adambaev_avtomatty

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

							2.8-кесте
ê1	t, ìèí	n(t)=n(k1ƒ D ), 0Ñ	n2(t)	n(t+ D )=n(t+3)	n(t)˛n(t+3)	n(t+10 D )=n(t+30)	n(t)˛ n(t+30)
1	0,0	51,0	2601	50,0	51,0ž50,0=2546	38,0	51,0ž38,0=1935
2	3,0	50,0	2500	54,0	50,0ž54,0=2700	46,0	50,0ž46,0=2300
3	6,0	54,0	2916	52,0	54,0ž52,0=2802	47,5	54,0ž47,5=2562
4	9,0	52,0	2704	49,0	52,0ž49,0=2545	50,4	52,0ƒ50,4=2620
5	12,0	49,0	2401	49,0	49,0ž49,0=2400	49,5	29,0ƒ49,5=2424
6	15,0	49,0	2401	51,5	49,0ž51,5=2520	53,0	49,0ž53,0=2594
7	18,0	51,5	2652	47,0	51,5ƒ47,0=2417	58,0	51,5ž58,0=2983
8	21,0	47,0	2209	45,0	47,0ž45,0=2112	56,5	47,0ž56,5=2655
9	24,0	45,0	2025	43,0	45,0ž43,0=1932	55,0	45,0ž55,0=2473
10	27,0	43,0	1849	38,0	43,0ž38,0=1633	52,0	43,0ž52,0=2234
11	30,0	38,0	1444	46,0	38,0ž46,0=1745	48,0	38,0ž48,0=1823
12	33,0	46,0	2116	47,5	46,0ž47,5=2182	49,5	46,0ž49,5=2275
13	36,0	47,5	2256	50,4	47,5ž50,4=2390	53,5	47,5ž53,5=2540
14	39,0	50,4	2540	49,5	50,4ž49,5=3490	57,0	50,4ž57,0=2870
15	42,0	49,5	2450	53,0	49,5ž53,0=2620	61,0	49,5ž61,0=3002
16	45,0	53,0	2809	58,0	53,0ž58,0=3070	54,5	53,0ž54,5=2883
17	48,0	58,0	3364	56,5	58,0ž56,5=3277	53,2	58,0ž53,2=3082
18	51,0	56,5	3192	55,0	56,5ž55,0=3103	50,5	56,5ž50,5=2850
19	53,0	55,0	3025	52,0	55,0ž52,0=2860	51,0	55,0ž51,0=2810
20	57,0	52,0	2704	48,0	52,0ž48,0=2492	48,5	52,0ž48,5=2520
21	60,0	48,0	2304	49,5	48,0ž49,5=2375	47,0	48,0ž47,0=2255
22	63.0	49,5	2450	53,5	49,5ž53,5=2646	52,0	49,5ž52,0=2570
23	66,0	53,5	2862	57,0	53,5ž57,0=3048	46,5	53,5ž46,5=2483
24	69,0	57,0	3249	61,0	57,0ž61,0=3475	39,5	57,0ž39,5=2250
25	72,0	61,0	3721	54,5	61,0ž54,5=3320	42,0	61,0ž42,0=2560
26	75,0	54,5	2970	53,2	54,5ž53,2=2895	47,5	54,5ž47,5=2587
27	78,0	51,2	2830	50,5	53,2ž50,5=2682	43,0	53,2ž43,0=2286
28	81,0	50,5	2550	51,0	50,5ž51,0=2575	49,0	50,5ž49,0=2473
29	84,0	51,0	2601	48,5	51,0ž48,5=2470	54,0	51,0ž54,0=2750

