adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

М½íäà q = t - салыстырмалы уаºыт.

F 1

Наºты жа¹дайларда, б½л интегралдар келесi формулалармен аныºталады:

F1

» Dt íìån

(1 -

i )- 0,5 ×[1

-

(0 )]ýü;

x

x

ît =0

þ

F »

F 2 Dq íì n

(1 -

i )×(1 -q

)-

0,5 × [1 -

(0 )]ýü ;

x

i

x

2

1

å

þ

ît =0

ì n

æ

2

ö

ü

3

qi

;

ï

ï

F3 » F1

Dq íå(1 - xi )×

ç

- 2qi

+

÷

- 0,5 ×[1 - x(0 )]ý

ç1

2

÷

ït =0

è

ø

ï

î

þ

(3.47)

(3.48)

(3.49)

Есептеу процесi кезiнде, шамаларды» бiреуi терiс шама болуы м¾мкiн, мысалы F3 á0 . Б½л дегенiмiз - S-т¾рлi м¼лшерсiз екпiн ºысы¹ына с¸йкес келетiн дифференциалды те»деуде:

a

d 3

x

(t )

+ a

d 2

x

(t )

+ a

d

x

(t )

+

(t )= u t(;)

(3.50)

3

2

1

x

dt

dt 3

dt 2

à3 коэффициентi терiс шама, я¹ни объект т½раºсыз. Осындай шешiм дәл емес, себебi алын¹ан эксперименттi ºисыº, объектiнi» т½раºтылы¹ын к¼рсетедi. Осыдан, мына жа¹дайды бiлу ºажет, я¹ни дифференциалды те»деудi» сол б¼лiгiнi» д¸режесi туралы жасал¹ан априори ½сыныс д½рыс емес. ²арастырыл¹ан жа¹дайда, (3.50) те»деудi» сол жа¹ыны» т¸ртiбiн бiрлiкке азайтып, ал о» жа¹ын - бiрлiкке к¼бейту ºажет, я¹ни мынаны ºосу керек:

b1 dU (t ). dt

à1, à2, b3 коэффициенттерiн, à3= à2= b 2= b 3=0 деп алып, (3.49) те»деулер ж¾йесiнен аныºтайды. Егер F2 ñF3 ñ0

болса, онда дифференциалды те»деудi» сол жа¹ыны» т¸ртiбiн, о» жа¹ына туындыны ºоспай, бiрлiкке азайту керек.

Аудандар ¸дiсiмен есептеу ба¹дарламасы 3.8-суретте ½сыныл¹ан.

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

F1 , F2 , F2 аудандарын есептеу алгоритмiнi» блок-сұлбасы

3.8-сурет. Fi аудандарды есептеу ба¹дарламасы

Мысал ретiнде, ЭВМ-да¹ы Qâ -a арнасы бойынша, флотомашина есебiнi» н¸тижесiн ºарастырамыз. Осы арна бойынша объектiнi» екпiн ºисы¹ы (3.9à-сурет) берiлген. Одан t = 5 ñåê аныºтаймыз.

Уаºыт осiнi» н¼лiн, координатаны» бастапºы басынан 5 ñåê ºашыºта¹ы н¾ктеге ауыстырып, екпiн ºисы¹ын нормалаймыз (3.9ə-сурет).

24

Автоматты басқару теориясы

3.9–сурет. Аэратор кiрiсiндегi ауаны» ж½мсалуыны» ¼згеру каналы бойынша флотациялыº машинаны» екпiн ºисы¹ы

