB, где А — начало,

"

r a

À

Ðèñ. 2.1

Â	В — конец вектора; длина вектора (модуль) обо-
		r		uuur	.
	значается символом	a	èëè	AB
	Нуль-вектором называют			вектор, конец ко-
	торого совпадает с началом.

О: Коллинеарными называют векторы, расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными — векторы, расположенные в параллельных плоскостях.

О: Равными считаются векторы, которые: 1) коллинеарны; 2) одинаково направлены (сонаправлены — --); 3) имеют равные модули.

Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая начало А в любую другую точку. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции над векторами: операции сложения, вы- читания и умножения на число.

2.1.1. Сложение векторов

r	r	r	r
Суммой a	+ b	векторов a	è b при условии, что конец векто-
r		r	r
ра a совмещен сrначалом b, rназывается вектор c, соединяющий
начало вектора a		с концом b	(ðèñ. 2.2, à).

r r b a

r a

			r
			b
		r	r
	r		a
			+
		b
r	b=
	+
a

r a

r	r	r		r
		+ b
c	= a			b
	a		á

Ðèñ. 2.2

Свойства сложения:

10. Переместительный закон (коммутативность):

r	r	r	r
a	+ b	= b	+ a

#

Доказательство следует из рис. 2.2, б. Здесь же дано правило
	r	r
параллелограмма сложения векторов a		è b: если их начала со-
r	r
вмещены, суммой a	+ b является вектор, совпадающий с диаго-

налью параллелограмма, выходящей из общего начала векторов.

20. Сочетательный закон:
r	r	r	r	r	r
(a	+ b)	+ c	= a	+ (b	+ c)

Доказательство следует из рис 2.3. Здесь же представлено правило сложения нескольких векторов, когда начало последующего вектора совмещено с концом предыдущего. Сумма есть вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего.

r b

r				r		r
a					r
						c
	r		r	b + c
	a	+ b
r	r	r	r	r	r
(a	+ b) + c		= a	+ (b	+ c)

Ðèñ. 2.3

2.1.2. Вычитание векторов

		r	r	r	r	r
Разностью a			- b	двух векторов a	è b называется вектор c, äëÿ
r	r		r	Из определения получаем правило построения
которого b	+ c	= a.
r	r		r		r	r
вектора c = a - b, если начала векторовra						- b совмещены: нужно

соединить конец вычитаемого вектора b с концом уменьшаемого
r	(ðèñ. 2.4).
вектора a
	r			r
	a	r	r
		ñ	= à	- b

r b

Ðèñ. 2.4

2.1.3. Умножение вектора на число

						r	r		r
Произведением la							вектора a	на число l называется вектор b
такой, что: 1)	r	=		l		r	r	r	и направлен
	b					a	; 2) b коллинеарен вектору a

$

		r	r
в ту же сторону при l > 0 (a			-- b) и в противоположную сторо-
íó ïðè l < 0	r	r
	(a	-¯ b).

Свойства умножения вектора на число:

10. Сочетательное свойство (ассоциативность):

r r

(lm)a = l(ma).

20. Распределительное свойство (дистрибутивность):
r	r	r	r
l(a	+ b) = la		+ lb,
	r	r	r
(l + m)a		= la	+ ma.

Свойства легко проверяются геометрически.

2.2. Базис в пространстве и на плоскости

							r r	r
О: Линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., an									называется
вектор
		r		r	r	r	n	r
		c	= a1a1		+ a2a2	+ ... + anan = åakak ,			(2.1)
							k=1
ãäå a	, a , ..., a — произвольные действительные числа. Век-
1 r 2 r			n r		— линейно зависимы, если $ a1, a2, ..., an,
òîðû	a1,	a1,	...,	an
a2 + a2 +		... + a2		¹ 0, что линейная комбинация (2.1) равна
1	1		n

нулю, в противном случае — линейно независимы.

Рассмотрим линейную зависимость векторов на плоскости и в пространстве.

Т.1: Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они

		линейно зависимы n		r r		r	r
q		r	Так как по условию a, b		— коллинеарны Ы b		= la	Û
r			r r
Û b	- la		= 0, то векторы a, b — линейно зависимы (a = 1, a = -l) x
					1	2

С л е д с т в и е : Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

r	r
Т.2: Пусть a	è b неколлинеарны, тогда любой компланарный
	r	представляется единственным образом как
с ними вектор c

их линейная комбинация nr r r

q Помещаем начала векторов a, b, c в одну т. О и строим парал- r

лелограмм с диагональю, совпадающей с вектором c, и сторона-

%

ìè â

направлении

r

r

векторов a

è b

À

Ñ

(ðèñ. 2.5).

Тогда

uuur

r

uuur

r

r

OA = la,

OB = mb,

r

r

uuur

uuur

uuur

r

r

c

=OC

=OA

+ mb.

Предполо-

a

c

+OB = la

жим, что найдутся l , m , для которых тоже

r

r

r

r

1

1

Î

+ m1b

. По свойствамr

линейныхrîïå-

b

Â

c

= l1a

Ðèñ. 2.5

раций имеем тогда (l - l1)a

+ (m - m1)b

= 0,

откуда в силу следствия Т. 1 l = l1,

m = m1 x

Из Т.2 и ее доказательства получаем следствие.

