elemen_teorija

Возвращаясь к ТП, имеем, в частности, из (1.7.30) следующее важное понятие : если τ (top)[X], то

CX [τ] = {X \ G : G τ} P′(P(X))

(1.7.32)

есть семейство всех замкнутых в ТП (X, τ) п/м X. С учетом (1.1.6) и (1.7.32) имеем также, что

CX [τ] = {F P(X) | X \ F τ} τ (top)[X].

Отметим, наконец, важное свойство: если τ (top)[X] и A P(X), то (см. (1.1.38))

( [ ] ) ( [ ] ) cl(A, τ) CX [τ] (A) & cl(A, τ) F F CX [τ] (A) ;

иными словами, cl(A, τ) есть наименьшее по вложению замкнутое п/м X, еще содержащее A. Из вышеупомянутых положений следует, что при всяком выборе τ (top)[X] оператор

A 7−→cl(A, τ) : P(X) −→ P(X)

замыкания в ТП (X, τ) обладает следующими свойствами:

1) cl(A B, τ) = cl(A, τ) cl(B, τ) A P(X) B P(X);

2)S cl(S, τ) S P(X);

3)cl(cl(H, τ), τ) = cl(H, τ) H P(X);

4)(cl( , τ) = ) & (cl(X, τ) = X).

Следует отметить, что один из создателей топологии К. Куратовский при построении ее основных конструкций в качестве базового использовал именно оператор замыкания.

Полагаем до конца настоящего параграфа, что X — непустое множество, т. е.

X ≠ .

Напомним, что очень часто топология множества X задается с помощью метрики. Несколько более общим является понятие псевдометрики. Как метрику, так и псевдометрику можно задавать по-разному. Поэтому имеет смысл говорить о множестве всех псевдометрик X и о множестве всех

метрик X. Используем при этом соглашение (1.1.36); тогда

{ ( )

X×X

(p − Dist)[X] = ρ [ 0, ∞[ | ρ(x, x) = 0 x X &

70

( )

& ρ(x1, x2) = ρ(x2, x1) x1 X x2 X &

( )}

& ρ(x1, x3) 6 ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) x1 X x2 X x3 X

есть множество всех псевдометрик X. Если ρ (p−Dist)[X], то пару (X, ρ) называют псевдометрическим пространством. Метрика множества X есть

частный случай псевдометрики;

{

(Dist)[X] = ρ (p − Dist)[X] | x1 X x2 X

(	(	ρ(x1, x2) = 0 = x1 = x2	)	)}
		) (

есть множество всех метрик X. Итак, если ρ (p − Dist)[X] (т. е. ρ есть псевдометрика X), то

ρ : X × X −→ [ 0, ∞[;

(1.7.33)

в частности, (1.7.33) имеет место в случае, когда ρ есть метрика X. Если

ρ (p − Dist)[X] и ε ] 0, ∞[, то

o		(1.7.34)
Bρ(x, ε) = {y X | ρ(x, y) < ε}.

Заметим, что указывать множество X в левой части (1.7.34) нет никакой необходимости потому, что (см. (1.7.33))

Dom(ρ) = X × X

(1.7.35)

в силу (1.1.20) и, как следствие, справедливо равенство

X = {pr1(z) : z Dom(ρ)}.

(1.7.36)

В (1.7.34) определен открытый шар радиуса ε, ε > 0, в псевдометрическом пространстве (X, ρ), имеющий своим центром точку x. Тогда, как легко видеть,

		o
τρ	= {G P(X) | x G ε ] 0, ∞[: Bρ(x, ε) G}
	(top)[X]	ρ (p − Dist)[X].	(1.7.37)

(как и в (1.7.34), мы можем обойтись без упоминания о X в левой части (1.7.37), используя выражение τρ для обозначения топологии X; см. в этой связи (1.7.35), (1.7.36)). Итак, в (1.7.37) определена, для всякой псевдометрики множества X, топология, порожденная данной псевдометрикой;

71

будем называть ее псевдометрической топологией X. Для построения τρ можно, конечно, использовать в качестве ρ и метрику. Более того, в этом и только в этом случае по правилу (1.7.37) конструируется хаусдорфова топология X :

(Dist)[X] = {ρ (p − Dist)[X] | τρ (top)o[X]}.