	(а) ж¸не нормалан¹ан екпiн ºисы¹ы (ә). DQB									= 1м3 / саг - флотация¹а
		келетiн ½лпаны» ж½маслуы кезiнде							a к¼мiр ½лпасыны
			аэрация д¸режесiнi» ¼згеруi. Q						= 6,75м3 / мин
							П
	Дискретизация			интервалы			D Т =	3		ñåê кезiнде, есептеу ¾шiн
бастапºы массивтер:
		Т = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33};
		X = {0;0,04;0,09;0,17;0,31;0,47;0,64;0,8;0,9;0,97;0,99;1}
бұл кезде N =12 .
	Есептеу н¸тижесiнде					мына¹ан ие боламыз:
		F1 = 15,33 ƒ102 ;					F2 = 97,21889998ƒ102 ;
		F3 = 295,3700364ƒ103;					F4= 32,82076808ƒ102.
	0	á F4	á F3	бол¹андыºтан, объектiнi» дифференциалды
òå»äåóiíi» ñîë æàғы n =3;						àë	о» жа¹ында туынды жоº ж¸не
a = F ,		a	= F ,	a = F .		Объектiнi»				берiлiс коэффициентi
3	3	2	2	1	1

(3.9à-сурет):

ê = 0,15 = 0,15 ìèí/ì3. 1

Алын¹ан есептiк н¸тиженi есепке алып, флотомашинаны» дифференциалды те»деуi, (3.50)-ге саé мына т¾рге ие болады:

295	d 3 x(t )	+ 97,2		d 2 x(t )	+15,3	d (t )	+ x(t )= 0,15 ×u(t - 5);
	dt3			dt 2
						dt
ì½íäà¹û x(t ) = Da(t);			u(t ) = DQB .

W(j w )

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

3.2.3. Тау-кен байыту процестер сипаттамаларын идентификациялау¹а статистикалыº ¸дiстердi ºолдану

Б½л ¸дiстер Винер-Хопфты» интегралды те»деуiне негiзделген:

¥
Rux (t )= òRuu (t - t)×W t(dt) ;	(3.52)
0

ì½íäà¹û Rux (t ) – объектiнi» кiрiс ж¸не шы¹ыс айнымалылары- ны» арасында¹ы ¼зара корреляциялыº функция; Ruu (t )–êiðiñ

айнымалыны» автокорреляциялыº функциясы; W (t ) –

зерттелетiн канал бойынша объектiнi» импульсті ауыспалы функциясы.

(3.52) òå»äåói ¾ø түрлі тәртіппен шешіледі:

1)Ò уаºыт интервалында объектiнің êiðiñi мен шы¹ысында¹ы u(t ), x(t ) кездейсоº процестерді жазады;

2)àëûí¹àí тәжірбиені берiлгендер бойынша Ruu (t ); Rux (t )

есептейдi;

3) (3.52) те»деуiн, басºаруды» берiлген каналы ¾шiн с¸йкес жиiлiктiк ауданында – АФЖС немесе W(t)

с¸йкес уаºытты ауданында не АЕМ ºолданып есептейдi, әрі берiлген басºару каналы бойынша, объект - сызыºты, ал

кездейсоº u(t), x(t) процестерi – стационарлы ж¸не

эргодиялыº болып саналады.

Объектiнi» кiрiсi мен шы¹ысында¹ы екi стационарлы кездейсоº процестердің u(t) æ¸íå x(t) ¼зара корреляциялыº функциясы:

Rux (t )=

1

Tò-t[u(t )-

]×[x(t +t )-

]dt .

(3.53)

u

x

T -t

0

Еãåð u(t) функциясыны» (немесе x(t) функциясыны»)

корреляциялау

процесiн

¼ç-¼çiíе

аударса,

îíäà

автокорреляциялыº функцияны аламыз:

Ruu

(t )=

1

×Tò-t[u(t )-

]×[u(t +t )-

]dt .

(3.54)

u

u

T -t

0

26

									Автоматты басқару теориясы
				1	T			1	T
	ì½íäà		=		× òu(t )× dt ;		=		× ò x(t )× dt .
		u				x
				T				T
					0				0

Ò¸æiðèбеде ºолдан¹анда (3.53) ж¸не (3.54) интегралдарын, ºосындылармен ауыстырады. Ол ¾шiн кездейсоº функцияны» iске асыру интервалыны» Т= D ˛N дискретизациясын ж¾зеге асырады. М½íäà N – ò½ðàºòû, D - интервалды, белгiленетiн ординаттарды» саны (3.10-сурет).

