1.1.5. Полная вероятность

Пусть событие А может наступать только при условии появления одного из событий, образующих полную систему событий¹. Тогда вероятность событияА равна сумме произведений вероятностей каждого из событийна соответствующую условную вероятность событияА:

.

(1.17)

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Если события образуют пространствоS , то

.

Если вероятности событий до опыта были P(), то с учетом появления в результате опыта событияА условная вероятностьP(/A) вычисляется поформуле Байеса:

.

(1.18)

В настоящее время формула Байеса находит широкое применение при принятии решений в условиях риска и неопределенности.

Пример1.6. Известно, что 30 % студентов регулярно готовятся к занятиям в течение семестра, 25 %только периодически, а 45 % серьёзно изучают дисциплины только при подготовке к экзаменам. Вероятность успешной сдачи экзамена составляет соответственно для студентов первой группы 0,99, второй0,9, третьей0,75. Определить вероятность того, что случайно взятый студент имел «неуд» в прошлой сессии.

Решение. Обозначим:S₁ студент принадлежит к первой группе, S₂ – студент принадлежит ко второй группе,S₃студент принадлежит к третьей группе. СобытиеА заключается в том, что случайно взятый студентзадолжник. Из условия задачи легко находятся вероятности:

P(S1) = 0,3, P(S2) = 0,25, P(S3) = 0,45,

P(A/ S1) = 1 – 0,99 = 0,01, P(A/ S2) = 0,1, P(A/ S3) = 0,25.

По формуле (1.17) находим вероятность того, что случайно взятый студент задолжник:

Пример1.7. Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равна 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех стрелков в одну мишень в ней оказалось одно попадание. Определить вероятность того, что в мишень попал первый стрелок (второй, третий).

Решение. Пусть событиеА состоит в том, что после трех выстрелов зафиксировано одно попадание. До опыта возможны следующие события, совместные сА:

B₁  попал первый стрелок, второй и третий промахнулись;

B₂  попал второй стрелок, первый и третий промахнулись;

B₃ попал третий стрелок, первый и второй промахнулись.

Применив теорему умножения вероятностей (1.11) для независимых событий, находим:

P(B1) = 0,2 (1 – 0,4) (1 – 0,6) = 0,048; P(B2) = (1 – 0,2) 0,4 (1 – 0,6) = 0,128; P(B3) = (1 – 0,2) (1 – 0,4)0,6 = 0,288.

После опыта согласно (1.18) вероятности событий с учетом А будут следующими:

Задания для самостоятельной работы

1. Имеются две папки с документами по 12 и 10 документов в каждой соответственно, причем в каждой папке одно еще не зарегистрировано. Документ, взятый случайно из первой папки, переложен во вторую. Определите вероятность извлечения незарегистрированного документа из второй партии.

2. Один из трех студентов вызывается для ответа на вопрос преподавателя. Ответ правильный. Вероятность правильного ответа для первого студента равна 0,3, для второго 0,5, для третьего0,8. Найдите вероятность того, что вызван был второй студент.

3. Условием сдачи зачета является ответ на один из двух заданных вопросов. Студент не знает ответов на 5 вопросов из 30 возможных. Какова вероятность сдачи зачета? Как изменится вероятность сдачи зачета, если студент должен ответить на два вопроса из трех заданных?

4. Придумайте задания на использование формулы полной вероятности и формулы Байеса.