Математика Сизов 2011

y

y (x 2)2 3	3		y (x 1)
	2		y ln(x 2)
	1		x
-4 -3 -2 -1	1	2	3 4
	-1

Пример 2. Найти точки разрыва функции f(x), определить их род, построить приблизительный график функции.

f x arctg 2 x 2 . x x 12

Решение. Функция (u) arctg u – непрерывная и возрастающая на всей числовой оси, если сложный аргумент u u x непрерывен и возрастает на числовой оси. В нашем случае сложный аргумент –

функция u x

x 2

x 2

имеет

разрыв в точках

x2 x 12

x 3 x 4

x 4,

x 3, т.к. в этих точках u x не существует:

u 4

x 2

4 2

6

;

x 3 x 4

x 4

4 3 4 4

( 7) 0

u 3

x 2

3 2

1

.

x 3 x 4

x 3

3

3 3 4

0

7

В остальных точках числовой оси функция u x

непрерывна,

т.к. многочлены, входящие в функцию непрерывны на всей числовой оси

Искомая

функция

f x arctg

x 2

то

же

будет

x2 x 12

непрерывна на всей числовой оси кроме точек x 4, x 3 .

Проведем

исследования непрерывности

f (x)

в

точках

x 4, x 3.

x 4

f ( 4) arctg

x 2

arctg

4 2

arctg

6

1.

x 3 x 4

x 4

( 4 3) 4 4

7 0

arctg( ).

61

		Функция							f x	в точке x 4 не определена, т.к. не определен
	arctg( )						по той			простой причине,																						что сам аргумент для arctg не
	определен (аргумент (+∞) для функции arctg не есть число).
	2.	lim	f (x) lim arctg																x 2										limarctg															4 2
															x2 x 12																				( 4						)2 ( 4 ) 12
		x 4						x 4																							0
	limarctg								6														limarctg 6 limarctg( )
				16			8 2 4 12																																								2
		0																										0						7
	lim f (x)							lim arctg									x 2										limarctg																	4 2
													x2 x 12																					( 4 )2 ( 4 ) 12
	x 4						x 4																							0
	limarctg								6																	limarctg 6																		limarctg( ) .
				16 8 2 4 12
		0																											0					7										2
		Замечание. Здесь символ обозначает бесконечно-малую
	величину, при этом бесконечно-малой высшего порядка 2
	пренебрегают.
	3.	lim	f (x)						lim	f (x) .
		x 4						x 4																								f (x) в точке x 4
		Односторонние пределы функци
	существуют, т.к. существуют пределы:																																	.
		lim arctg( )													, lim arctg( )
															2																				2									функция f x
		Эти пределы разные, значит, в точке x 4
	имеет разрыв I первого рода в виде скачка.
	x 3 .
	1.	f (3) arctg							x 2										arctg													3 2									arctg				1	arctg( ).
								x	3 x 4																						3 3 3 4
																			x 3																										0 7
		Функция							f (x)	в точке x 3 не определена.
	2.	lim	f x lim arctg																x 2												limarctg													3 2
																x2 x 12																						3 2 3 12
		x 3						x 3																							0
	limarctg								1												limarctg														1								limarctg( )						π.
				9 6 2 3 12																													( 7 )
		0																								0																							2
	lim f(x)						lim		arctg							x 2												lim arctg																3 2
												x2 x 12																								( 3					)2 ( 3 ) 12
	x 3					x 3																									0
	lim arctg									1																			lim arctg										1					limarctg( )			.
						9	6 2 3 12																													7
		0																													0																2
	3.	lim	f (x) f (x) .
		x 3

62

В точке

x 3

функция

f ( x )

не определена,

имеет разные

односторонние пределы, т.е. в этой точке имеет место разрыв I рода в

виде скачка.

f ( x )

Для

построения

графика

функции

определяем

её

поведение в бесконечно удаленных точках

x ,

для чего нужно

определить пределы

lim f (x), lim f (x) .

x

x

lim f(x) lim arctg

x 2

arctg lim

x 2

x2 x 12

x

x

x x2 x 12

2

2

x 1

x

1

1 0

arctg lim

arctg

arctg

1

12

2

x

x x 1

12

0 12 0

x

x2

2

arctg

1

arctg( 0 ) 0.

Функция f x стремится к нулю, оставаясь меньше нуля.

lim f x lim arctg

x 2

arctg lim

x 2

x2 x 12

x2 x 12

x

x

x

1

2

1

2

x

0 arctg 0 0.

x

2

2

arctg lim

x

arctg

arctg

1

12

x

x

2

1

12

1

1

x

x2

1

2

Функция стремится к нулю сверху, оставаясь больше нуля.

