1.3.1. Законы распределения систем случайных величин

1. Закон распределения системы дискретных случайных величин может быть задан таблично ():

		. . .		. . .
	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .		. . .
	. . .	. . .	. . .	. . .

Законы распределения составляющих системы находятся суммированием вероятностей по строкам и столбцам таблицы соответственно.

2. Преобразование функции и плотности распределения системы выполняется в соответствии с формулами (1.44) – (1.51).

Пример1.14. Физические параметры человека, такие как рост и вес, могут быть описаны двумерной случайной величиной(Х , У), гдеХрост;Увес. На основании исследования экспериментальных данных получен двумерный закон распределения системы(Х,У), который представлен табл.1.7.

Таблица 1.7. Распределение вероятности соотношения роста и веса

	x1=160	x2=170	x3=180
y1=70
y2=80

В этой таблице показывает вероятность того, что человек, обладающий ростом,будет иметь вес.

Требуется найти одномерные законы распределения каждой из случайных величин системы (Х,У).

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений весаY:

Закон распределения составляющей Хзапишется так (табл.1.8):

Таблица 1.8. Распределение вероятности роста

	0,26	0,38	0,36

Контроль: .

Сложив вероятности по строкам, получим закон распределения составляющей У(табл.1.9).

Таблица 1.9. Распределение вероятности веса

	0,56	0,44

Контроль:

Пример 1.15. Система случайных величин (Х, У) описывает рост и вес человека в отклонениях от средних значений (рост – = 170 см;вес – =66 кг) и имеет функцию распределения

Найти плотность распределения вероятностей системы случайных величин f(x, y).

Решение. Согласно формуле (3.2) находим

Отсюда

Полученное выражение позволяет определить вероятность встречи человека с заданным соотношением веса и роста.

Пример1.16. Ошибка позиционирования пера графопостроителя может быть описана системой двух случайных величин(Х,У)(координатных осей). Система двух случайных величин подчинена равномерной плотности распределения внутри круга радиусомr. Написать выражение для плотности распределения системы и отдельных СВ.

Решение. Плотность распределения системы(Х, У),равномерно распределенной внутри круга, выражается формулой

Пользуясь формулами (3.7), найдем плотность распределения вероятностей отдельных величин:

Аналогично

.

Задания для самостоятельной работы

1.Число рабочих циклов двигателя Хи пробег автомобиляУвзаимосвязаны. Найдите законы распределения составляющих(Х, У),заданных двумерной таблицей распределения вероятностей (табл.1.10).

Таблица 1.10. Распределение вероятности системы двух СВ

		= 0,062	= 0,082
	= 0,116	= 0,16	= 0,07
	= 0,111	= 0,111	=0,182

2. Координаты радиостанции, полученные в результате пеленга, представляют собой систему двух случайных величин (Х, У),подчиненную равномерному закону распределения в треугольнике, определенном прямымиХ = 0, У = 0, Х + У = а, гдеа  0. Определите:

а) функцию распределения системы (Х, У); б) законы распределения одномерных случайных величин.

3. Положение точки на экране навигационного прибора имеет погрешность по осям координат, которая задана независимыми СВ ХиУ, подчиняющимися законам равномерной плотности распределения вероятностей в интервалах (–1; 1) и (0; 2) соответственно. Определите плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы(Х, У).

4. Составьте и решите задачу описания законов распределения системы случайных величин.