книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

БО	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ								[Гл. 2
часть	-ij-ф 0	корня		Ху	придает решению		колебательный	характер
частоты vy,		а	каждая		действительная	часть ;ху корня Ху		дает	ему
либо	рост (при		(Ху >	0),	либо убывание	(при	(Ху<^0).

4.Используя результаты примеров 2 и 3, мы можем записать все

действительные решения	уравнения,	рассмотренного в примере 1,
в двух следующих формах:
z = а’е	cos 3^ -f- Ь'в%‘sin Ы -|- сле ~‘,
z = ptei( cos (3f +		-f- сяе~1.

§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней)

Если характеристический многочлен

^(P) — Pn~\~alPn 1 +	• • • + ап-\Р	ап
уравнения
L(j>)z =	0	(1)

(см. § 7, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида ext нельзя найти п различных решений уравнения (1). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующим на­

водящим соображением. Пусть X,

и Х9— два

различных действитель­

ных

корня

характеристического

многочлена

L (р);

тогда

функция

еХ|/ — гМ

является решением

уравнения (1). Если теперь

предполо-

—г---- г—

А^

А£

при

изменении коэффициентов многочлена L (р)

число X*

жить,

что

стремится

к

Xl

т о это решение

переходит

( в

пределе)

в функцию

texi‘,

о которой естественно предположить,

что

она

является

реше­

нием

уравнения (1) в случае, если X] есть

двукратный

корень мно­

гочлена L (р). Аналогично мы приходим к догадке,

что

если

X есть

Л-кратный

корень характеристического многочлена L (р), то решениями

уравнения

(1) являются все

функции:

еи ,

te*,

t ^ e * .

Распространяя

эту догадку

на случай комплексных

кратных

корней,

мы приходим	к предположению о справедливости нижеследующей
теоремы (являющейся обобщением теоремы		4):
Т е о р е м а	5. Пусть
	L(p)z = 0	(2)

— линейное однородное уравнение порядка п с постоянными коэф­ фициентами. Пусть, далее, Xt, ..., Xm — совокупность всех по­ парно различных корней характеристического многочлена L (р) уравнения (2), причем корень Ху имеет кратность kj, так что

« 41	СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ				51
а’|. /?$ —|—,,, —|—kт— п.	Положим:
II Г►	2%=	tex6y "	zk =	t ^ 6 .
гй1+| = е х^,	ZhtJr2 =	ieV, ..			(3)
			zn =	t"mr'e)'mt.
Тогда все функции (3) являются решениями уравнения					(2), так
что при любых комплексных постоянных с',			с%,	сп	функция
	z = с‘г, - f ... + cnzn				(4)

также является решением этого уравнения. Решение это явля­

ется общим в том смысле,

что каждое решение уравнения (2)

может быть получено по формуле (4) при надлежащем

выборе

констант

с',

сл. При этом константы сх, ..., сп однозначно

определяются для

каждого

данного решения

z.

Заметим, что

функции

(3)

определены

на

всей

числовой

прямой

— ОО

t

4 " 00 ■

теоремы 5 предпошлем

доказательство формулы

Доказательству

смещения.

А) Пусть L (р) — произвольный многочлен, X— произвольное ком­

плексное число

и f( t) — произвольная достаточное

число

раз диффе­

ренцируемая функция.

Тогда

имеет место следующая важная формула:

L (Р) {euf (0) = еи ■L (р +

X)/ (/).

(5)

Докажем формулу (5). Проверим ее сначала для случая 7.(р) = р.

Мы имеем:

р (e)Jf(t)) =

X

+

exif(t) = еи (р +

l)f(t).

Теперь

формулу (5)

легко проверить для

произвольного

многочлена

первой

степени

L (р) — ар -)- Ь. Мы имеем:

(ар + Ь) (euf(t)) = ар (euf(t)) + beuf(t) =

— аеи (р -f- Х)/(<) + beuf( t) =

ех' {а (р +

X) +

b]f(t).

