adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

[12]. Сондыºтан, экспериментальды	берiлiстердi ж¼ндеу
¸дiстерiн толы¹ыраº ºарастырамыз.

2.1.1. Е» кiшi квадраттар ¸дiсi (КК°) бойынша, сызыºты объектiлердi» функционалдыº т¸уелдiлiгiн аныºтау

Те»деудi экспериментальды аныºтау кезінäå, ¼лшемдiлiк ºате болады. ´лшеу процесi кезiнде ол ºатенi жою¹а тырысады, сонымен ºатар ºатенi берiлiстердi ж¼ндеу кезінäå де азайту¹а тырысады. Б½л жолдарды» бiрi – КК° болып табылады. Егер ºателiктер ºалыпты ¾лестiрiмге статистикалы т¸уелсiз болса (корреляциялы емес), ¸дiс – ыºтималдыº ºорытынды бередi. °дiстi ºолдану жа¹дайы, экспериментальды ¼лшемдiлiктер сандарыны» к¼птiгiне байланысты. Егер бiр белгiсiз ¼лшенетiн болса, онда бiр эксперимент болу керек. Бiраº, бiрнеше эксперимент ж¾ргiзiліп, ºорытындылар орталанады. Б½л жа¹дайда орталау КК°-мен орындалады.

Айталыº, белгiсiз õ ìүøåñií àíûºòàó ¾øií n ¼ëøåì ¼òêiçiëåäi. ´ëøåмäåðäi» áåðiëiñòåði: y1,y2,...,yn. y1-x, y2-x,…, yn-x айырымы мен оларды» квадратын (y1–x)2, (y2–x)2,..., (yn–x)2 º½растырамыз. õ ìүшесiн, квадраттарды» ºосындысы минимальды болатындай та»дап, мынаны аламыз:

n
å(yi - x)2 ® min	(2.1)

i=1

Осы¹ан келесi шарт тура келедi:

немесе

Á½äàí àëàтынымыз:

		n
	¶å(yi - x)2			= 0
	i =1
			¶x
			n
	2 × å(yi - x)2 = 0 .
			i =1
		1	n
x =			× å yi .		(2.2)
		n
			i =1

Егер кейбiр ¼лшемдiктер наºты те» болмаса, онда келесi шаманы минимумдау керек:

	n	1	× (y	- x)2 ¾¾®min	(2.3)
	åi=1 si2
			i	X

49

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

ì½íäàғы si2 - жеке ¼лшемдiлiк ºателiгi, дисперсиясы. si2 = const бол¹анда (2.1) ¼рнектi аламыз.

Бiрнеше топтар арасында¹ы функционалдыº т¸уелдiктi ¼лшеу кезiнде, б½л ¸дiс ¼те ºиын жолмен есептеледі. Îë үшін мысалдар ºарастырыл¹ан.

2.1-мûñàë. 2.1-кесте мен 2.1à-суретте сызыºты динамикалыº ж¾йенi» статикалыº сипаттамасын экспериментальды аныºтау берiлiстерi келтiрiлген.

2.1-кесте

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	n=1
xi	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	å xi	= 27,50
yi	1,75	2,3	2,5	3,2	3,5	4,25	4,0	4,7	5,0	6,0	6,0	å yi	= 43,20
xi2	0,0	0,25	1,0	2,25	4,0	6,25	9,0	12,25	16,0	20,25	25	å xi2	= 96,25
xi ƒyi	0,0	1,15	2,5	4,8	7,0	10,62	12,0	16,45	20,0	27,0	30,0	å xi ƒyi =
												131,45

2.1-сурет. а) ñûçûºòûº; ə) ñûçûºòûº åìåñ ò¸óåëäiëiêòi òåãiñòåó

50

Автоматты басқару теориясы

Ендi КК° бойынша объектiнi» õ êiðiñi мен ó шы¹ысы арасында¹ы статикалыº т¸уелдiлiктi» шамасын табу керек.

Øåøiìi. Бастапºы т¸уелдiлiктi мына түрде жазамыз:

y + Ax + B = 0 .

