1.3. Системы случайных величин

Совокупность nСВ(), рассматриваемых совместно, называетсясистемой n случайных величин.

В частном случае при n = 2 мы имеем систему двух СВ(Х,У), которые геометрически интерпретируются как случайная точка с координатами(Х, У)на плоскостих0у(рис. 1.5) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку(Х,У).

Рис.1.5. Система двух СВ Рис.1.6. Функция распределения двух СВ

Функцией распределениясистемыnСВ ()называется вероятность совместного выполнения n неравенств:

.

(1.44)

Геометрически функция распределения двух случайных величин интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (Х,У)в левую нижнюю часть плоскости, ограниченную(х,у) (рис.1.6). Функцией распределенияF(х,у) называется вероятность совместного выполнения двух неравенствХ х, У у:

.

Плотностью распределениясистемыnслучайных величин является смешанная частная производнаяn-го порядка функции распределения. Для системы двух СВ (Х,У)

.

(1.45)

Вероятность попадания случайной точки (Х,У)в произвольную областьD выражается формулой

.

(1.46)

Если область Dпредставляет собой всю плоскость, то

.

(1.47)

Функция распределения системы (Х,У)выражается через плотность распределения двойным интегралом

.

(1.48)

Плотность распределения отдельных СВ, входящих в систему (Х,У), выражается следующим образом:

.

(1.49)

Условные плотности распределения Х и У, входящих в систему (Х,У),

.

(1.50)

Для независимых величин справедливо

.

(1.51)

Эти выражения могут быть распространены на систему nСВ.

Основными числовыми характеристиками системы (Х,У)являются следующие.

1. Математические ожидания и, являющиеся координатами центра рассеивания системы:

для дискретных CВ

(1.52)

для непрерывных СВ

(1.53)

где .

2. Дисперсии,, характеризующие рассеивание случайной точки вдоль осейOxиOy:

для дискретных СВ

(1.54)

для непрерывных СВ

(1.55)

3. Корреляционный момент (ковариация), характеризующий связь между СВХ иУ:

для системы дискретных СВ

(1.56)

для системы непрерывных СВ

;

(1.57)

для независимых СВ .

Безразмерной характеристикой связи СВ служит коэффициент корреляции

,	(1.58)
,

который характеризует степень тесноты линейной зависимости между ХиУ. Для любых СВ.

Корреляционной матрицей системы n СВ называется таблица, составленная из корреляционных моментов всех этих СВ, взятых попарно. С учетом того, что, обычно корреляционная матрица записывается как

.

(1.59)

Элементы главной диагонали равны дисперсиям СВ системы:

.

Нормированная корреляционная матрица составляется из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно:

,

(1.60)

где коэффициент корреляциии.