1.1.4. Условная вероятность

Два случайных события S₁ иS₂ называют независимыми, если вероятность каждого из нихне меняется в связи с наступлением или ненаступлением другого. В противном случае события будутзависимыми.

В реальном мире можно проследить связи практически между любыми событиями. Вопрос лишь в том, насколько пренебрежение этими связями искажает представление (информацию) об интересующем нас явлении.

Условной вероятностьюсобытияS₁по отношению кS₂называется вероятность наступленияS₁, вычисленная при условии наступления событияS₂. Условная вероятность обозначается как.

Если , то по определению

.

Примечание. Не следует путатьнезависимостьсобытийс ихнесовместимостью . Для несовместных событийS₁иS₂ вероятность .

1. Для независимых несовместных событий :

– вероятность объединения, т.е. вероятность наступления хотя бы одного из них, равна сумме вероятностей этих событий:

;

(1.10)

– вероятность совмещения, т.е. вероятность осуществления обоих событий, равна произведению их вероятностей:

.

(1.11)

2. Для зависимых событий :

– вероятность совмещения зависимых событий определяется как

;

(1.12)

– вероятность объединения двух совместных событийвыражается зависимостью

.

(1.13)

3. Для решения задач по определению вероятности событий можно использовать элементы комбинаторики.

Число сочетанийизn элементов поk

.

(1.14)

Число перестановокизn элементов

.

(1.15)

Число размещений из n элементов по k (сочетания с учетом перестановок)

.

(1.16)

При этом по определению полагают, что 0!=1, так что . Из формулы (1.14) легко видеть, что .

Пример1.3. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята, если условия приема допускают не более 1 бракованного изделия из 50 проверенных.

Решение. Из 100 изделий 50 можно выбратьспособами. Из 95 исправных изделий 50 можно выбратьспособами. Вероятность А (ни одного бракованного изделия при испытании). Аналогично вероятностьВ(только одно бракованное изделие), тогда вероятность принятия партииP=P(A) + P(B), т.к. событияА и Внесовместны, т.е. невозможно их наступление в одно и то же время. Искомая вероятность.

Пример1.4. Причинами неисправности двигателя автомобиля могут быть:А– нарушение топливоподачи,В– нарушение зажигания. При испытаниях вероятности в том и другом случаях составили соответственноР(А) = 0,1иР(В) = 0,3. Найти вероятность отказа двигателя при очередном испытании.

Решение. СобытияАиВсовместны, следовательно, искомая вероятность

Р = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,1 + 0,3 – 0,03 = 0,37.

Пример1.5. Автомат заряжен пятью патронами, два из которых холостые. Производятся два выстрела. Определить вероятность того, что оба они будут холостые.

Решение. Обозначим черезАпервый холостой выстрел, а через– боевой. Тогда.

Поскольку соотношение между холостыми и боевыми патронами меняется, то вероятность второго холостого выстрела (событие В) зависит от того, какое событие было перед ним. Следовательно, событияАиВзависимы. Вероятности событияВ могут быть такими: P(В/A) = 1/4, P(В/) = 2/4.

Вероятность двукратного холостого выстрела является совмещением А и В для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(А) ^. Р(В/А) = 2/5 ^. 1/4 = 1/10.

Задания для самостоятельной работы

1. Условием сдачи зачета является ответ на один из двух заданных вопросов. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые ему могут быть предложены. Какова вероятность сдачи зачета?

2. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления Rи конденсатораС. Вероятности выхода их из строя соответственно –P(R) = 0,1иP(C)=0,25. Определите вероятность выхода из строя электрической цепи.

3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более чем в четыре места?

4. Среди файлов, хранящихся в каталоге, 15 % – исполняемые, а остальные – файлы данных. Среди файлов данных 80 % защищены атрибутом ReadOnly. Какова вероятность того, что наугад взятый файл окажется защищенным?

5. Составьте задачи на использование формул сложения и умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.