Доказательство

формулы

(5)

в общем случае проведем индуктивно

по степени

п многочлена

L (р). Для п = 1

формула, как

мы

видели,

верна.

Допустим,

что она

справедлива

для

многочлена

степени

п — 1

( л ^ 2), и докажем ее

для многочлена

L (р) степени

п. Для

этого многочлен

L (р) степени п разложим на два множителя

L(p) =

~ Li (р) •

(р),

где

Ll (p)

имеет

степень

1,

а

Ц (р) имеет

степень

п — 1.

Так

как

для

каждого

из

многочленов

Z.j(p)

и Ц(р) формула

(5) справедлива,

то

мы имеем (см. § 7, А)):

L (Р) ( ^ '/ (9) = Lx(p) (Ц (р) (euf m

— Lx (р) (еХ1Ц (р +

X)/ (9) =

=

еи Ц (р - f X) Lt (р +

Х )/(9 = euL (р +

Х)/(9.

62 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

Таким образом, формула (б) доказана.

Докажем теперь предложение Б), в котором теорема б почти пол­

ностью	содержится.
Б) Пусть L (р) — произвольный многочлен относительно символа р
и пусть функция		и>, (£)	действительного переменного t			определяется
формулой			шr (t) = L(p)ireXt,
где X— комплексное число. Оказывается, что				если	X есть А-кратный
корень	многочлена	L (р),	то функции ш0(t), ...,		(t)	тождественно
равны	нулю. С другой стороны, оказывается, что если функции u>0(f),
и, (г)....... (t) равны		нулю	хотя бы для одного	значения		t = fe,
т. е. имеют место равенства
		(*о) = Ш1(*о) = • • • = 0)*-1 (*о) =				(6)

то Xесть корень многочлена L(p) и кратность этого корня не меньше А.

Докажем предложение Б).
В силу формулы			смещения (см. (5)) имеем:
			*>r (t) = eu L{p +					l) tr.			(7)
Допустим сначала, что				X есть		А-кратный			корень	многочлена L (р),
т. е. что				L(p) =		M ( p ) ( p - \) k.
Заменив в этом тождестве р					через		—j—X,		получим:
			L(P +		K)=	M(p-\-K)p'‘.					(8)
Из формул (7) и (8) получаем:
wr (t) = e>'tM(p-\-'k)(p'4r) = 0							при		r = 0,	1,	А — 1,
так как pktr =	0	при	г<^А. Таким				образом, первая			часть	предложе­
ния Б) доказана.			что имеют				место	соотношения (6).			Разлагая
Допустим	теперь,
U p - 1-X) по степеням р,				получаем:
L (Р				Ч- biP			+	W	1 -J- bj>n.		(9)
Из соотношений (7) и (9) получаем:
а это в силу (6)		дает		ь>о(<о) = еиоЬ„,

Ьц — 0-

Допустим теперь, что имеют место равенства

Ь$ — by — ,,. — br_i — о, г ^ h 1,

(1 0 )

« 91			СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕИ	53
и докажем,	что	Ьг = 0. В силу (7), (9) и (10) имеем:
			шг (tv) — eu» r\b r.
В силу (6)	из этого		следует
			Ьг = 0.
Таким образом,		£>„ =	& , = . . . = Ьк_у = 0, и многочлен	L (р -f- X) имеет
вид:

L(p + l) = bkPk + ... + Ь ,Г = (** + . . . + Ьпрп~к)рк = Mi (/>)/.

Заменяя в этом тождестве р через р — X, получаем:

L ip) = Mi (р — X) • (р — X)ft,

а это показывает, что		X есть корень	многочлена L (р), причем крат­
ность его	не меньше	k .
Таким	образом, предложение Б) доказано.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы			5. Из первой части предложе­

ния Б) непосредственно следует, что функции (3), указанные в фор­

мулировке теоремы 5, являются решениями уравнения								(2).	Докажем,
что, выбирая надлежащим образом константы							с1, ...,	сп,	мы можем
получить	по	формуле		(4) произвольное		решение z *		уравнения (2)
(при этом, в отличие от того, что было						сделано при доказательстве
теоремы 4, мы здесь не будем пользоваться теоремой 3).
Пусть	z* — произвольное				решение	уравнения (2),		определенное
на некотором		интервале rx<^t<^r%, и				пусть	10 — некоторое число
из этого интервала.			Положим:
	M*o) =		z0,	г* ((«) =	■*«, •••-	4 1~ ,)(* «)= 4 в -,).

