adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

dM1 (t )			= Q1 (t )- Q2' (t );
	dt
	dM 2 (t )		= Q2' (t -t )- Q3 (t ).	(1.5)
	dt

Мысал. Бункер-конвейер ж¾йесiнi» те»деуiн сандыº т¾рде º½ру (1.3-сурет). Егер бункердi» босатылуын ж¾зеге асыратын

	конвейердi»	½зынды¹ы		l = 50				ì, ал лентаны» жылдамды¹ы
	J = 1 ì/ñ = = 3600 ì/ñà¹		болса, Q1					à¹ûí =100 ò/ñ๠= const .
	Øåøiìi.	Бункер те»деуi:
				dM		= 100 - Q2 (t ).
	Конвейер те»деуi:			dt
			æ		50		ö		æ	50	ö
	Q3 (t )= Q2	(t -t )= Q2	çt -				÷	немесе	Q2 (t )= Q3 çt +		÷ .
					3600					3600
			è				ø		è		ø

1.3-сурет. Бункер-ковейер ж¾йесiнi» динамикасын аныºтау

Q2 аралыº шаманы шы¹арып тастап, iзделетiн те»деудi аламыз:

	dM			æ	50	ö	;
		=100	- Q	çt +		÷
	dt				3600
			3	è		ø

ì½íäà¹û [M ]= m ; [Q]=т/сағ; [t]=сағ.

9

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Жо¹арыда ºарастырыл¹ан жа¹дайлар ºарапайым болғанымен, шын м¸нiнде барлы¹ы да к¾рделi болып келедi. Мысалы, жинаºты» ж½мыс процесi кезiнде (1.1-сурет) шамалар, ¼здерiнi» орташа м¸ндерiне, салыстырмалы аз ¼сiмше алады: DQ1 = Q1 - Qорт ; DQ2 = Q2 - Qорт ; DM = M - M орт ж¸не б½л кезде шы¹арылатын материалды» ¼сiмшелерi ерiксiз емес, олар ºор ¼сiмшесiне т¸уелдi:

DQ2 = к × DM ;

(1.6)

ì½íäà¹û ê - пропорционалдыº коэффициент. Басºа с¼збен

айтºанда, ºор ¼сiмшесi к¼п бол¹ан сайын, шы¹арылатын а¹ынны» жауапты ¼сiмшесi к¼п болады, я¹ни объект - сызыºтыº ¼зiн-¼зi т¾зеу эффектiсіне èå.

Кiрiс шамасы DQ1 , шы¹ыс шамасы DM болатын ж¸не кiрiс шамасы DQ1 , ал шы¹ыс шамасы DQ2 болатын жа¹дай

¾øií, æèíຠòå»äåóií º½ðàмыз. Åêi æà¹äàé ¾øií äå, óàºûò ò½ðàºòûëû¹û мен берiлiс коэффициентiн аныºтау керек.

Сызыºтыº ¼зiн-¼зi т¾зейтiн объектiлер ¾шiн ¼сiмшелер, шаманы» абсолюттi м¸нi сияºты, балланс те»деуiмен байланысты:

dDM = DQ1 - DQ2 . dt

Бiрiншi жа¹дайда, материалды баланс те»деуiнен DQ2 -íi

алып тастау керек. (1.6)-ны есепке ала отырып, мынаны аламыз:

dDM	= DQ	- к × DM	немесе	dDM	+ к × M = DQ ;
dt	1			dt	1

ì½íäàғы ê ñàíû - ¼зiн-¼зi т¾зеу коэффициентi деп аталады да,

те»деулер мына т¾рде жазылады:

1	×	dDM	+ DM =	1	DQ ;	(1.7)
к dt				к	1

10

Автоматты басқару теориясы

	dDM	туындысыны»	алдында	т½ратын	1	= T
					к
	dt

коэффициентi, уаºыт ¼лшемдiлiгiне ие ж¸не жинаºты» уаºыт т½раºтылы¹ы болаäû. Ñûçûºòûº æèíຠ¾øií DQ2 = к × DM ºатынасы, ¼сiмше ¾шiн ¹ана ¸дiл емес, сонымен ºатар: Q2 = к × M шамасыны» абсолюттi м¸нi ¾шiн де ¸дiл, осыдан:

T =	1		M é		т	ù
		=		ê		= са ú .	(1.8)
	к				т / са
			Q2 ë			û

Сызыºтыº жинаºты» уаºыт т½раºтылы¹ы, онда¹ы материал ºорыны» шы¹атын а¹ынына деген ºатынасына те».