(1.7.38)

Как обычно, ТП (X, τ) называем метризуемым (псевдометризуемым), если для некоторой метрики (псевдометрики) ρ (Dist)[X] ρ (p − Dist)[X]

имеет место равенство	τ = τ .	Из (1.7.38) следует, в	частности, что каждое
	ρ		(	)

метризуемое ТП является хаусдорфовым. Заметим, что открытые шары вида (1.7.34) составляют базу псевдометризуемого (или метризуемого в зависимости от того, является ли ρ псевдометрикой или метрикой) ТП, но мы не будем здесь углубляться в конструкции общей топологии, ограничиваясь сведениями, важными для дальнейших построений. В этой связи заметим известное [1, 13, 33] свойство совпадения замыкания и секвенциального замыкания в псевдометризуемом ТП: если ρ (p − Dist)[X] и

A P(X), то

cl(A, τρ) = {x X | Bρo(x, ε) ∩ A ̸= ε ] 0, ∞[} =
= {x X | (ai)i N AN : (ρ(ai, x))i N −→ 0}	(1.7.39)

(в (1.7.39) следует учитывать очевидное вложение AN XN , вытекающее из (1.1.35)). Сейчас мы рассмотрим одну простую модификацию теоремы [10, c. 35] (имеется в виду принцип продолжения по непрерывности в [10, c. 35]). Для этого сначала введем вспомогательное обозначение: если

τ (top)[X], то

	(1.7.40)
(τ − dens)[X] = {Y P(X) | cl(Y, τ) = X};

из свойства 4) оператора замыкания и непустоты множества X легко следует (см. (1.7.40)), что

(τ − dens)[X] P′(X).

Предложение 1.7.1. Если ρ (p − Dist)[X], Y (τρ − dens)[X], f RY

и a [ 0, ∞[, то

( ) (

|f(y1) − f(y2)| 6 aρ(y1, y2) y1 Y y2 Y = !g RX :

72

( ) )

f = (g | Y ) & (|g(x1) −g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X) . (1.7.41)

Доказательство. Пусть истинна посылка доказываемой импликации

(1.7.41). Напомним, что в силу (1.7.39) и (1.7.40)
x X (yi)iN Y N : (ρ(x, yi))iN −→ 0.	(1.7.42)

С учетом (1.7.42) мы установим сейчас следующее положение; а именно, покажем, что

(

x X !ξ R (yi)iN Y N

(1.7.43)

ρ(x, yi)

iN

−→ 0)=

(

f(yi)

iN −→ ξ).

(

)

(

)

В самом деле, пусть

x

X.

С учетом (1.7.42) подберем

(x )

iN

Y N

так,

i

что

ρ(x , xi ) i

−→ 0.

(1.7.44)

N

и

С учетом (1.7.44) и

неравенства треугольника получаем, что при p

(

)

N

q N

ρ(xp , xq) 6 ρ(xp , x ) + ρ(x , xq) = ρ(x , xp) + ρ(x , xq);

с другой стороны, по предположению об истинности посылки доказываемой импликации (1.7.41) имеем неравенство

|f(xp) − f(xq)| 6 aρ(xp , xq).

Из двух последних соотношений имеем с учетом (1.3.19) и (1.7.44), что

( )

f(xi ) iN (FUND)[R].

()

Сучетом (1.3.19) имеем: f(xi ) iN (LIM)[R]; используя (1.3.7), подберем

ξ R так, что

Пусть теперь (yi )iN

(f(xi ))iN −→ ξ .

(1.7.45)

Y N также обладает свойством сходимости

(ρ(x , yi ))iN −→ 0.

(1.7.46)

Сравним (1.7.44) и (1.7.46). В силу неравенства треугольника имеем при i N

ρ(xi , yi ) 6 ρ(xi , x ) + ρ(x , yi ) = ρ(x , xi ) + ρ(x , yi )

(1.7.47)

73

и, кроме того,

f(x )

−

f(y )

|

6

aρ(x , y ).

С учетом (1.7.44), (1.7.46) и

|

i

i

i

i

(1.7.47) получаем, что

−−−→

ε

] 0,

[ m

:

f(xi )

f(yi )

< ε i

.

∞ N |

−

|

m,

∞

Иными словами,

f(y )

−

f(x )

0.

димость

(

i

i

)iN −→

С учетом (1.7.45) получаем схо-

f(yi ) iN −→ ξ .

Итак, (см. (1.7.46))

установлена следующая импликация

)

(

)

(

)

(

(

ρ(x , yi ) iN −→ 0)= (

f(yi ) iN −→ ξ ).