Теперь будем искать такие константы с1........сп, чтобы решение z уравнения (2), определяемое формулой (4), удовлетворяло тем же

начальным условиям, что и заданное				решение г*. Тогда будем		иметь
z — z* (на	интервале	r i< ^ < V a) в		силу теоремы	единственности.
Для определения констант с1,			сп мы получаем систему уравнений
с 'ф (<.) +	(*•) +	. • • ■+	(*о) =	* = О, 1,	..., п -	1. ( I 1)

Для того чтобы система (И ) была разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы

1* 1(«	** (*»)	• ••	\
	4Ч*о)	...	(*.)
\ 4 - l)( g	4 " - п«о) ...

был отличен от нуля. Покажем, что этот детерминант не равен нулю. Для этого покажем, что строки матрицы (12) линейно независимы.

6 4 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл. J

Допустим противоположное, и пусть bn_t, Ьп_г....... Ьп— те константы,

не обращающиеся	одновременно в		нуль, на которые следует			умно­
жить первую, вторую и так далее			строки матрицы, для того			чтобы
сумма их была равна пулю. Выписывая сумму элементов у-го					столбца,
получаем равенство
	Ц	я _ 2)( м + ...	+ * п - * а д ) + * » - 1*у(<.)=о,
которое можно переписать в виде:
		M (p )Z j\t_ta = 0 ,					(13)
где М(р) = Ьйрп~'...........................			-M n -s /7 + ^л-1- Полученное равен­
ство (13) для у =	1........ ki дает, что X, есть по меньшей мере А,-крат­
ный корень многочлена М(р) (см. предложение				Б)). Точно	так		же
для у = £,-}- 1. ...»		полученное равенство		дает, что	Х4		есть

по меньшей мере Aj-кратный корень многочлена М(р). Совокупность всех равенств (13) приводит нас к выводу, что (с учетом кратностей)

многочлен М(р)

имеет не менее п

корней, а это невозможно, так

как

его

степень

не выше, чем п — 1. Итак, предположение о равенстве

нулю детерминанта матрицы ( 12) привело нас к

противоречию, а это

значит,

что система (И )

разрешима

(и

притом

однозначно)

относи­

тельно

неизвестных

с \

с \

... ,

сп.

Таким образом, теорема 5 полностью доказана.

Отметим одно очевидное следствие теоремы 5.

В)

Каждое

решение

z(t)

уравнения

(2)

может быть

записано

в виде:

,

+

... +

х

,

г (0 = / , (0 eV + / , (<)

/ m it) e <

где f j

(0 есть

многочлен

степени,

не

превосходящей

числа

k j — 1,

j =

1,

..., т.

При этом

многочлены

f

t (i)........ / т (0

определены

однозначно решением z(t), так как их коэффициенты являются константами интегрирования с1, с4, ... , сп, которые в силу теоремы 5 определены решением z(t) однозначно.

Если коэффициенты уравнения (2) действительны, то перед нами стоит задача выделения из совокупности комплексных решений урав­ нения (2) его действительных решений.