	Кiрiс шамасыны» DQ -ы» алдында т½ратын	1	= кП
		к

коэффициентi, берiлiс коэффициентi болып табылады. Осы жа¹дай ¾шiн ол, Ò-¹а те» болып шыºты.

	Балланс те»деуiне, екiншi жа¹дайы ¾шiн,										DM шамасын
	алып тастау керек:			dDQ2
		1	×		+ DQ	2	= DQ ;				(1.9)
		к dt							1
									M cp
	б½л жерде уаºыт т½раºтылы¹ы T =						1	=		òå», áiðຠáåðiëiñ
							к		Qcp

коэффициентi 1-ге те» екенiн к¼руге болады.

Енді қ½рамында айнымалыларды» сызыºтыº емес функциялары немесе уаºытаралыº туындылары бар сызыºтыº емес те»деулерге ие жинаºтар¹а келейiк.

Мысалы, кiрiсiн - Q1 à¹ûíû, øû¹ûñûí - Ì ºоры немесе

Q2 а¹ыны деп санап, а¹у резервуарыны» те»деуiн º½рамыз. Резервуар схемасы, жинаº схемасына (1.1-сурет) ½ºсас.

Материал балансы мынаны бередi: dM = Q1 - Q2 . ÁiðຠQ2 dt

т¸уелсiз айнымалы бола алмайды, ол Ì функциясы.

Гидромеханикадан			белгiлi, са»ылаудан шыººан а¹ын
Q2 = m ×w ×			за»дылы¹ына ба¹ынады, м½ндағы m - øû¹ûí
	2qH

11

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

коэффициентi; w -салма ºимасыны» ауданы; g – еркiн º½лау ¾деуi; Í- резервуарда¹ы де»гей.

Резервуарда¹ы

äå»ãåé

ºîð¹à

пропорционал: H = к12 × M

åêåíií åñêåрсек,

Q2

= к1 × к2

,

к2 = m ×w ×

.

M

ì½íäà

2g

Бастапºы те»деуге Q2 -нi ºойып, мынаны аламыз:

dM

+ к

× к

= Q

2

M

dt

1

1

резервуарды» сызыºтыº емес те»деуi.

æ

1

ö2

2

Егер бастапºы

те»деуге

ç

÷

ºîéñàº,

îíäà

M

= ç к к

÷

×Q2

è

1

2 ø

екiншi iзделетiн те»деу шы¹ады:

æ

1

ö2

dQ2

;

2 ×ç

÷ ×Q ×

+

Q

= Q

× к

ç к

2

÷

2

dt

2

1

è

1

ø

á½ë äà ñûçûºòûº åìåñ òå»äåó.

Егер салманы» формасы (мысалы, цилиндрлiк), оны» ауданы (w = 1 ñì2) ж¸не резервуар ºимасыны» ауданы ( S =1 ì2 ) белгiлi болса, онда а¹ын резервуарыны» те»деуiн сандыº т¾рде алу¹а болады. Шешiмi, ê1 æ¸íå ê2 константаларыны» сандыº м¸нiн аныºтау¹а келтiрiледi. Цилиндрлiк салма арºылы суды» а¹уы кезiнде шы¹ын коэффициентi m = 0,82. Сондыºтан:

	ê2=0,82·1ñì2·					2 ×981см / с 2 »35,5 ñì2,5/ñ
æ¸íå [Н ]	= ñì,	îíäà	[Q]=ñì3/ñ. Осыдан, Í= k 2								× M æ¸íå
Ì=S·H=1·104 ñì2·Í					1
		мынаны аламыз:
		к =		1		=		1	=0,01 ñì-1;
		1		S	1×104
	[M ]= ñì3.
ì½íäà¹û

12

Автоматты басқару теориясы

Резервуарды» жалпы те»деуiне ê1 æ¸íå ê2 сандыº м¸ндерiн ºойып, берiлген жеке резервуар ¾шiн мынаны табамыз:

	dM				æ	1	ö2		dQ		= Q .
		+ 0,357 M = Q ;						×Q ×		+ Q
					2 ×ç		÷		2
	dt	1			è 0,357		ø	2	dt	2	1

Егер резервуардан с½йыºты итеретiн ауыртпалыº күшiне ºосымша герметикалыº резервуарда¹ы Ð сыртºы ºысымды

	есепке алса не ¼згередi?
	Б½л жа¹дайда Q2 = m ×w ×					орнына, бастапºы ºатынас
					2gH
	Q2 (t )= m ×w × 2gH +		2Pg	áîëады,		ì½íäàғы r - ñ½éûºòûºòû»
			r

òû¹ûçäû¹û.