Поскольку последовательность (yi )iN новлено, что (yi)iN Y N

(	(	)
		ρ(x , yi) iN −→ 0)=

выбиралась произвольно, то уста-

(	(	)
		f(yi) iN −→ ξ ).	(1.7.48)

В (1.7.48) определено фактически требуемое свойство числа ξ . Очевидна единственность числа со свойством (1.7.48). В самом деле, пусть ζ R таково, что (yi)iN Y N

(	(	)	(	( )
		ρ(x , yi) iN −→ 0)=		f(yi) iN −→ ζ ).

Тогда, в частности, имеем из (1.7.44), (1.7.45) и последнего соотношения,что

(	(	)	(	( )
		f(xi ) iN −→ ξ )&		f(xi ) iN −→ ζ ).

Тогда ξ = ζ ; см. (1.3.7), (1.3.10). Мы установили (см. (1.7.47)), что !ξ

R (yi)iN Y N		)		(	)
(	(		(
		ρ(x , yi) iN −→ 0)=			f(yi) iN −→ ξ).

Поскольку x было выбрано произвольно, свойство (1.7.43) установлено. Теперь воспользуемся свойством (1.1.34). В самом деле, сохраняя прежнее предположение относительно X, отождествляем в (1.1.34) Y и R; полагаем также сейчас

Z = {z X × R | (yi)iN Y N	(((ρ(pr1(z), yi))iN −→ 0)=
(( )	)	}
= f(yi) iN −→ pr2(z)		) .

74

( )

f(yi ) iN −→ g(y ).

Свойство (1.7.43), установленное ранее, означает, что x X !ξ R : (x, ξ) Z. С учетом (1.1.34) получаем теперь, что

!g RX :	(x, g(x)) Z x X.	(1.7.49)
e	e

Пусть (см. (1.7.49) теперь g RX обладает свойством

()

x, g(x) Z x X.

Тогда в согласии с определением Z имеем, что x X (yi)iN Y N

(	(	)	(	( )
		ρ(x, yi) iN −→ 0)=		f(yi) iN −→ g(x)).	(1.7.50)

Отметим, кроме того, суждение в (1.7.49), касающееся свойства единственности: ge RX

((x, ge(x)) Z x X)= (ge = g).

(1.7.51)

Фиксируем y Y. Поскольку, в частности, y X, то из (1.7.50) имеем, что (yi)iN Y N

	(	(		)					(	)
			ρ(y , yi) iN −→ 0)= (						f(yi) iN −→ g(y )).		(1.7.52)
Введем (yi )iN Y N по следующему очевидному правилу: yj = y j N .
Тогда	ρ(y , y ) = 0			при	j	N	,	а, стало быть, истинна посылка имплика-
			j
ции (1.7.52) в условиях, когда (yi)iN										= (yi )iN . Тогда из (1.7.52) имеем

сходимость

(1.7.53)

Однако f(yj ) = f(y ) при всяком выборе j N , а потому согласно (1.7.53) имеем для любого ε ] 0, ∞[ неравенство

|f(y ) − g(y )| < ε.

Следовательно, |f(y ) − g(y )| = 0 и f(y ) = g(y ). Коль скоро выбор y был произвольным, установлено, что

f(y) = g(y) y Y.

(1.7.54)

Из (1.1.26) и (1.7.54) легко следует, что

f(y) = (g | Y )(y) y Y.

(1.7.55)

75

Коль скоро f RY и (g | Y ) RY , имеем из (1.1.23) и (1.7.55) равенство

f = (g | Y ).

(1.7.56)

Выберем произвольно u X и v X; рассмотрим число

δ = | g(u) − g(v) | [ 0, ∞[.

С учетом (1.7.39) и (1.7.40) подберем последовательности

( ) ( )

(uj)jN Y N & (vj)jN Y N ,

для которых имеют место следующие два свойства сходимости:

()

ρ(u, uj)	j	−→ 0,	(1.7.57)
		N

()

ρ(v, vj)	j	−→ 0;	(1.7.58)
		N

мы учитываем в (1.7.57), (1.7.58) определение псевдометрики и ее простейшие свойства (у нас было введено ранее множество всех псевдометрик множества X). Из (1.7.50), (1.7.57) и (1.7.58) получаем немедленно:

()

f(uj)	j	−→ g(u),	(1.7.59)
		N

()

f(vj)	j	−→ g(v).	(1.7.60)
		N

Вместе с тем из определения δ следует по неравенству треугольника, что

j N

δ 6 | g(u) − f(uj)| + |f(uj) − g(v)| 6 |f(uj) − g(u)| + |f(uj) − f(vj)|+

+|f(vj) − g(v)| 6 aρ(uj, vj) + |f(uj) − g(u)| + |f(vj) − g(v)|.							(1.7.61)
Кроме того, по неравенству треугольника имеем при j N , что
ρ(uj, vj) 6 ρ(uj, u) + ρ(u, vj) 6 ρ(u, uj) + ρ(u, v) + ρ(v, vj).
С учетом (1.7.61) получаем теперь, что
δ 6 aρ(u, v)+ a	·(	ρ(u, uj)+ρ(v, vj) + f(uj)	−	g(u) + f(vj)	−	g(v)	j N .
(		) |		| |		|)	(1.7.62)