Г) Будем считать, что коэффициенты характеристического много­

члена L (р) уравнения (2) действительны. Пусть X— некоторый								корень
многочлена L(p)			кратности	k; тогда	при г = 0,		1, ... , k — 1	функ­
ция	trext	является	решением	уравнения		(2). Если	корень X действи­
тельный, то функция treu действительна,						если же корень X комплекс­
ный,	то	наряду	с решением irext имеется комплексно-сопряженное
ему	решение		так как Xесть корень кратности k многочлена L (р).
Таким образом, в системе решений (3)					наряду с каждым комплексным

81	СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ	55
решением имеется сопряженное с ним решение.		Для того чтобы ре­
шение (4) было действительным, необходимо		и достаточно, чтобы
коэффициенты	при действительных решениях были действительными,

а коэффициенты у попарно сопряженных комплексных решений были попарно сопряжены.

Доказательство предложения Г) проводится точно так же, как и доказательство предложения Д) § 7 на основе предложения Г) § 7.

П р и м е р ы

1. Решим уравнение

z v -f- 3zlv -j- 3 /" -)- z" = 0.

Уравнение это может быть записано в виде (2), где характеристиче­ ский многочлен L (р) имеет вид:

/ + 3 / + 3/r 4 V = ^ o > + i ) J.

Корнями		этого многочлена		служат		числа
				Х| =	0,	Xj =	— 1,
имеющие		кратности	k l =	2,	k^ — Ъ.		Поэтому в силу теоремы 5
система	решений (3)		для рассматриваемого уравнения имеет вид:
		z , = 1,	Z] = t, z3 = e~‘, zi = te~t, zB—
Общее	решение дается формулой
		г = (с1+ сН) -|- (с3 + сЧ + Л 3) е-*.

2. Решим уравнение

ziv_|_2z"-t-z = 0.

Характеристический многочлен равен L (р) = (р* -j- О*; его корнями (двукратными) являются числа Х, = /, Х2= — I. Общее решение рас­ сматриваемого уравнения записывается в виде:

z — (с* -f- сЧ) elt - f (с3 -(- сЧ) е~н.

Нижеследующие два примера дают общие правила выделения действительных решений, непосредственно вытекающие из предложе­

ния Г).	Примеры 3 и 4 вполне аналогичны примерам		2 и 3 § 7.
3.	В примере 2 § 7 не учитывался	конкретный	вид решений,
а было	лишь предположено, что система	решений z„	..., zn состоит

из попарно сопряженных решений и действительных решений. По­ этому те же рассуждения показывают, что и в случае кратных кор­ ней, мы имеем следующее общее правило. В системе (3) следует каждую пару комплексно-сопряженных решений заменить действитель­ ной и мнимой частями одного из этих решений. Полученная таким

56 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл I

образом система функций обладает тем свойством, что любое дейст­ вительное решение является их линейной комбинацией с действитель­

ными коэффициентами.
4. Пусть	_
treu,	1геи

— два комплексно сопряженных решения из системы (3). В случае действительного решения z часть суммы (4), соответствующая этим решениям, может быть записана в виде:

Положим:
Тогда мы будем иметь:
z =	cos (ч( -f- о).	(14)
Этим способом можно каждую пару комплексно-сопряженных		реше­
ний, входящих в сумму (4),	заменить действительной функцией	вида

(14), содержащей две произвольные действительные константы р и а.

Здесь

вновь,

как и

в примере

3 §

7,

видно,

что наличие мнимой

части

ч Ф 0

корня X придает решению колебательный

характер,

а

наличие действительной части р. ф 0

корня

X вызывает

либо

возра­

стание

решения

(при

;а^> 0), либо его

убывание (при |*«\0).

Нако­

нец, кратность

корня

X вызывает

появление

множителя

f ,

который

также

влечет

возрастание решения,

однако

при

t — со

ч

при

jx

О

возрастание решения, вызванное множителем (г, гораздо меньше, чем

убывание, вызванное множителем е•**,		так что при р < ^ 0 (и	любой
кратности корня) решение стремится к		нулю при возрастании	t.
б. Используя результаты примеров		3 и 4, мы можем записать
все действительные решения уравнения,		рассмотренного в примере ‘2,
в двух следующих формах:
z =	(а1-)- аН) cos ( -f- (bl -|- ЬН) sin t,
г =	p, cos (( - f cii) - f P»< COS (t -f- a4).
§	9. Устойчивые многочлены