3.10-сурет. Автокорекциялық Ruu (t ) функцияны анықтау

À¹ûìäû óàºûòòà, t æ¸íå t , дискреттi т¾рде ½сынылады: t =n × D , ì½íäà n = 1,2,3,..., i ; t = m × D , ìұíäà m = 0,1,2,.....

Осыларды ескере отырып, (3.54) те»деуiн былай жазу¹а болады:

Ruu (m )»

1

N -m

× åun

×un +m

;

(3.55)

N - m

n =1

R (m × D) = R (m);

u(nD) = u

;

n + m

)

× D

]

=

un +m

.

uu

uu

n

u[(

´зара корреляциялыº

функцияны

төмендегі

теңдеу

бойынша есептейдi:

(m )»

1

N -m

Rux

× åun

× xn +m .

(3.56)

N - m

n =1

(3.55) ж¸не (3.56) те»деулерi, Ruu (t ), Rxu (t ) функцияларын,

Ò ¾зындыºты u(t) æ¸íå x(t) процестердiң бiр жаратуын, осы таратуларды» ординаталарын D уаºыт аралыºтарында ¼лшеу

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

арºылы есептеуге м¾мкiндiк бередi. Берiлген функцияларды» бiрiн º½ру ¾шiн, Ruu (t )-òû, u(t)-íû t интервалына ºоз¹алтып, u(t +t )- u функциясын ºуру ºажет (3.10-сурет). Сонымен ºатар, зерттелетiн 0¸(T-t ) интервалында, u(n ) æ¸íå un +m

ординаттарын к¼бейту ºажет. Содан		êåéií,	àëûí¹àí
к¼бейтiндiлердi ºосады да	( N - m )-ãå á¼ëiï,	ºосындыны» ортаº
м¸нiн табады.	t = m × D ¼çãåðiñiíå ñ¸éêåñ
Есептеу н¸тижесiнде			келетiн,

автокорреляциялыº функция ºисы¹ыны» бiр н¾ктесiн аламыз. m шамасын ¼згертiп, к¼рсетiлген операцияларды ж¾зеге асыра

отырып, Ruu (t )- äû»	барлыº нүктелерін табамыз.
Корреляциялыº	функцияны есептеудi»	íàºòûëû¹û,
тарату Ò ½çàºòûëû¹ûíà ò¸óåëäi. T ³ 10 ×t max		жартылай

эмпирикалыº т¸уелдiлiк бойынша, Ò шамасын та»да¹ан

кезде, ºате 2% аспайды. М½нда					t max - t уаºыт интервалы.
Б½л уаºыттан кейiн		R	uu	(t )£ 0,05 × R	uu	(0)		те»сiздiгi орындалады.

Åêiíøi æà¹ûíàí, åãåð u(t) кездейсоº процесс спектрiнi» минимальäi (ò¼ìåíãi) æèiëiãi w í белгiлi болса, онда:

t max ³ 2p .

wн

D дискретизация интервалын, жартылай эмпирикалыº формула бойынша та»дайды:

D = p ;

10 ×w В

ì½íäà w â - u(t) кездейсоº процесс спектiрiнi» максимальäû (үстіңгі) æèiëiãi. D интервалын осы аралыºта, u(t)

функциясы аз ¼згеретiндей етiп та»дайды. Осындай есептеулер ¸детте ЭЕМ- äà æ¾ðãiçiëåäi.

Жиiлiктiк ауданында есептеу. Îë ¾øií (3.52) òå»äåóäi» åêi

æà¹ûí e- jwt ê¼áåéòiп - ¥ -òåí +¥-êå äåéií t бойынша интегралдаймыз:

28

Автоматты басқару теориясы

+¥			+¥		+¥
ò	e- jwt × R (t )dt =		ò	W (t )dt ×	ò	e- jwt × R (t - t )dt .		(3.57)
		ux					uu
-¥			-¥		-¥
Келесi те»деулермен белгiлеймiз:
			+¥
		Sux (w )= òe- jwt × Rux (t )dt ;						(3.58)
			-¥
			+¥
		Suu (w )=	òe- jwt ×Ruu (t )dt .					(3.59)

-¥

(3.58) æ¸íå (3.59) - Rux (t ) æ¸íå Ruu (t ) корреляциялыº

функцияларынан Фурье т¾рлендiруi. Олар с¸йкес келетiн кездейсоº процестердi» спектрлiк ты¹ыздыºтары.