76

Пусть εo ] 0, ∞[. Тогда, как следствие, имеем, что

εo	] 0, ∞[.
1 + a

С учетом (1.7.57) — (1.7.60) и свойств, отмеченных в § 1.3, получаем, что

−−→

при некотором выборе n N имеют место для всякого j n, ∞ следующие неравенства

	εo			εo
(ρ(u, uj) <	8(1+a)	)&	(ρ(v, vj) <	8(1+a)	)&

( ) ( )

& |f(uj) − g(u)| < ε8o & |f(vj) − g(v)| < ε8o ;

в частности, эти неравенства выполнены при j = n, а тогда в силу (1.7.62) получаем оценку

δ 6 aρ(u, v) + ((ε8o + ε8o )+ε8o + ε8o )= aρ(u, v) + ε2o < aρ(u, v) + εo.

Итак, установлено, что δ < aρ(u, v) + ε ε ] 0, ∞[. Как следствие

δ − aρ(u, v) < ε ε ] 0, ∞[.

Последнее означает, что (см. § 1.3) выполнено неравенство δ − aρ(u, v) 6 6 0, т. е. δ 6 aρ(u, v). С учетом определения δ имеем теперь неравенство

	| g(u) − g(v)| 6 aρ(u, v).
Поскольку выбор u и v был произвольным, установлено, что
| g(x1) − g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X.		(1.7.63)
Из (1.7.56) и (1.7.63) вытекает, что		)
(	) (

g RX : f = (g | Y ) & | g(x1)−g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X .

(1.7.64) Проверим теперь свойство единственности. В самом деле, пусть h RX

есть такая функция, что

( ) ( )

f = (h | Y ) & | h(x1)−h(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X . (1.7.65)

Из сопоставления (1.7.64) и (1.7.65) вытекает, что

(g | Y ) = (h | Y ).

77

Это означает, что (см. (1.1.26)) имеет место следующая система равенств

g(y) = h(y) y Y.

(1.7.66)

Выберем произвольно xo X, после чего подберем с учетом (1.7.42) последовательность

(	)		(yio)iN : N −→ Y,
		o	o	o o
для которой	ρ(xo, yio)	i	−→ 0.	Из (1.7.64) имеем (поскольку Y X), что

N

| g(x ) − g(yi )| 6 aρ(x , yi ) i N .

Далее, из (1.7.65) мы получаем также, что

| h(xo) − h(yio| 6 aρ(xo, yio) i N .

Поэтому имеем с учетом неравенства треугольника, что

| g(xo) − h(xo)| 6 | g(xo) − g(yio)| + | g(yio) − h(xo)| i N .

Однако в силу (1.7.66) имеем, что g(yio) = h(yio) при i N . Поэтому

| g(xo)−h(xo)| 6 aρ(xo, yio)+| h(yio)−h(xo)| = aρ(xo, yio)+|h(xo)−h(yio)| 6

6 2aρ(xo, yio) i N .

Из последнего соотношения имеем по выбору (yio)iN , что ε ] 0, ∞[

| g(xo) − h(xo)| < ε.

Поэтому | g(xo) − h(xo)| = 0 и, как следствие, g(xo) = h(xo). Поскольку выбор xo был произвольным, установлено (см. (1.1.23)) равенство g = h. Итак (см. (1.7.65)), истинна импликация

		(	(	)
				f = (h | Y ) & (| h(x1) − h(x2)| 6
		6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X))= (g = h).
Поскольку и выбор h был произвольным, установлено, что h RX
(	(	f = (h | Y ) & (| h(x1) − h(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X))=
		)

= (g = h).

78

С учетом (1.7.64) получаем теперь следствие импликации (1.7.41), т. е.

( ) ( )

!g RX : f = (g | Y ) & |g(x1)−g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X .

Импликация (1.7.41) установлена, чем и завершается доказательство. 2 Отметим, что неравенства, используемые в (1.7.41) называют также условиями Липшица; само предложение 1.7.1 можно, стало быть, толковать как своеобразное продолжение «по липшицевости», имея в виду аналогию

с принципом продолжения по непрерывности в [10, c. 35].

79