1.4.2. Определение случайных функций

и их характеристик

При вычислении характеристик СФ следует учитывать свойства корреляционной функции.

1. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов:

.

(1.68)

2. Значение корреляционной функции в моменты времени ине превышает произведения среднеквадратичных отклонений в эти моменты времени:

.

(1.69)

3. Если к случайной функции Х(t)прибавить неслучайную(t), т.е. , то корреляционная функция не изменится:

.

(1.70)

4. Если случайную функцию Х(t)умножить на неслучайную(t), т.е. , то корреляционная функция умножается на:

.

(1.71)

5. При равенстве аргументов =tкорреляционная функция равна дисперсии:

.

(1.72)

Пример1.18. Процесс повышения уровня жидкости в сосуде описан случайной функциейХ(t), которая задана в видеX(t) = X t + b, гдеХслучайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами; b = 5– неслучайная величина. График реализаций случайной функции представлен на рис. 1.8.

Рис.1.8. График возможных реализаций СФ к примеру 1.18

Требуется найти одномерный закон плотности вероятности СФ , математическое ожидание, дисперсиюи корреляционную функцию.

Решение. Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, находим:

Центрированная случайная функция

На основании (1.63) корреляционная функция

Значением СФ X(t) = xt + b в моментt является нормально распределенная величина, поэтому одномерная плотность вероятности имеет вид

Задания для самостоятельной работы

1. Процесс уменьшения отклонения напряжения на выходе стабилизатора после скачка напряжения в электрической сети описан элементарной случайной функцией, которая имеет вид , гдеХСВ (величина скачка напряжения), распределенная по нормальному закону с параметрами. Найдите характеристики случайной функцииУ(t):.

2. Процесс снятия неопределенности в результате сбора информации о произошедшем событии может быть описан элементарной случайной функцией, которая имеет вид . ЗдесьхСВ, распределенная по показательному закону с плотностью, где интенсивность получения информации от источника. Найдите характеристики.

3. Составьте задачу, в которой опишите две элементарные случайные функции Х(t) и У(t) и найдите их взаимную корреляционную функцию .

1.4.3. Дискретные случайные процессы

Многие явления, рассматриваемые в процессе своего развития, могут описываться лишь конечным (дискретным) числом состояний, изменение (или измерение) которых происходит через определенные интервалыt: ,,,…,,.Например, в процессе обучения студент ежегодно переходит (или не переходит) на следующий курс. Накопление значений оценки успеваемости идет непрерывно, одно изменение состояния (переход на случайный курс) происходит в дискретные моменты временипосле окончания очередной сессии. Этот процесс можно охарактеризовать как процесс сдискретными состояниями и дискретным временем. Однако во многих случаях переход из одного состояния в другое происходит в неопределенные моменты времени. Например, в мультипрограммном режиме работы ЭВМ задания в различные периоды времени могут находиться в одном из состояний: готово к исполнению, исполняемое, прерванное, ожидающее. Это процесс сдискретными состояниямиинепрерывным временем.

Для исследования таких процессов в теории вероятностей используют понятиепотока событийсобытий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.