Радикал астынан сыртºы P ºысымының негiзделген жа»а мүшеci пайда болады. Герметикалыº резервуар ¾шiн есептеу, жо¹арыда ºарастырыл¹ан ашыº резервуар ¾шiн жасал¹ан есептеуге ½ºсас болады.

Төменде екi резервуардан º½рал¹ан каскадты» те»деуiн жазамыз (1.4-сурет).

1.4-сурет. Резервуарларды» каскады

Б½л жа¹дайда баланстыº ºатынастармен ºатар:

dM1	= Q - Q ;		(1.10)
dt	1	2

13

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

dM	2	= Q	2	- Q .	(1.11)
dt				3

Мұнда келесi ºосымша т¸уелдiктер де орын алады:

Q3 = m1 ×w1 2gH 2 = k1 ×				H 2 ;		(1.12)
Q2 = m2 ×w2			= k1' ×		;	(1.13)
	2g(H1 - H 2 )			H1 - H 2
M 1		= r × S1 × H1 ;				(1.14)
M 2		= r × S2 × H 2 .				(1.15)

ì½íäàғы Ì1 æ¸íå Ì2 - ºорлар; Q1, Q2, Q3 - а¹ындар; S1 æ¸íå S2 – резервуар ºимасыны» ауданы; w1 , w2 - а¹ын са»ылаулары ºимасыны» ауданы; m 1, m 2 - шы¹ын коэффициенттерi; Í1, Í2 - материал де»гейлерi; r - материал ты¹ызды¹ы.

Шын м¸нiнде, жазыл¹ан те»дiктер каскадты» жиынтыº те»деулерi болып табылады. Бiраº кей жа¹дайда, кез келген айнымалылар арасында¹ы т¸уелдiлiктi табу ºажеттiлiгi туатындықтан, басºа айнымалыларды шы¹ару ºажет. Q3 øû¹ûñ æ¸íå Q1 кiрiс арасында¹ы т¸уелдiлiктi табу ºажет делiк. Ол ¾шiн Q2, Ì1, Ì2, Í1, Í2 айнымалыларын алып тастап, жиынтыº те»деулерде Q1 æ¸íå Q3 ºалдыру керек.

(1.12) ж¸не (1.15) те»деулерiнен мынаны аламыз:

æ

ö2

ç

Q3

÷

;

(1.16)

M 2 = r × S2 ×ç

k

÷

è

1

ø

онда (1.13) ж¸не (1.15), (1.16) те»деулерiнен:

é

ö

2

æ Q

ö

2

ù

æ Q

2

ú .

(1.17)

M1

= r × S1 ×

êç

÷

+

ç

3

÷

ç

' ÷

ç

k1

÷

ú

êè

k1

ø

è

ø

ë

û

14

Автоматты басқару теориясы

Ал (1.16) есепке ала отырып, (1.11) те»деуiнен:

é		æ Q		ö2 ù
d êr × S	2 ×	ç	3	÷	ú
		ç	k1	÷
ê		è		ø	ú
ë					û	= Q	2	- Q
	dt							3

немесе Q		= Q		+	r × S2	× 2Q		dQ3	. (1.18)
	2		3		k12		3 dt

(1.10) те»деуге (1.17) ж¸не (1.18) те»деулерiндегi Ì1 æ¸íå Q2 ì¸íäåðií ºояìûç:

d	ì			é	1	æ
	ï
	í	r × S	1	× ê		çQ	3	+
					'2
						ç
dt ï				êk1		è
	î			ë

r × S 2			dQ3	ö	2	1			ùü
								2	ï
	× 2Q	3		÷	+		×Q		úý	+
2						2
k1			dt	ø		k1			úï
									ûþ

r × S 2 × 2 ×Q3 dQ3 + Q3 = Q1 . k12 dt

Á½ë åêiíøi ðåòòi ñûçûºòûº åìåñ òå»äåó, Q1 æ¸íå Q2 – уаºыт функциялары; ºал¹андары – константалар. Те»деу ретi - каскадта¹ы жинаºтар санына те».

1.1.2. Материалды а¹ындарды араластыру динамикасы

Төменде деалдыи араластыратын араластыр¹ышты» те»деуiн º½рамыз (1.5-сурет).