С л е д с т в и е . Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Таким образом, любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

		r	r	r						r
	Т.3: Пусть a, b, c				некомпланарны, тогда любой вектор d â ïðî-
	странстве единственным образом представляется как их ли-
	нейная комбинация n									r	r r r
	r				q	Поместим начала векторов a, b, c, d
	c		r	D	в т. О, проведем из конца D вектора
			d
					uuur	r		r	пересекающую
					OD	= d прямую	DD¢ P c,
		r					r	r
		b			плоскость векторов a			è b â ò. D ¢ (ðèñ. 2.6).
									uuuur	r	r
					Тогда по Т. 2 вектор OD¢ = la						+ mb è
O		D ¢			uuur	uuuur uuuuur	r	r	r
			r		OD =OD¢ + D¢D = la + mb + nc x

	a	Следствие: Любые четыре вектора
Ðèñ. 2.6		в пространстве линейно зависимы.

О: Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой).

Таким образом, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве — любые три некомпланарных вектора, взя-

тых в определенном порядке.
Пусть	r	r	,	r	— базис в пространстве, тогда по Т. 3 любой
	e	, e		e
r	1	2		3
вектор a	пространства разлагается единственным образом по ба-
				r	r	r	r
зисным векторам: a					= a e	+ a e	+ a e . Коэффициенты разложе-
					1 1	2 2	3 3	r	r	r	r
ния называются координатами вектора								a	в базисе e ,	e	, e :
r									1	2	3
a = {a1, a2,		a3}.

&

Запись линейных операций над векторами через координаты:

а) сложение и вычитание:

r

, a

},

r

{b

, b , b },

r

r

r

— базис

a = {a , a

b =

e

, e

, e

r

1r

2

3

1 2 3

1 2 3

Þ a

± b

= {a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3};

б) умножение на число l О R:

r

r

= {la1, la2, la3}.

a = {a1, a2

, a3} Þ la

Формулы следуют из свойства линейных операций.

r

r

= {0, 2,1}

в базисе

r

r

r

Задача.

a

= {-2, 2, 3}, b

e1, e2, e3.

Найти координаты

r

r

r

c = 2b - a в том же базисе.

r

= {2

× 0

+ 2,

2× 2 - 2,

1× 2 - 3}

= {2, 2, -1}

c

r

r

{a , a

, a

} è

= {b

, b

, b

} êîë-

Отметим, что если векторы a =

b

r

r

1

2

3

r

r 1

2

3

линеарны, т.е. b = la,

то координаты векторов a

è b, пропорцио-

нальны: a 1 b1 = a 2 b2 = a 3 b3

и наоборот.

2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства

Под осью l будем понимать направленную прямую.

О: Проекцией т. А на ось l называется ос-

нование перпендикуляра АА¢, опущен-

B

íîãî èç ò. À íà l: ïð

A = А¢. Составляю-

A

щей вектора

uuur

l

l называется

AB

ïî îñè

вектор

uuuuur

À¢

= ïð

,

¢

= ïð

¢ ¢ , ãäå

A B

l

A

Â

l

Â

uuur

(рис. 2.7). Проекцией вектора

AB íà l

¢

B ¢ l

uuur

uuuuur

A

называется число

ïðl

AB = ±

A¢B¢

. Çíàê

uuuuur

Ðèñ. 2.7

uuuuur

¢

¢r--

l

,

çíàê (-) —

(+) берется, если

A B

¢ ¢ -¯ r.

åñëè A B

l

Если e — единичный

вектор

(ò.å.

e

= 1) в направлении l,

òî

uuuuur

uuur

r

A¢B¢ = ïðl AB

×e .

Свойства проекций:

0

r

r

r

1

. ïðl a

=

a

cos j,

ãäå

j =

(a, l).

uuuuur

r

r

Åñëè 0 < j < p

/2,

тогда из DАВК имеем AK =

A¢B¢

= ïðl a

=

a

cosj

(ðèñ. 2.8).

'

Â

Â

A

j

K

K

j

j

A

À ¢

 ¢ l

 ¢

À ¢

l

Ðèñ. 2.8

Ðèñ. 2.9

Â

r

r

r

r

b

Если p/2 < j < p, тогда KA = -прl a =

a

r

r

A

a

+ b

C

= - a cosj (ðèñ. 2.9).

20. Проекция суммы векторов на ось l

r

r

ïðl a

ïðl b

равна сумме проекций векторов на l.

A ¢

 ¢

C

¢

l

Доказательство геометрическое (рис. 2.10).

30.

r

r

k = const.

ïðl ka = k ïðl a,

Доказа-

Ðèñ. 2.10

тельство проводится с помощью свойства 10.

2.4. Прямоугольная система координат.

Координаты вектора и точки

О: Прямоугольной декартовой системой координат (ПСК)

называется совокупность т. О и ортонормированного бази-

r

r

r

ñà i ,

j,

k, т.е. такого базиса, в котором векторы единич-

ны (имеют длины, равные 1) и взаимно перпендикулярны.

Три взаимно перпендикулярные прямые в направлении ба-

зисных векторов называются осями координат: оси абсцисс,

ординат, аппликат (рис. 2.11).

Обычно рассматривается правая сис-

Z

тема координат, т.е. такая, что из конца

r

кратчайший поворот от

вектора k

C

r

r

виден против часовой стрелки.

i ê

j

r

M

Точке М в пространстве соответству-

r

ет радиус-вектор. Координатами т. М

k

r

j

Â

uuuur

uuuur

i

назовем координаты вектора OM :OM =

O

Y

r

r

r

ò.å. Ì(õÌ, yM, zM).

= xM i

+ yM j

+ zM k,

A

Выясним геометрический смысл коорди-

X

uuuur

uuur

Ðèñ. 2.11

нат. Из рис. 2.11 видно, что OM

=OA +

!