88

Автоматты басқару теориясы

2.8-кестенi» жал¹асы

К1	t, ìèí	n(t)=n(k1ƒ D ), 0Ñ			n2(t)	n(t+ D )=n(t+3)	n(t)˛n(t+3)			n(t+10 D )=n(t+30)	n(t)˛n(t+30)
30	87,0	48,5			2352	47,0	48,5ƒ47,0=2280			62,0	48,5ž62,0=3000
31	90,0	47,0			2209	52,0	47,0ž52,0=2440			52,0	47,0ž52,0=2440
32	93,0	52,0			2704	46,5	52,0ž46,5=2420			50,0	52,0ž50,0=2600
33	96,0	46,5			2162	39,5	46,5ž39,5=1835			46,0	46,5ž46,0=2140
34	99,0	39,5			1560	42,0	39,5ž42,0=1660			42,0	39,5ž42,0=1658
35	102,0	42,0			1764	47,5	42,0ž47,5=1994			51,0	42,0ž51,0=2140
36	105,0	47,5			2256	43,0	47,5ž43,0=2040			55,0	47,5ž55,0=2650
37	108,0	43,0			1849	49,0	43,0ž29,0=2105			49,6	43,0ž49,6=2130
38	111,0	49,0			2401	54,0	49,0ž54,0=2642			43,0	49,0ž43,0=2104
39	114,0	54,0			2916	63,0	54,0ž62,0=3346			46,0	54,0ž46,0=2480
40	117,0	68,0			3844	58,0	62,0ž52,0=3220			51,0	62,0ž51,0=3160
41	120,0	52,0			2704	50,0	52,0ž50,0=2596				52,0ž0,00=0,00
42	123,0	50,0			2500	46,0	50,0ž46,0=2300				50,0ž0,00=0,00
43	126,0	46,0			2116	42,0	46,0ž42,0=1930				46,0ž0,00=0,00
44	129,0	42,0			1764	51,0	42,0ž51,0=2140				42,0ž0,00=0,00
45	132,0	51,0			2601	55,0	51,0ž55,0=2803				51,0ž0,00=0,00
46	135,0	55,0			3025	49,6	55,0ž49,6=2722				55,0ž0,00=0,00
47	138,0	49,6			2460	43,0	49,6ž43,0=2115				49,6ž0,00=0,00
48	141,0	43,0			1849	46,0	43,0ƒ46,0=1975				43,0ž0,00=0,00
49	144,0	46,0			2116	51,0	46,0ž51,0=2340				46,0ž0,00=0,00
50	147,0	51,0			2601	0,00	51,0ž0,00=0,000				51,0ž0,00=0,00
			å = 125654				å= 123005				å= 100151
			RH (0 )=				RH (30 )=	1	å= 2510		RH (30 )=	1	å= 2540
								49
					=
			=	1							40
					å
			50		2513

89

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

2.4.2 Кездейсоқ сигналының математикалық үмітін, центрленген АКФ, орташа квадратты ауытқу мен эквивалентті

спектральды тығыздығын есептеу

Жоғарыда

табылған АКФ lim R (t ) = 2500 ,( 0 C )²

үшін,

кездейсоқ

t ®¥

H

n(t) процестің

математикалық

n

үмітін

τ=0 және τ=3мин болғанда,

n(t )-

процесінің

центрленген

АКФ-сын

Rц(τ)

және центрленген

n

nЦ (t ) = n(t )-

шаманың орташа

квадраттық

ауытқуын s H

n

анықтаймыз.

Ол үшін келесі өрнекті қарастырамыз:

RH

(t )= lim

1

×

T [n

+ nЦ (t )]× [n

+ nЦ (t + t )]× dt =

T ®¥

2T

ò

-T

=

2 +

× lim

1

× T [nЦ (t )+ nЦ (t

+ t )]× dt + lim

1

× T nЦ (t )×nЦ t(+t )× dt

n

n

T ®¥

2T

ò

T ®¥

2T

ò

-T

-T

Екінші қосылғыш нөлге тең, ал үшіншісі – центрленген АФК,

боғандықтан, келесі теңдікті аламыз:

2

(2.90)

Rн(τ)= n +Rн(τ).

τ→∞ кезінде, центрленген кездейсоқ процестердің АКФ-сы нөлге

ұмтылады,

сондай-ақ

lim R (t ) = n2

+ 0 .

Есептің

шарты

бойынша

t ®¥

H

lim R (t ) = 2500 , ( 0 C )² болғандықтан,

=

=

= +500 C

n

lim R

(t )

2500

t ®¥

H

H

t ®¥

болады.