Автоматты басºару теориясынан мына жа¹дай белгiлi, я¹ни объектiнi» берiлiс W(р) функциясы мен импульстiк сипаттамасы ¼зара бiр ºатарлы Лапласты» тiкелей ж¸не керi т¾рлендiруiмен байланысты:

			¥
	W (p )= òe- pt ×W (t )dt ;				(3.60)
			0
		1	+ j¥	t >0 .
	W (t )=		× òW (p )× e pt dp ,		(3.61)
		2pj
			- j¥
	Îíäà (3.57)–(3.60) íåãiçiíäå, ð=jw есепке алып, мынаны
	аламыз:
	Sux (w) = W (jw)× Suu (w)				(3.62)

ì½íäàғы W(jw ) – объектiнi» амплитуда-фазалыº жиiлiктiк сипаттамасы. Сондыºтан, W(jw ) àíûºòàó ¾øií, êiðiñ пен шы¹ыс кездейсоº сигналдарыны» спектрлiк ты¹ыздыºтары Sux (w) æ¸íå Suu (w) арасында¹ы ºарым-ºатынасты табу

ìà»ûçäû.

Екiншi жа¹ынан бiзге белгiлi, шы¹ыс ж¸не кiрiс сигналдарыны» спектрлiк ты¹ыздыºтары, S xx (w ) æ¸íå Suu (w)

АФЖС модулiнi» квадратымен байланысты:

S xx (w) =

W ( jw)

2 × Suu (w)

(3.63)

немесе:

W (jw

)= A(w )=

S xx (w )

.

Suu (w )

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Автоспектрлiк ты¹ыздыºтар S xx (w ), Suu (w) ¼зара спектрлiк

òû¹ûçäûººà	Sux (w) ºара¹анда, о»ай есептелетiндiктен,
т¸жiрибелiк	к¼зºарастан ал¹анда,					(3.63)			òå»äåói	(3.62)
òå»äåóiíå ºàðà¹àíäà û»¹àéëû.
Автоспектрлiк ты¹ыздыºты мына те»деу бойынша
есептеуге болады:
S (n × Dw ) = 0,54 ×Ф				+ 0,23 × (Ф	+ Ф	); n = 1,2,3,.....,m				(3.64)
			n	n -1	n +1
ì½íäà Dw =	2p		;
	(2m +1)× D
		é		m			2p		ù
	Фn =	êR(0 )+ 2åR(m ×D)				× cos			×nmú × D
							2m +1
		ë		m=1					û
Мысал.	Øû¹ûñ			материалды»		øû¹ûñ			¼çãåðiñ	каналы

бойынша, електi» динамикалыº моделiн аныºтау керек. Q1 –

тор астында¹ы Q2 ¼нiм шы¹ыныны» ¼згерiсi.

Åãåð

wí = 0,1 ñ-1 ;

w â = 0,5 ñ-1 áîë¹àíäà , îíäà:

tmax

³

2p

=

2p

» 63 ñ.

wн

0,1

Баºылау уаºыт интервалы

Ò ³ 10t max

= 10ƒ63 = 630 c

ж¸не дискретизация интервалы:

D =

p

=

p

= 0,63 ñ.

10 × 0,5

10 ×wВ

(3.55)

òå»äåó

бойынша,

Òñ 630

ñ

кезiндегi салмаº

¼ëøåóiø

сигналдарын

таратудû

(t ),

ºолдана

отырып,

автокорреляциялыº

функциялар

R

Q1 Q

RQ Q (t )

есептеледi

2 2

1

(3.11à-сурет), содан

êåéií

(3.64) òå»äåó

бойынша

спектрлiк

ты¹ыздыºтарды

SQ Q

( )

,

SQ Q (w)

аламыз (3.11ә- сурет).