Пусть

L(p)z — 0

(1)

— линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Вопрос о том, как ведут себя решения этого уравнения при t —■-|-оо (стремятся ли они к нулю, остаются ограниченными или неограниченно возрастают), играет очень важную роль в целом ряде приложений теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

» e l

УСТОЙЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

57

В примерах 3 § 7 и 4 § 8 уже отмечалось, что этот вопрос о по­ ведении решений уравнения (1) связан с тем, каковы действительные части корней многочлена L (р). Формулируем теперь эту связь более точно:

А) Многочлен L (р) называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные действительные части или, говоря геометриче­ ским языком, лежат по левую сторону от мнимой оси плоскости комплексного переменного. Пусть

\/ = IV + *v/> J — ]> •••> т

— все корни многочлена L (р). Если многочлен этот устойчив, то существует такое положительное число о, что

	Ру<С — *.	/ =	1, .... т.		(2)
Мы покажем, что для	каждого	решения 'f(f)			уравнения ( 1) в этом
случае найдется такое	положительное		число	М,	что
] ср (О I <С 7И е~*			при t ^	0.	(3)

Эта формула не только показывает, что каждое решение уравнения (1)

стремится к нулю при t —♦ -f- оо, но и

оценивает, насколько

быстро

это

стремление к нулю

происходит.

zs,

Докажем

формулу

(3)

сначала

для

произвольного

решения

s =

1........ п,

уравнения

(1),

входящего

в

систему функций

(3) §

8.

Мы

имеем:

,г

А /

, откуда

I

Zc

I

,r

(ix.+a)f

z, — tre

)

=

f е

i

Так как число ру4~а в силу (2) отрицательно, то функция

стремится

к нулю при / - . с о и потому

ограничена при t^sQ . Таким

образом,

мы

имеем:

|< 7 И ,

при * s* 0.

или,

что

то же,

1^

| <

Mse-«

при

t s ? 0.

Если теперь

<Р(0 =

с'г, 4- Л -, + .

. .

4- cnz„

— произвольное решение уравнения

(1),

то при / ^ > 0 имеем:

I <Р(0 К

( I f 111• М, 4-

| с* I • M9+ . . . +

I с" I • М„) e-« = М ег-.

Таким образом, неравенство (3)

доказано.

Следует

отметить,

что

если хотя бы один из корней Ху многочлена L(p) имеет положитель­ ную действительную часть р ^ ^ .0, то существует решение е ? урав­ нения (1), неограниченно возрастающее при t —>оо.

58	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	(Гл. 2
	Нахождению различных, по возможности удобных для практи­
ческого применения условий устойчивости многочленов до сих		пор

посвящаются многие исследования математиков. Для многочлена вто­ рой степени условие устойчивости непосредственно выводится из формулы решения квадратного уравнения (см. Б)). Вопрос об устой­ чивости многочлена произвольной степени п был решен в несколько

различных

формах

математиками

Раусом

и Гурвицем.

Условия Ра­

уса— Гурвица, однако,

мало удобны для

вычислительной

практики,

и потому продолжают до сих пор

отыскивать новые

формулировки

условий устойчивости. Здесь будет

приведено

доказательство

крите­

рия

Рауса — Гурвица

для

л = 3 и

без

доказательства

будет

дано

условие устойчивости для

произвольной

степени п в форме

Гурвица.

Б) Многочлен второй степени L (р) = р * а р b с действитель­

ными

коэффициентами

а и b тогда

и только

тогда

устойчив,

когда

коэффициенты его

положительны.

Это утверждение легко проверяется при помощи формулы реше­

ния

квадратного уравнения.

а1рп~ '-(- ... -f- ап с действитель­

В)

Если

многочлен

L (p )= p n

ными коэффициентами устойчив, то

все

его

коэффициенты

положи­

тельны.

Для доказательства разложим многочлен L (р) на действительные

множители

первой

и второй степени, т.