«+»

белгісінің

алынуы, 2.8-кестеде n(t)-ың

оң ауытқулары

көптігіне

байланысты. Содан соң белгілі

2 =2500 шамасынан және

n

белгілі Rн(0)= 2513 мен Rн(3)=2510-тен табамыз:

Rц(0)= Rн(0)- n2 = 2513 - 2500 = 13 ( 0 C )² ;

Rц(3)= Rн(3) - n2 = 2510 - 2500 = 10 ( 0 C )².

Rц(0)= 13 шамасы центрленген кездейсоқ nö (t ) шаманың

дисперсиясы. Оның орташа квадраттық ауытқуы:

s n = RÖ (0) = 13 = 3,60 C -ға тең.

90

Автоматты басқару теориясы

Cонымен, кездейсоқ n(t)

шамасында тұрақты

= +500 C

пен

n

кездейсоқ s H = 3,60 C бөліктері бар деп есептеуге болады.

Rц(τ) үшін аналитикалық

өрнек sn2 ×e-b 2 ×t 2

түріне

жатады деп

есептеп,

Rц(τ) мен

эквивалентті спектральды тығыздық Sn(ω)

үшін

сандық түрдегі өрнекті аламыз.

sn2

пен b 2

константаларын (тұрақтыларын)

анықтау

үшін

келесі теңдіктерді қолданамыз:

; R (0)

R (0) = s 2

× e-b 2 ×0 = 13

= s 2

× e- b 2 ×32

= 10 .

ц

n

ц

n

Бұлардан: sn2 =13

және

b 2

= -

1

ln

10

= 0,029 -ға

тең

немесе

2

3

13

sn =3,6

0 C және b =0,17 рад/мин болады. Сонымен Rц(τ)

үшін

ізделген аналитикалық өрнек мына түрде болады:

R (t ) = 13 ×е-0,029×t 2

;

t

=

0

2 ;

t

= мин.

Ц

[RЦ ( )]

(

С )

[ ]

Енді спектральдық тығыздықты анықтауға көшейік.

Бір ретті өлшеулер үшін кездейсоқn шама математикалық үмітпен n , mn және ықтималдықтар үлестірімімен f (n)

бағаланады. Көп ретті және үздіксіз өлшенулер кезінде кездейсоқ стационарлы n(t) процесс корреляция функциясымен:

R (t )= lim

1

T n(t )× n t(+ t )× dt ,

n

T ®¥ T -òT

немесе эквиваленттік спектральды тығыздықпен Sn(ω) сипатталады:

¥

SЦ (w )= òRЦ × coswt × dt ;

(2.91)

-¥

Қарастырылып отырған мысал үшін:

¥

w 2

w 2

sn2 × p

× e-

13 p

SЦ (w )= òsn2 × e-b 2 ×t 2 × coswt × dt =

4b 2

=

× e-

4 ××0 , 029

= 136 × e-8,64w 2

-¥

b

0,17

[Sц(ω)] = ( 0 С )² ∙ мин;

[ω]= рад/мин.

Спектральды тығыздықтың физикалық мәні, Рэлей теоремасымен

түсіндіріліп, электрлік

сигналдарды n(t )

– (кернеу

немесе ток)

қарастырғанда оңай анықталады.

91

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

¥¥

òSЦ (w )×dw = 2 × òSЦ (w )×dw

-¥

0

шамасы – 1 Ом-ға тең кедергіде шығатын толық электрлік қуат.

w2

2 × òSÖ (w )× dw

w1

шамасы - Δω=ω2−ω1 жиілік жолағындағы - n(t ) сигналының қуаты. Басқа сөзбен айтқанда, спектральдық тығыздық, n(t ) сигналының

гармоникалық құрамдарының жиіліктері бойынша қуаттың үлестірім тығыздығын сипаттайды.

Бұл жағдай тек электрлік сигналдарға ғана емес кез келген сигналдарға тарағанымен, физикалық қуат эквиваленті әрқашан орынды болмайды. Егер S(ω) графигі көлденең (гозизонтальді) түзуден координат басындағы импульсқа дейін түрін өзгертсе, онда сәйкес келетін R(τ) графигі керісінше, импульстан көлденең (горизантальді) түзуге дейін өзгереді.