При построении графика учтем, что он пересекается с осью Ox в

точке x 2 , т.к. f (2) arctg

x 2

arctg

2 2

arctg(0) 0.

x2 x 12

22 2 12

x 2

Приближенный график функции f x

имеет вид:

y

2

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

2

x

Пример 3. Для функции f ( x ) установить, является ли функция непрерывной или разрывной в двух точках x1 è x2 . В случае разрыва определить род разрыва. Сделать схематический чертеж.

63

1

y f (x) 72 x , x1 2 , x2 1.

Решение. На основании трех достаточных условий непрерывности функции в точке проведем данные исследования в

точках x1 è x2 . x1 2.

11

1.f ( 2) 72 2 70 7 .

			1						1					1	7	1		1
	2. lim	f (x)	lim 7		2 x				7	2 2 0			7	0					0 .
																7
	x 2 0		x 2 0
			1						1				1	7 .
	lim f (x) lim 7			2 x			7		2 2 0			70
	x 2 0	x 2 0
	Функция		в точке x1 2										не	существует,			её		предел слева

существует и равен нулю, но предел справа не существует. Это разрыв второго II рода.

x2 1.

		1				1
	f 1 7					7							7.
1.			2 x						2 1
		f x			x 1	1						1					1					7.
2.	lim				lim	7		2 x				7			2 1 0		7		1 0
	x 1 0			x 1 0
		f x				1						1					1					7.
	lim				lim 7		2 x					7		2 1 0			7	1 0
	x 1 0		x 1 0
3.	lim	f x			lim	f x f 1 7 .
	x 1 0			x 1 0

В точке x2 1 функция непрерывна, т.к. все три условия

непрерывности соблюдены.

Для построения графика определим поведение функции в бесконечно удаленных точках x .

	lim f x lim 7				1	7		1		7			1	7 0	1		1	1.
				2 x				2
															70		1
	x	x
	Функция стремится к 1 снизу, оставаясь меньше 1.
		1			1			1
	lim f x lim7				7				7			70 1.
			2 x				2
	x	x

Функция стремится к 1 сверху, оставаясь больше 1.

64

График функции имеет вид:

y

1

-2

-1

0

x

				4.3. Задания на контрольную работу
	Задание 1.					Построить								график функции y kf px a b
	преобразованием графика функции y f x .
		y 2sin 3x 3												2. y 3cos				x
	1.									1.												1 1.
																		2
				x												1	cos 3x					2 1.
	3.	y 3sin						2				1.		4.	y
						2										2
		y	1	sin 2x 1								1					x
	5.		2									2	.	6.	y 2cos						1 2 .
																		3
	7.	y	1		3x				1		2 .			8.	y 3cos 2x 3 1.
			4	sin					2
	9.	y 2sin			x			2				1	.	10.
						3						2

y14 cos 2x 3 2 .

Задание 2. В заданной функции y f ( x ) найти точки разрыва и определить род разрыва. Сделать чертеж.

x,

x 0;

f x arctg

1

1. а)

f x x 1 2 ,

0 x 2;

б)

.

x2

x 6

x 3,

x 2.

x 6 2

1, x 4;

x

f x arctg

2. а)

f x

3,

4 x 2;

б)

.

x2

2x

3

e

x 2

,

x 2.

65

arctg x,

x 1;

3. а)

-x 1,

1 x 3;

f x

5

2

2,

x 3.

x

- x 2 2 5,

x 0;

2x 3,

0 x 2;

4. а) f x

1

x 2,

x 2.

x 0;

x 2 2 4,

π

5. а)

sin 2x,

0 x

;

f x

2

π

2,

x

.

2

cos x,

x 0;

0 x 1;

6. а) f x x2 1,

x,

x 1.

x 1

3

,

x 1;

7. а)

-4 x-3 ,

1 x 3;

f x

2,

x 3.

x 4,

x 1;

-1 x 1;

8. а) f x x2 2,

2x,

x 1.

2

,

x 0;

x

9. а)

0 x π

;

f x tgx,

4

x π

2,

.

4

x 2,

x 1;

10. а)

f x

1

x 1;

x2 1,

x 3,

x 1.

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

f x arctg x2 1x 2 .

f x arctg 3 21 x2 . x

f x arctg 6 1 x2 . x

f x arctg 2 1 x2 . x

f x arctg 2 x 1 . x x 6

f x arctg 2 x 1 . x 2x 8

f x arctg 4 3x x2 . x

f x arctg 9x x12 .

66

Задание 3. Для функции y f x установить, является ли

функция непрерывной или разрывной в двух точках x1 и x2 . В случае разрыва определить род разрыва. Сделать схематический чертеж.

