Расчет цепи Маркова для стационарного режима

Для нахождения финальных вероятностей необходимо составить систему алгебраических уравнений исходя из правила: для стационарного режима суммарный поток, переводящий систему из других состояний в состояние , равен суммарному потоку вероятностей событий, выводящих систему из состояния:

.

(1.80)

К этим уравнениям надо добавить нормировочное условие, отбросив любое (одно) из уравнений. Полученная система уравнений сn неизвестными имеет единственное решение.

Пример1.20. Вычислительная машина находится в одном из следующих состояний:

 исправно работает;

 неисправна, тестируется;

 неисправна, настраивается программное обеспечение;

 находится на профилактике;

 ремонтируется, модернизируется.

Размеченный граф состояний показан на рис. 1.14. Составить систему уравнений и найти предельные вероятности состояний.

Решение. Рассмотрим состояниена графе. В это состояние направлено две стрелки, следовательно, согласно (1.80) в левой части уравнения дляj = 5 будут два слагаемых. Из этого состояния выходит одна стрелка, следовательно, в правой части уравнения будет одно слагаемое. Таким образом, получаем первое уравнение системы

.

Рис.1.14. Размеченный граф состояний к примеру 1.20

Аналогично запишем еще три уравнения для оставшихся состояний (вершин графа):

В качестве пятого уравнения возьмем нормировочное условие

.

Уравнение для узла отбрасываем. Его можно затем использовать для контроля полученного решения.

Перепишем систему уравнений в таком виде:

В результате решения системы методом подстановок получим:

Заметим, что для решения этого примера нам не потребовались вероятности «задержек» .

Пример. 1.21. В локальной вычислительной сети работают три ЭВМ. Через определенные промежутки времени все ЭВМ тестируются, в результате чего каждая признается либо исправной, либо требующей ремонта. Вероятность того, что за время  исправная ЭВМ выйдет из строя, равнаr, а что неисправная будет отремонтирована, равна q. Процессы выхода ЭВМ из строя и их восстановление протекают независимо друг от друга. Полагаяr = 0,2, q = 0,3, найти финальные вероятности.

Решение. Построим граф состояний (рис.1.15), нумеруя их по числу неисправных ЭВМ:ни одной неисправной,одна неисправна,две неисправны,все три неисправны.

Для того чтобы система перешла из состояния в состояние, нужно, чтобы одна из трех эвм за время вышла из строя.

Рис.1.15. Граф состояний к примеру 1.21

Эта вероятность согласно закону распределения Бернулли

.

Аналогично находим:

.

Для проверки можно убедиться в том, что

.

Для того чтобы система из состояния перешла в состояние, нужно, чтобы неисправная ЭВМ за время была отремонтирована(А),а две исправные не вышли из строя(В). Тогда

,

аналогично находим:

Рассуждая подобным образом, определим:

Составим матрицу переходов при r = 0,2и q = 0,3:

.

Для рассматриваемого примера система уравнений (1.80) может быть записана в следующем виде:

Решая полученную систему линейных уравнений одним из известных методов, получим: .

Задания для самостоятельной работы

1. Измерительный прибор находится в одном из четырех состояний: s₁– исправно работает,s₂– плановый ремонт,s₃– текущий ремонт,s₄– простой. Граф состояний приведен на рис.1.16. Вероятности переходовр₁₂=0,2, р₁₄=0,3 р₂₁=0,6, р₃₁=0,1, р₃₂=0,2, р₄₃=0,4. Составьте систему уравнений и найдите предельные вероятности состояний.

s₁ p₁₄ s₄

p₁₂ p₂₁ p₃₁ p₄₃

s₂ p₃₂ s₃

Рис.1.16. Граф состояний измерительного прибора

2. Составьте граф состояний студента в период обучения (от абитуриента s₀, первокурсникаs₁до выпускникаs₆).

3. Составьте для предыдущего задания матрицу переходов, приняв вероятность успешной сдачи экзаменов в очередной сессииР = 0,9.

4. Для условий примера 1.21 найдите финальные вероятности, предположив, что за период  только одна ЭВМ может быть отремонтирована.