2.4.3. Импульсті өтпелі функцияны есептеу

Зерттеліп отырған объектіде, біршама уақыт аралығында,

объектінің стационарлы жұмыс режимі кезінде кіріс Х(t) пен шығыс

1

Х2(t)	шамаларының орта мәнінен ауытқуын тіркеген.
Содан соң,				АКФ R1(τ)		мен ӨКФ R21(τ)			есептеген (2.4.1).
	Олардың мәндері 2.9-кестеде келтірілген.									2.9 -кесте
τ, мин		0		1	2		3	4	5	6	∞
R1(τ)		1,0		0,37	0,16		0,05	0,02	0,01	0,005	0,00
R21(τ)		0,20		0,47	0,39		0,26	0,14	0,06	0,03	0,00
Объектінің импульсті өтпелі h(t) функциясын (ИӨП) есептейміз.
Осы есепті шешу үшін, Винер-Хопфтың интегралды (2.85)											теңдеуің
қолданамыз:
						¥
					R21(t )= òh(t )× R1 t(- t )× dt
						-¥
Интегралдаудың соңғы шектерімен теңеліп, ол t<0 болғанда,
h(t)=0		тең екенін ескеріп,				теңдеуді жуық шамада мына түрде жазуға
болады:

92

Автоматты басқару теориясы

T
R21(t )» òh(t )× R1 t(- t )× dt .	(2.92)
0

Осы теңдеу бойыншаh(t)-ны есептеуді, сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіруге болады. Ол үшін интегралды алдын ала қосындымен ауыстыру керек:

N
R21(t )» åh(n × D)× R1 t( - n × D)× D ;		(2.93)
n=	0

мұндағы - 0-ден Т-ға дейінгі интегралдау аралығы бөлінген кіші интервалдар; n·∆- дискретті уақыт; N - кіші интервалдардың толық саны.

Соңғы теңдік τ -дың кез келген мәні үшін қанатты болуы тиіс, соның ішінде τ =∆, …, N·∆ болғанда. Теңдікке τ-дың N мәнін қойып, N теңдіктен тұратын жүйені аламыз. Ол теңдіктер, уақыттың дискретті моментері t=∆, 2·∆, 3·∆,…, N·∆ (n=1,2,3,…,N) кездегі ИӨФның белгісіз мәндері бойынша сызықты алгебралық теңдеулер.

τ = 0 болғанда:

	1	R21(0 )= R1 (0 )×h 0(		+) R1 (- D ×)h D( +)R1(- 2 × D)× h 2(D +)... + R1(- N × D)× h (N × D); (2.94)
	D		τ = болған кезде аламыз:
	1		R21 (D )= R1(D )× h D(	+)R1(0 )× h D( +) R1 (- D ×)h 2(× D)+ ... + R1((-N +1) × D)× h (N × D). (2.95)
	D

Сол сияқты τ-ды белгілеп, t–ны өзгертіп, сызықты теңдеулер жүйесінің калған жолдарын алады.

R1(τ) =R1(- τ) ескере отырып, тек τ >0 қарастырамыз.

Нақты объектілерде әрқашанh(0)=0 тең және теңдіктердің оң

бөліктеріндегі бірінші мүшелерін алып тастауға	болады. Жүйе
анықтауышының диагональдық симметриясын сақтау үшінR21(τ),
кейбір жағдайларда, бір қадамға жылжытады. Сонымен,	R21(0)-дың
орнына R21(Δ)-ны, R21(Δ)-ның орнына R21(2 ), т.б. теңдеулерді бірінші

жолдан емес, екінші жолдан бастап құрастырады. қадам кішкентай болған кезде, қателік аз болады. Төменде берілген сандық мысалда бұл ығысулар, теңдеулерді құрастыру процесін түсіндіруді оңайлату үшін жасалмаған.

