1.4.3.1. Потоки событий

В частном случае поток событий можно представить как последовательность точек на оси времениtс разделяющими их интервалами(рис.1.9), так что

.

t

Рис.1.9. График потока событий

Потоки событий обладают следующими свойствами.

Ординарнымназывают поток, если события в нем появляются поодиночке, а не “пачками”. Это означает, что вероятность попадания на участокt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события:

.

Потоком без последствияназывают поток, в котором для любых непересекающихся участков времени(рис.1.10) число событий, попадающих на эти участки,представляет собой независимую случайную величину.

0

Рис.1.10. Поток без последствия

Стационарнымназывают поток, если его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длинойзависит только от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времениt этот участок расположен.

Поток событий, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами, называют простейшим пуассоновским потоком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке длиной наступит ровноk событий, определяется по формуле

,

(1.73)

где  = const интенсивность потока, равная математическому ожиданию числа событий, поступающих в единицу времени.

Согласно предельной теоремесумма ординарных стационарных потоков событий сходится к простейшему пуассоновскому потоку.

Очевидно, что при сложении nнезависимых стационарных потоков будет получен простейший поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей складываемых потоков:.

Предельная теорема для суммарного потока дает теоретическое обоснование для широкого использования в простейших задачах предположения о том, что фигурирующие в них потоки событий являются пуассоновскими.

Пример1.19. В многопользовательской информационной системе одновременно работают 5 человек с производительностью каждого

(запросов в час). Вероятность ввода некорректного запроса, на который будет получен отказ системы –. Найти вероятность того, что количество ответов системы составит не менее 14 в час.

Решение. Интенсивность корректных запросов

Вероятность искомого события

1.4.3.2. Марковские процессы с дискретными

состояниями. Марковские цепи

Рассмотрим физическую систему, множество S дискретных состояний которой конечно,.

Для рассмотрения возможности системы S переходить из одного состоянияв другоеудобно пользоваться наглядной схемой, называемойграфом состояний. Вершины графа соответствуют состояниям системы. Стрелки, ведущие из вершиныв, обозначают возможность перехода системы из одного состояния в другое.

Примером такой системы S может служить техническое устройство, возможные состояния которого следующие:

 исправная работа;профилактический осмотр и обслуживание;ремонт;списание за негодностью (рис.1.11).

Рис.1.11. Граф состояний системы

Из анализа графа видно, что из состояния нормальной работы система может переходить в состояние профилактического обслуживания, а затем опять возвращаться в. Или переходить изв состояние ремонта, после чего либо возвращаться в, либо переходить в состояние списания. Состояниеявляется конечным, т.к. переход из него невозможен. Переход изопять возначает задержку в этом состоянии.

На практике часто встречаются системы, состояния которых образуют цепь, в которой каждое состояние(кроме крайних) связано прямой и обратной связями с двумя соседними, а крайние – с одним соседним (рис. 1.12).

… …

… …

Рис.1.12. Цепь состояний

Примером такой системы может служить техническое устройство, состоящее из однотипных узлов. Каждое состояние системы характеризуется числом неисправных в данный момент t узлов.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями важную роль играют вероятности состоянийвероятности событий, состоящих в том, что в моментt системаS будет в состоянии:

.

(1.74)

Очевидно, что в любой момент t сумма вероятностей состояний равна единицекак сумма вероятностей полной системы несовместных событий.

Случайный процесс, протекающий в системе S с дискретными состояниями, называютмарковским, если для любого момента временивероятность каждого из состояний системы в будущем (приt > ) зависит только от ее состояния в настоящем (приt = ) и не зависит от того, когда и как она пришла в это состояние, т.е. не зависит от ее поведения в прошлом (приt < ).

При дискретном времени изменения состояний системы каждый переход от одного состояния к другому называют шагом.

Из определения марковской цепи следует, что для нее вероятность перехода системы Sв состояние на(k+1)-м шаге зависит только от того, в каком состояниинаходилась система на предыдущемk-м шаге. Основной задачей исследования является нахождение вероятностей состоянияна любомk-м шаге:

(1.75)

Для нахождения этих вероятностей необходимо знать условные вероятности перехода системы S наk-м шаге в состояние, если известно, что на предыдущем(k-1)-м шаге она была в состоянии. Обозначим эти вероятности как

(1.76)

Вероятности называютпереходными вероятностямимарковской цепи наk-м шаге. Вероятностьесть вероятность того, что наk-м шаге система задержится(останется) в состоянии.

Цепь Маркова называют однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, const.

Переходные вероятности можно записать в виде квадратной матрицы размером n ×n:

.

(1.77)

Вероятность состояния системы на следующем шаге определяется по рекуррентной формуле

(1.78)

При некоторых условиях (эргодичность, однородность, отсутствие циклов) в цепи Маркова устанавливается стационарныйрежим, в котором вероятности состояний системы уже от номера шага не зависят. Такие вероятности называютпредельными(или финальными) вероятностями цепи Маркова:

(j = 1, 2, ..., n).

(1.79)

Вероятность переходов можно записать непосредственно на стрелках графа марковской цепи. Тогда получим размеченный граф состояний системы S (рис. 1.13).

Рис.1.13. Размеченный граф