1

1

w

2

2

Q1

– Q2 áàñºàðó

каналы

бойынша

берiлу функцияны»

модулi

W

( jw)

(3.63) òå»äåóі бойынша аныºталып,

ê¼ðñåòiëãåí

Q1Q2

(3.11б-сурет).

Берiлiс функциясыны» модулi негiзiнде логарифмдiк амплитуда-жиiлiктiк сипаттама (ЛАЖС) табыл¹ан (3.11в-

сурет).	(w) = 20 lg		W (jw)
A					.	(3.65)
Q1Q2			Q1Q2

30

Автоматты басқару теориясы

1 ºисы¹ын ¾ш кесiндiмен апроксимациялау ы»¹айлы: горизонталь ж¸не екi к¼лбеу, я¹ни бiр декадада -20 ж¸не -40 (дБ) к¼лбеу кесiндi. Онда:

WQ1Q2 (p )=	k	× e	-tз p		(3.66)
		Q1Q2	.
	(T1 p +1)× (T2 p +1)
Ò1 æ¸íå Ò2 ì¸íäåðií w 1	= 0,14 ñ-1 , w 2 = 0,41 ñ-1				ò¾éiíäåñ

жиiлiк бойынша аныºтайды (3.11б-сурет).

а)

ə)

б)

в)

г)

3.11-сурет. Електi» берiлiс функцияларын статистикалыº ¸дiспен аныºтау¹а арнал¹ан графиктер: а - бастапºы материал Q1 ìåí òîð ¾ñòiíäåãi ¼íiì Q2

ж½мсалуыны» автокорреляциялыº функциялары; ә - спектiрлiк ты¹ыздыºтар;

б- берiлiстiк функция модулiнi» ¼згеру графигi; в - объектiнi» логарифмдiк амплитудалы-жиiлiктiк сипаттамасы; г - нормалан¹ан ¼зара ж¸не

автокорреляциялыº функцияларының графиктерi

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

kQ1Q2 æ¸íå t з есептеу ¾шiн, автокорреляциялыº RQ1Q1 (t )

функциядан басºа (3.55), (3.56) те»деулер бойынша ¼заракорреляциялыº RQ1Q2 (t ) функцияны аныºтау ºажет. Содан

кейiн, оны келесi формулалар бойынша нормалау керек:

	rQ1Q2	(t )=		RQ1Q1	(t ) ;				(3.67)
				RQ1Q1	(0 )
rQ Q	(t )=		RQ1Q2 (t )				.		(3.68)
1	2		RQ1Q1 (0 )× RQ2Q2				(0 )

3.11в-суретiнде нормалан¹ан автокорреляциялыº rQ1Q1 (t )

ж¸не ¼заракорреляциялыº rQ1Q2 (t ) функциялары келтiрiлген.

	Объектiнi»	к¾шейту		коэффициентiн,			r	(t )	æ¸íå
	(t ) ºисыºтары астында¹ы							Q1Q1
rQ Q					ауданны»		ºатынасынан
1	2
аныºтайды:
			+¥		(t )dt
				ò rQ1Q2
		kQ1Q2	=	-¥		;			(3.69)
				+¥
				ò rQ1Q1 (t )dt
			-¥
àë	кешігуi –	rQ1Q1 (t ) æ¸íå rQ1Q2 (t ) функциясы							í¼ëäåí

¼згеше болатын кездегi, уаºыт мезгiлдердi» арасында¹ы айырмашылыº:

			t з	= tСПQ Q -t				НQ Q	2		(3.70)
ì½íäàғы – tСПQ1Q1						1	1	1
	автокорреляциялыº функцияны» т¼мендеуi
êåçiíäåãi óàºûò;	t НQ Q -			¼заракорреляциялыº функцияны»
		1	2
басынан координат басына дейiнгi уаºыт интервалы.
Áiçãå áåëãiëi:	k	Q1Q2	= 0,78;t		З	= 27с .
Осылайша, електi» iзделiнген берiлу функциясы мына
түрде болады:							0,78
	W (p )=									e	-27 p .
				(7,14 p +1)× (2,44 p +1)

32