(2.4)

õi æ¸íå yi -òi» åêi ì¸íäåðií àëсақ жеткiлiктi, табыл¹ан екi те»деуден À æ¸íå Â-ны табу керек. Біраº о¹ан басºа экспериментальды õi æ¸íå yi шамаларын ºойғанмен, те»деудi ºана¹аттандырмайды:

yi + Axi + B = di ¹ 0 .		(2.5)
Àëøàºòûºòàð di , геометриялыº к¼зºараста (õi, yi)
н¾ктелерiнен алын¹ан ó + Àõ +  = 0	òå»äåóiìiçãå	äåéiíãi
аралыººа те». Б½л т¾зудi, я¹ни оны» À	æ¸íå  параметрлерi,

алшаºтыºты» орта м¸нi минимальді болатындай та»дап аламыз. Гауссты» КК° алшаºтыºтар квадратыны» ºосындысы минимальді ådi2 = min болатындай т¾зу ж¾ргiзедi.

°дiстi ºолдан¹ан жа¹дайда di кездейсоº шама деп, ал

за»ы ¾лестiрiм нормальды деп аламыз. Айталыº, бiрдей шартта õi æ¸íå yi шамаларын ¼лшегенде (2.4) ¾шiн алын¹ан

келесi алшаºтыºтар d1,d2 ,d3 ,....,dn

болсын.

Бiр-бiрiмен байланысы жоº т¸уелсiз алшаºтыºтарды»

бiрлестiк ыºтималдыºта пайда болуы, ыºтималдыºтар

ê¼áåéòiíäiñiíå òå»:

1

-d12

1

-d 22

1

-d n2

æ 1

ö

n

-

1

×(d12 +d 22 +×××+d n2 )

(2.6)

2s 2

2s 2

2s 2

2

×е

×

× е

××××

×е

= ç

÷

×e

2s

s × 2p

s × 2p

s × 2p

ès × 2p ø

À æ¸íå  константаларды» м¸ндерi ыºтималды, ал егер б½л шама е» ¾лкен болса, ол келесi жа¹дайда орындалады:

n
d12 + d 22 + ××× + d n2 = ådi2 = min .	(2.7)

i=1

n

åd i2 минимумi квадраттыº орта алшаºтыºты» минимумiн

i =1

бередi:

n

ådi2

s = i =1 n

51

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

n

ådi2 минимуміí àëó ¾øií À мен  ºàëàé òà»äàï àëó

i=1

керек? Эстремум бар болуды» ºажеттi шартын аныºтайтын те»деулер, е» негiзi болып саналаäû:

		n						n
	¶ådi2							¶ådi2	= 0 .
	i	=1		= 0	æ¸íå			i=1		(2.8)
		¶A						¶B
Оларды алу ¾шiн, эксперименттен алын¹ан м¸ндерден
те»деулердi» шартты ж¾йесiн º½рады:
			y1 + Ax1 + B = d1 ; ü
			y2 + Ax2		+ B = d		ï			(2.9)
						2	;ï
			......................					ý
							ï

yn + Axn + B = d n .ïþ

°р шартты те»деудi, квадрат д¸режеге шы¹арады:

2		2	2		2			2	ü
y1	+ A		x1	+ B		+ 2 Ax1 y1 + 2By1	+ 2 ABx1 = d1 ,		ï
y12	+ A2 x22			+ B 2		+ 2 Ax2 y2 + 2By2	+ 2 ABx2	= d 22	,ï	(2.10)
...........................................									ý
									ï
2	+ A	2	2	+ B	2	+ 2 Axn yn + 2Byn	+ 2 ABxn	2	ï
yn			xn					= d n	.þ

Б½ларды» б¸рiн ºосамыз:

å yi2 + A2 åxi2 + +nB 2 + 2Aåxi yi + 2Bå yi +

Б½дан екi нормаль те»деуін табады:

¶ådi2 = 2 Aåxi2 + 2åxi yi + ¶A

¶ådi2 = 2nB + 2å yi + 2 Aå ¶B

немесе

2 ABåxi = ådi2 . (2.11)

2B	å	x		ü
			i	= 0;ï	(2.12)
				ï
				ý
xi = 0				ï
				ï
				þ

Aåxi2 + Båxi = -åxi yi , Aåxi2 + B × n = -å yi ,

52

Автоматты басқару теориясы

б½л жерден À мен Â ыºтималдыº м¸ндерiн есептейдi.

²арастырылып	îòûð¹àí	сандыº	мысал	¾øií:
n =11; åxi = 27,5; åyi	= 43,20; åxi2	= 96,25; åxi yi	=131,45	сандары

2.1-кестеде есептелiнген. Берiлген мысал үшiн нормаль те»деулер мына ò¾ðде болады:

96,25ƒA + 27,5ƒÂ = -131,45.

27,5ƒA + 11ƒB = -43,20.