2.9-кестедегі берілгендерді қолданып, теңдеулер жүйесін құрастырамыз. Интервал =1мин тең деп алынған. τ >5 мин болғанда, корреляциялық функциялар тез азаятындықтан, 0-ден 5 мин дейін интервалмен шектенеміз. τ= 0 болғанда, (2.94) теңдеу бойынша жүйенің бірінші жолын кұрастырамыз:

93

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

1 ×0,20 = 1× h(0 )+ 0,37 × h(D )+ 0,16 × h(2D )+ 0,05 × h(3D )+ 0,02 × h(4D )+ 0,01× h(5D ), 1

мұнда:

R21(0)=0,20; R1(0)=1;		R1(- ) =R1(1)=0,37;
R(- 2	)= R2(2)=0,16;	R1( - 3	)= R1(3)=0,05;
R1(- 4	)= R1(4)=0,02;	R1(- 5	)= R1(5)=0,01.

τ= =1 мин болғанда, (2.95) теңдеу бойынша, жүйенін екінші жолын құрастырамыз:

1 × 0,47 = 0,37 × h(0 )+1× h(D )+ 0,37 × h(2D )+ 0,16 × h(3D )+ 0,05 × h(4D )+ 0,02 × h(5D ) 1

мұнда:
R21(Δ)=0,47;		R1(Δ)=h(1)=0,37;		R(0)=1,0;
R1(-	)= R1(1)=0,37;		R1(- 2	)= R1(2)=0,16;
R1(- 3	)= R1(3) =0,05;		R1(- 4	)= R1(4)=0,02.

Сол сияқты, τ=2 =2 мин; τ=3Δ=3 мин; τ=4Δ=4 мин болғанда, жүйенің жолдарын құрастырамыз:

0,39=0,16h(0)+0,37h( )+1,0∙h(2 )+0,37h(3 )+0,16h(4 )+0,05h(5 ); 6=0,05h(0)+0,16h( )+0,37h(2 )+1,0h(3 )+0,37h(4 )+0,16h(5 ); 0,14=0,02h(0)+0,05h( )+0,016h(2 )+0,37h(3 )+1,0h(4 )+0,37h(5 );

h(0)=0 болғандықтан, алынған жолдар мына түрде жазылады:

0,37∙h1+0,16∙h2+0,05∙h3+0,02∙h4+0,01∙h5=0,20 1,00∙h1+0,37∙h2+0,16∙h3+0,05∙h4+0,02∙h5=0,47

0,37∙h1+1,00∙h2+0,37∙h3+0,16∙h4+0,05∙h5=0,39 (2.96) 0,16∙h1+0,37∙h2+1,00∙h3+0,37∙h4+0,16∙h5=0,26 0,05∙h1+0,16∙h2+0,37∙h3+1,00∙h4+0,37∙h5=0,14

мұнда: hn=h(n∙Δ)

Енді	есепті шығару– сызықты теңдеулер жүйсінің түбірлерін
есептеуде		жатыр. Есептің	осы	бөлігіне	есептеудің	ең	көп
операциялары		кіреді, өйткені	теңдеулердің саны		өте көп	болуы

мүмкін. Есептеулерді, анықтауыштарды қолданып, Крамер ережелері бойынша емес, ал тәжірибелік әдістердің біреуімен есептеу қажет. Мысалы, белгілі Гаусс әдісімен - белгісіздерді бірінен кейін бірін жою арқылы ритімді итерациялық әдістермен дәлдеуге болады [20].

94

Автоматты басқару теориясы

Итерациялық әдістерді қолдану– сонымен қатар, объектіні зерттеген кезде априорлық хабарлар бойынша ауыспалы функцияның түрін өрескел бағалауға (қателік 30-50 %) мүмкіндік береді, ал бұл өз кезегінде, ізделіп отырған түбірлердің бастапқы өрескел мәндерін

беруге мүмкіндік туғызады. Содан			соң, түбірлерді	итерациялық
есептеулермен дәлейдейді.
Алынған жүйе үшін түбірлер былай есептеледі:
h1= h(	) = h(1)≈0,38;	h2= h(2	) = h(2)≈0,20;
h3= h(3	) = h(3)≈0,10;	h4= h(4	) = h(4)≈0,05;	(2.97)
h5= h(5	) = h(5)≈0,02.