	1
1.	f x 3									,										x 5, x							3.
			5 x																						2
																				1
	1
2.	f x 4														,					x 5, x					7 .
						7 x																	2
																				1
	1
3.	f x 5												,							x 4, x							1.
					4 x																				2
																				1
	1
4.	f x 6											,								x 1, x				3.
					3 x																	2
																				1
	1
5.	f x 7															,				x 2, x							1.
						2 x																			2
																				1
	1
6.	f x 8										,									x 3, x					4 .
				4 x																			2
																				1
	1
7.	f x 9													,						x 7, x							3 .
				7 x																					2
																				1
	1
8.	f x 10																	,		x 2, x					5 .
								5 x															2
																				1
	1
9.	f x 11																,			x 1, x				2 .
							2 x															2
																				1
	1
10.	f x 12																		,	x	3,		x				2 .
									3 x																	2
																				1

67

x=x0

5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

5.1. Краткие сведения из теории

Определения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее

стремится к нулю. Производная функции					y f x обозначается: y/,
f / x , или	dy .
	dx			f x x0	f x
dy y/ f / x lim		y	lim
		x		x
dx	x 0		x 0				f x
Операция нахождения производной					f / x от функции
называется дифференцированием этой функции.
Геометрически значение производной функции y f x							в точке

равно тангенсу угла, образованного положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной к графику функции

в точке с абсциссой x0, то есть			f / x	= tg (рисунок 5.1).
			0
Число tg		называют угловым			y нормаль
коэффициентом		касательной		и
обозначают k, то есть
k f / x0 = tg .					М0	y=f(x)
В	прямоугольной		системе		касательная
координат	уравнения касательной			и
нормали к некоторой кривой y =f (x) в					х0	х
точке М0(x0; y0) имеют вид:

Рисунок 5.1. y y0 f / (x0 ) (x x0 ) – уравнение касательной,

y y0 f / (1x0 ) (x x0 ) – уравнение нормали.

Производной второго порядка (второй производной) функции y f x называется производная от первой производной. Вторая

производная обозначается: y//, или f //(x), или d 2 y . dx2

68

Производная третьего порядка (третьей производной)
функции y f x	есть производная от	производной второго
порядка: y///=(y//)/.		y f x называется
Производной n-го	порядка функции

производная от (n–1)-го порядка: y n y n 1 .

Производная n-го порядка обозначается: y n , или f n x , или d n y . dxn

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Если функция y f t описывает какой–либо физический

процесс во времени,		то производная	y/	есть скорость протекания
этого процесса.		y f x выражает		связь между физическими
Если	функция
величинами	x и y,	то производная	yx	выражает интенсивность

изменения y по отношению к x (количество величины y приходящееся на единицу величины x). Вычисленная в точке производная показывает мгновенные или точечные значения этих интенсивностей.

Например: мгновенная скорость V dsdt , мгновенный ток i dqdt ,

плотность вещества в точке d dVdm , мгновенная мощность p dAdt и т.д.

Основные правила дифференцирования

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные и c=const, то имеют место следующие правила дифференцирования:

1.

c / 0.

5.

u v /

u/ v u v/ .

2.

x/ 1.

6.

u

/

u/

v u v/

.

3.

c u

/

/

.

v2

c u

v

4.

u v / u/ v/ .

7. если дана сложная функция

y=f(u), где

u=u(x), то есть

y=f[u(x)],

где функции

f(u) и

u(x)

имеют

производные, то

yx/

fu/ ux/ (правило дифференцирования сложной функции).

69

Таблица производных элементарных функций

1.	un / n un 1 u/ .
2.	1	/					1		u/ .
								u2
	u
3.	u /						1		u/ .
					2			u
	n u								1
4.			/							u .
						n n un 1

5.au / au ln a u/ .

6.eu / eu u/ .

7.loga u / u 1ln a u/ .

8.ln u / u1 u/ .

9.sin u / cos u u/ .

10.cos u / sin u u / .

11.tgu / cos12 u u/ .

12.ctgu / sin12 u u/ .

	13.	arcsin u /		1	u/ .
			1 u2
	14.	arccos u /		1		u/ .
				1 u2

15.arctg u / 1 1u2 u/ .

16.arcctgu / 1 1u2 u/ .

17.sh u / ch u u/ .

18.ch u / sh u u/ .

19.th u / ch12 u u/ .

20.cth u / sh12 u u/ .

При дифференцировании функций необходимо выполнять правила дифференцирования и применять соответствующие формулы таблицы производных элементарных функций.

Пример 1. Найти y/ функции	y	1 x3 .
		1 2x

Решение. Дифференцируем, как частное из правил дифференцирования и применяем соответствующие формулы.

y/	1 x3 / 1 2x 1 x3 1 2x /					3x2 1 2x ( 2) 1 x3
		1 2x 2				1 2x 2
		3x2 1 2x 2 1 x3		3x2 6x3 2 2x3			4x3 3x2 2 .
		1 2x 2		1 2x 2			1 2x 2

Логарифмический метод

Иногда, прежде чем находить производную от заданного выражения, лучше выражение преобразовать так, чтобы процесс дифференцирования упрощался. Например, прежде чем дифференцировать функцию нужно взять ее логарифм, определить

70