Б½äàí:

A= -131,45 ×11- 43,2 × 27,5 = -0,87; 96,25 ×11 - 27,5 × 27,5

B= 96,25 × 43,2 - 27,5 ×131,45 = -1,93. 96,25 ×11 - 27,5 × 27,5

Iзделген орталан¹ан те»деу мына ò¾ðãå êåëäi:

y - 0,87ƒx - 1,93 = 0.

2.1à-суретiнде с¸йкес келетiн сызыº к¼рсетiлген .

õ æ¸íå ó арасында¹ы т¸уелдiлiктi y + Ax + B = 0 т¾рiнде зерттегенде, øû¹ûñ – ó шамасы мен кiрiс – õ øàìàсыны» экспериментальды ¼лшенуi д¸лiрек болады. Б½л практикада жиi кездеседi. Егер керi жа¹дай болса, онда т¸уелдiлiктi мына т¾рде iздейдi:

y + A1 x + B1 = 0.

(2.13)

À1 мен Â1 константаларды мына те»деулер табады:

2

ü

A1

× å yi

+ B1 × å yi

= -åxi

× yi

(2.14)

;ï

A

×

å

y

+ B × n = -

å

x

.

ý

i

ï

1

1

i

þ

(2.4) ж¸не (2.13) т¾рiндегi те»деулерге е» кiшi квадраттар ¸дiсiн (ЕКК°) ºолдану бiрдей ºорытынды бермейдi (2.1,ə- суретте графиктегi сызыºтар т½таспайды). Б½л туралы толы¹ыраº [7] ¸дебиетте берiлген.

53

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

2.1.2. Сызыºтыº емес объектiлердi» функционалдыº т¸уелдiлiêòåðií àíûºòàó

2.2-мûñàë. 2.2-кесте мен 2.1ə-суретiнде сызыºтыº емес объектiнi» статистикалыº сипаттамасын аныºтайтын эксперименттi» ºорытындысы келтiрiлген (ксантагенат т½тынуыны» ºалдыºта¹ы мыс м¼лшерiне ¸серi, %).

2.2-кесте

i – í¾êòåíi» í¼ìiði	1	2	3	4	5	6	7
õ –êiðiñ	20	30	40	45	50	60	70
y – øû¹ûñ	0,207	0,199	0,19	0,191	0,192	0,197	0,21

Е» кiшi квадраттар ¸дiсi бойынша объектiнi» кiрiсi – õ æ¸íå øû¹ûñû – y арасында¹ы аналитикалыº т¸уелдiлiктi аныºтау керек.

Øåøiìi. Алдымен аналитикалыº т¸уелдiлiктi» т¾рiн аныºтау керек. Экспериментальдыº берулiлер бойынша (2.1ə- сурет) алын¹ан н¾телердi параболамен тегiстеуге болады:

y = A + Bx + Cx2 .

(2.15)

Мұндағы маºсат – А, В, С константаларды» ыºтималдыº м¸ндерiн аныºтау. Бiрiншi ºадамда А’, В’, С’ жуыº шамалар аныºталады. Б½л ¾шiн ¾ш кез келген экспериментальды н¾ктелердi алып, оларды» координаталарын бастапºы те»деуге ¾ш рет ºоямыз. Б½л бiзге ¾ш те»деудi бередi, одан жуыº А’, В’, С’ м¸ндерi аныºталады. Кiрiс ¼згерiсiнi» берiлген аралы¹ынан бiрºалыпты ¾лестiрiлген н¾телердi ал¹ан ж¼н. А’, В’, С’ тауып, е» кiшi квадраттар ¸дiсi бойынша коэффицеттердi» т¾зетулерiн табамыз.

А’,В’,С’ аныºтау ¾шiн 2.2-кестеден бастапºы параболаны» контурын д¸лдiрек бейiмдейтiн, 1, 4 æ¸íå 7 í¾òåëåрді аламыз. Одан мына те»деулердi аламыз:

0,207 = A' + B ' × 20 + C ' × 202 ü
0,131 = A' + B ' × 45 + C ' × 452								ï	(2.16)
								ý
0,21 = A	'	+ B	'	×70 + C	'	×70	2	ï
								þ

54

Автоматты басқару теориясы

(2.16)-äàí A' = 0,245; B ' = -0,246 ×10-2 ; C ' = 0,28 ×10-4						есептеймiз.
Ендi т¾зетулердi қарастырамыз:
A = A'		+ DA = 0,245 + DA			ü
B = B '					ï	(2.17)
		+ DB = -0,246 ×10 -2 + DBý
C = C	'	+ DC = 0,28 ×10	-4	+ DC	ï
					þ