е.

на

множители

вида

р -f- с

иТак как многочлен L(p) устойчив, то и каждый мно­

житель указанного вида, входящий в его состав, также устойчив. Для устойчивости множителя р -)- с необходимо, чтобы число с было положительно, а для устойчивости множителя р* -\-ap -\-b необхо­ димо, чтобы оба числа а, b были положительными. Из положитель­ ности коэффициентов множителей легко следует положительность коэффициентов произведения.

Нижеследующая теорема дает критерий устойчивости для много­ членов 3-й степени.

Т е о р е м а 6. Многочлен

L (р) — а3р3-(- atf* -(- atf -f- а3, а9^>0

с действительными коэффициентами тогда и только тогда устой­ чив, когда числа alt аа, а3 положительны и, сверх того, выпол­ нено неравенство

а±а3	а3а3.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При доказательстве будем		рассматривать
многочлен
L (р )= Р 3+	ар9 + Ьр + с\	(4)

случай общего многочлена L (р) легко сводится к этому. В силу предло­ жения В) нам достаточно доказать, что многочлен (4) с п о л о ж и ­ т е л ь н ы м и коэффициентами а, Ь, с тогда и только тогда устойчив,

§ 91

УСТОПЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

59

когда имеет место

неравенство

ab~^>c.

(5)

При доказательстве

мы воспользуемся тем, что корни многочлена

являются непрерывными функциями его коэффициентов.

Выясним прежде всего, при каких условиях многочлен

(4)

имеет

чисто мнимые корни, в частности,

корень р = 0,

который также сле­

дует считать чисто

мнимым,

так

как он лежит

па

мнимой

оси. Мы

имеем:

L (р) = (Р -fа) (р2 -f- b) — ab -L с.

(6)

Если многочлен L(p)

имеет

корень

0,

то с =

0,

а это по

предполо­

жению исключено,

гак

как

с

0.

Допустим,

что

корнем

многочле­

на L (р) является число /ш,

где

w ф 0.

Если

предположить

при

этом,

что число — w2—J—Ь отлично ог пуля,

то число (Аи-}-а)(—

имеет отличную от

нуля мнимую часть и не может

взаимно уничто­

жаться с действительным

числом — ab -|- с. Таким

образом,

число /ш

лишь тогда может

быть

корнем многочлена L (р), когда— u)‘2-j- 6

= 0;

в этом случае мы имеем

равенство

Ц1т) = — ab -\-c = 0.

Обратно, если ab — c, то в силу (6) многочлен L(p) имеет чисто мни­

мые корни р — -+- i V Ь. Таким образом, многочлен /_(р) (с положи­ тельными коэффициентами) тогда и только тогда имеет чисто мнимые корни, когда ab — c. В частности, при непрерывном изменении поло­ жительных коэффициентов а, Ь, с корень многочлена L (р) только

тогда	может пересечь мнимую ось, когда выполнено равенство ab — с.
Допустим, что неравенство (5)		не выполняется. Тогда либо			ab — c,
либо	ab<^c. В первом случае многочлен L (р)		имеет	чисто	мнимые
корни	и, следовательно, неустойчив. Покажем,		что во	втором случае,
т. е. при выполнении неравенства
	ab	с,			(7)

многочлен L (р) также неустойчив. Будем менять непрерывно коэф­ фициенты а и Ь, оставляя их положительными, так, чтобы они стре­ мились к нулю и чтобы при этом неравенство (7) не нарушалось. При этом изменении ни один корень не перейдет с одной стороны мнимой оси на другую, и, следовательно, свойство многочлена быть устойчивым или неустойчивым не изменится. При а — Ь — 0 получаем

многочлен р3 -{- с, который имеет корни у1'"с ^cos у — / sin y j , лежа­

щие по правую сторону мнимой оси. В силу непрерывности зависи­ мости корней от коэффициентов, неустойчивость (наличие корней справа от мнимой оси) сохраняется и при достаточно малых поло: жительных а п Ь.