Бастапқы жүйеге койған кезде, алшақтықтар (тексеру) пайда болады:

0,20 - 0,1787= 0,0213 - бірінші теңдеу үшін; 0,47 - 0,4729= - 0,0029 - екінші теңдеу үшін; 0,39 - 0,3865= 0,0035 - үшінші теңдеу үшін; 0,26 - 0,2565=0,0035 - төртінші теңдеу үшін; 0,14 - 0,1454=- 0,0054бесінші теңдеу үшін.

Ізделген ИӨФ графигі 2.8-суретте құрылған.

2.8-ñурет. Винер-Хопф теңдеуін есептеу арқылы алынған импульсті өтпелі функция

2.4.4. Кездейсоқ сигналдың спектральд тығыздығын есептеу

Кездейсоқ процестің спектральдық тығыздығын есептеуді қарастырамыз. Эксперимент берілулері 2.10-кестеде келтірілген. t = 1

мин интервал аралықпенХ(t) шамасының орта мәнінен ауытқуы тіркелген. 2.10-кестенің бірінші бағанында өлшеу уақыты берілген, ал екінші бағанда - өлшенген Х(t) ауытқулардың мәндері, [х]=ед.

95

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Бұл есепті шешудің бір мүмкін болатын әдісі ретінде, 0-ден T-ға дейінгі аралықта (t)Х -ны гармоникалық Фурье қатарына жуықтау

табылады. Бұл кезде қатардың, ai , bi коэффициенттерін есептеу

қажет. Егер коэффициенттер есептелген болса, онда ізделген спектральды тығыздық, дискретті нүктелерде қарапайым формулалар арқылы табылады:

S (wi	)»	1	(ai2 + bi2 );	(2.98)
	T

ωί жиілігі x(t) үшін Фурье қатарының i -ші гармоникасына сәйкес. Біз қарастыратын басқа әдіс ретінде, Н.Винер ұсынған, Лаггердің

арнайы функциялары арқылы x(t)-ны қатарға жіктеу табылады[21].

Бұл әдістің

ыңғайлығы

-

әдіс,

спектральдық

тығыздық

үшін

аналитикалық өрнекті шапшаң алуға мүмкіндік береді. Ал, Фурье

қатарына

жіктеу –

тек кейбір нүктелердегіS(ωί) мәнін

береді және

S(ωί)-ді

аналитикалық

өрнек

ретінде

жуықтау

үшін

қосымша

есептеулер қажет.

Әдістің мәні мынада: сигналды қатар түрінде көрсетеді де, ол

қатардың бірнеше ғана мүшесін алады:

(2.99)

x(t) = C0 × l0 (t)+ C1

× l1 (t)+ C2

× l2 (t)+ ...,

мұндағы C0 , C1 , C2 - есептелетін

коэффициенттер; l1 (t ),

l2 (t ), l3 (t ) -

Лаггер функциялары.

Лаггер функциясы үшін аналитикалық өрнектерден [21]:

(2.100)

é

1

1

ù

ln (t )= e

-t

2n + 2

n

2n - 2 × n

n -1

1

n

×

ê

× t

-

× t

+ ... + 2 ×

×

(-1 )

ú

(n -1)!

2

ê

n!

ú

ë

û

кестелер есептелген, сондықтан есептегі бұл функциялар бізге белгілі.

,

C ,

C

, …

коэффициенттерін есептеулер, келесі формулалар

C0

1

2

бойынша жүргізіледі:

C0 = Tò x(t )× l0 t( ×)dt » åN

x(ti )× l0 t(i

×)Dt,ïü

0

i =0

ï

(2.101)

T

x(t )× l

t( ×)dt

N

x(t

)× l t(

C

1

=

ò

1

»

i

×)Dt, ï

å

1

i

ï

0

i =0

ý

C2 = òT

x(t )× l2 t( ×)dt » åN

x(ti )× l2 t(i

×)Dt,ïï

0

i =0

ï

т.с.с.

ï

þ

96