Åíäi y ' = A' + B' × x + C ' × x 2 жуыº параболадан эксперимен-

тальды н¾кте ординаталарыны» ауытºуын табамыз. Ол ¾шiн параболаны» те»деуiне õi экспериментальды берiлулерiне с¸йкес келетiн x1=20; x2=30; ….; x7=70 ì¸íäåðін ºоямыз:

y1'	= A' + B'	× x1	+ C ' × x12	= 0,245 - 0,246 ×10-2	× 20 + 0,28 ×10 -4	× 202	= 0,207;
y2'	= A' + B'	× x2 + C ' × x22		= 0,245 - 0,246 ×10 -2	× 30 + 0,28 ×10-4	× 302	= 0,1964;
y3'	= 0,1914; y4'		= 0,1912; y5' = 0,1920; y6' = 0,1980; y7' = 0,2100.

С¸йкес келетiн экспериментальды ói шамалардан, табыл¹ан сандарды алып тастап, мынаны аламыз:

Dy1 = 0,207 - 0,207 = 0,00;

Dy2 = 0,1990 - 0,1964 = 0,26 ×10 -2 ;

Dy3 = 0,1900 - 0,1214 = -0,14 ×10-2 ;

Dy4 = 0,1910 - 0,1912 = -0,02 ×10-2 ;

Dy5 = 0,1920 - 0,1920 = 0,00;

Dy6 = 0,1970 - 0,1980 = -0,1×10-2 ;

Dy7 = 0,2100 - 0,210 = 0,00.

DA, DB , DC	т¾зетулердi	төмендегідей		àíûºòàлаäû.
yi = (A' + DA)+ (B ' + DB)× xi + (C ' + DC )× xi2			òå»äåóiíå		A' + DA,
B' + DB, C' + DC	ºîéûï îäàí,	yi1 = A' + B' × xi + C ' × xi2			òå»äåóií
алып, т¾зетулердi есептеуге ºажет те»деудi аламыз:

yi - yi' = Dyi = DA + DB × xi + DC × xi2

55

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

немесе сандыº т¾рде:

DA + DB × 20 + DC × 202

DA + DB × 30 + DC × 302

DA + DB × 40 + DC × 402

DA + DB × 45 + DC × 452

DA + DB × 50 + DC × 502

DA + DB × 60 + DC × 602

DA + DB × 70 + DC × 702

= 0,00	ü
= 0,26 ×10-2	ï
	ï

=-0,14 ×10-2 ï

ï(2.18)

=-0,02 ×10-2 ïý

	= 0,00	ï
		ï
	= -0,1×10	-2 ï
	= 0,00	ï
		ï
		þ

Б½л ж¾йеде, белгiсiз м¾шелердi» санына ºара¹анда,

те»деулердi» саны к¼п. Ендi D À, D  æ¸íå D Ñ ыºтимал м¸ндерiн есептеу ¾шiн ЕКК° ºолдану керек. Ол ¾шiн барлыº те»деулердi квадраттап ºîñып, содан кейiн:

	¶åDyi2	= 0;	¶åDyi2		= 0;	¶åDyi2	= 0	(2.19)
			¶DB
	¶DA					DC
шарттан D À, D  æ¸íå D Ñ					есептеп		øû¹àðó	¾øií ¾ø

нормаль те»деудi алу керек. Шартты ж¾йенi нормаль т¾рге тез т¾рлендiрудi келесi ереже бойынша ж¾ргiзуге болады:

-бiрiншi нормаль те»деудi º½ру ¾шiн, осы те»деудегi бiрiншi т½р¹ан белгiсiздi» коэффициентiне ¸рбiр шартты те»деудi к¼бейтіп, алын¹ан те»деулердi ºосу керек;

-екiншi нормаль те»деудi º½ру ¾шiн, осы те»деудегi

екiншi т½р¹ан белгiсiздi» коэффициентiне ¸рбiр шартты те»деудi к¼бейтіп, барлыº алын¹ан те»деудi ºосу керек. Сол сияºты ары ºарай ж¾ре бередi. ²анша белгiсiздiк болса, сонша нормаль те»деу алынады. Б½л ереженi 2.1-мысал ¾шiн

де ºолдану¹а болады. (2.18) барлыº те»деуiнде бiрiншi D À белгiсiздiктi» коэффициентi 1-ге те» бол¹андыºтан, бiрiншi нормаль те»деудi алу ¾шiн, те»деулердi ºоссаº жеткiлiктi:

D Aƒ7+ D Bƒ315+ D Cƒ15925=0,00.

Екiншi нормаль те»деудi алу ¾шiн, мыналарды ºосу ºажет:

56

Автоматты басқару теориясы

DА × 20 + DВ × 20 × 20 + DС × 202 × 20 = 0,00 × 20;

DA ×30 + DB ×30 ×30 + DC ×302 ×30 = 0,26 ×10 2 ×30;

DA × 40 + DB × 40 × 40 + DC × 402 × 40 = -0,14 ×10-2 × 40;

DA × 45 + DB × 45 × 45 + DC × 452 × 45 = -0,02 ×10-2 × 45;

DA ×50 + DB ×50 ×50 + DC ×502 ×50 = 0,00 ×50;

DA × 60 + DB × 60 × 60 + DC ×60 2 × 60 = -0,1×10 -2 × 60;

DA × 70 + DB × 70 × 70 + DC ×70 2 × 70 = 0,00 ×70.

Б½дан алатынымыз:

D Aƒ315+ D Bƒ15925+ D Cƒ874125=-4,7ƒ10-2.

¶шiн нормаль те»деудi алу ¾шiн та¹ы да мыналарды ºосу ºажет:

DА × 202	+ DВ × 20 × 202	+ DС × 202 × 202		= 0,00 × 202 ;
DA ×302	+ DB ×30 ×302	+ DC ×302 ×302		= 0,26 ×102 ×302 ;
DA × 402	+ DB × 40 × 402	+ DC × 402 × 402		= -0,14	×10-2 × 402 ;
DA × 452	+ DB × 45 × 452	+ DC × 452	× 452	= -0,02	×10-2 × 452 ;
DA ×502	+ DB ×50 ×502	+ DC ×502 ×502		= 0,00 ×502 ;
DA ×602	+ DB × 60 ×602	+ DC × 602	× 602	= -0,1×10-2 ×602 ;
DA ×702	+ DB × 70 ×702	+ DC × 702	× 702	= 0,00 × 702.

Б½дан аламыз:

D Aƒ15925+ D Bƒ874125+ D Cƒ50850625=-3,905. Табыл¹ан ¾ш нормаль те»деуден:

D Aƒ7+ D Bƒ315+ D Cƒ15925=0,00;

D Aƒ315+ D Bƒ15925+ D Cƒ874125=-4,7ƒ10-2; D Aƒ15925+ D Bƒ874125+ D Cƒ50850625=-3,905;

57

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

т¾зетулер есептелiнедi:

DÀ = 0,0581 = 0,0083; 7

DB = 1,7216125 = -0,0221×10-2 ; 7809,375

DC = 0,0056875 = 0,0073×10-4. 7809,375

Алдында жуыº есептеген параболаны» параметрлерiне (2.17) т¾зетулердi енгiзе отырып, мынаны аламыз:

А = А' + DA = 0,245 + 0,0083 = 0,2533;

B= B' + DB = -0,246 ×10-2 - 0,0221×10-2 = -0,2681×10-2 ;

C= C ' + DC = 0,28 ×10-4 + 0,0073×10-4 = 0,2873×10-4.

Б½л кезде орталан¹ан параболаны» те»деуi мына т¾рге келтiрiледi:

y = 0,2583 - 0,2681ƒ102 ƒx + 0,2873ƒ10-4 ƒx2 (2.20)

2.1ə-суретiнде экспериментальды н¾ктелер, жуыº (штрих сызыº) ж¸не орталан¹ан параболалар келтiрiлген. Д¸лденген коэффициенттер – объектiлердi басºару ж¾йесі ж½мысыны» техника-экономикалыº есебiнде ºолданылады.

2.2. Екпiн ºисы¹ы бойынша объект те»деулерiн аныºтау

Объект те»деулерiн алу ¾шiн, бiр немесе бiрнеше ауыспалы процестердi ¼лшеу əрі реттеу мақсатында эксперимент ¼ткiзедi. Б½л процестер iзделген дифференциалды те»деудi» дербес шешiмiне с¸йкес келедi.

Автоматтандыруда эксперименттi» екi т¾рi ке» ºолданылады: екпiн ºисы¹ы жəне жиiлiктiк сипаттамаларды алу. Бiрiншi жа¹дайда – içäåëiï

58