1.5-сурет. Араластыру динамикасы

Араластыр¹ышºа ¸р т¾рлi материалдарды» екi а¹ыны келiп түседi. Келтiрiлетiн материалдарды» шы¹ыны Q1Ï æ¸íå Q2Ï. Òîëûº êåëòiðiëåòií à¹ûí ò½ðàºòû:

QП = Q1П + Q2 П = const .

15

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Араластыр¹ышта¹ы материал ºорда т½раºты: M = M1 + M 2 . Æèíàºòàí ¸êåòiëåòií à¹ûí ìûíà¹àí òå»: Q0 = Q10 + Q10 . Êiðiñ

шамасы деп - Q1Ï , ал шы¹ыс шамасы деп - ¸кетiлетiн а¹ымда¹ы бiрiншi материалды» c1 концентрациясын санаймыз.

Берiлген мысалды екi ¸дiспен шешуге болады.

Áiðiíøi ¸äiñ. Идеалды аластыру кезiнде жинаººа келтiрiлетiн материал, жинаºта¹ы бар материалмен тез арада араласады. Сондыºтан, араластыр¹ыш к¼лемiнiнi» кез келген б¼лiгiнде ºарастырыл¹ан уаºытта, кез келген материалды» концентрациясы бiр болады. Бiрiншi материал ¾шiн материалдарды»

концентрациясын с1' (t ) деп белгiлейiк. °кетiлетiн а¹ында¹ы материал концентрациясы да сондай м¸нге ие екендiгiн к¼руге

болады, я¹ни c (t ) = c'		(t ).
1	1
Бiрiншi материал бойынша материалды балланс:
			dM1	= Q	- Q .
			dt	1П	10

Îñû òå»äiêòi ìûíà ò¾ðгå ê¼øiðåìiç:

æ

M

1

ö

M

d ç

÷

Q1П

Q10

M

×

è

ø

=

-

;

dt

Q

Q

Q

орташа ал¹анда

QП = Q0

= Q = const деп аламыз.

M

1

= c'

(t )= c (t )

æ¸íå

Q1

= c

(t )

áîë¹àíäûºòàí,

0

M

1

1

Q

1

M

=

dc1 (t )

+ c

(t )=

Q1П

= c

(t ),

(1.19)

Q

dt

1

Q

1П

ì½íäàғы ñ1Ï – êåëòiðiëåòií QÏ а¹ында¹ы бiрiншi компоненттi» концентрациясы. (1.19) те»деу, iзделетiн те»деу болып табылады.

T = M шамасы араластыр¹ышты» уаºыт т½раºтылы¹ы, ал

Q

k = 1 - араластыр¹ышты» берiлiс коэффициентi. Егер кiрiс

Q

шамасы ñ1Ï äåï àëñàº, îíäà ê=1.

16

Автоматты басқару теориясы

Åêiíøi ¸äiñ. Б½л ¸дiс ыºтималдылыº теориясын ºолданумен негiзделедi [6]. m шары бар урнадан n шарды

(ºайтарумен) ал¹аннан кейiн, урнаны» iшiнде бiраз шар ºалу ыºтималдылы¹ы:

æ

m

ön

P = ç

÷ .

n

è m +1

ø

Dt уаºыт интервалы кезiнде араластыр¹ышºа келiп

ò¾ñåòií

áiðiíøi

материалды»

ñàíû ìûíà¹àí

òå»:

DM = DQ

× Dt , ì½íäà DQ1n– а¹ынны» сатылы ¼згерiсi.

1П

t

t óàºûòûí Dt интервалымен n =

á¼ëåìiç. ̽íäà Ì - m

теңестіріледі,

t × D

DÌ

шарыны»

санымен

áið

шарды» алымûíà

¼ñiìøåñi, àë n - àëымыны» санына

t

шамасы с¸йкес келедi.

Dt

Осыны есепке ала отырып, мынаны аламыз:

Dt ® 0 æ¸íå DM

dM = Q áîë¹àíäûºòàí: dt

æ	M	ö	t
			Dt	;
р = ç		÷
è M + DM ø

® 0 шектеуде, - ln р =	dM	×	t	, àë
	dt		M

		Q	×t немесе р = y = e-	t
	- ln р =			T	;
		M

ì½íäàғы ó - араластыр¹ышта болу уаºыты t -дан асатын материал ¾лесi; ал t уаºытта араластыр¹ыш арºылы ¼тетiн

	-	t		M
	материалды» ¾лесi мына¹ан те»: 1 - e T . T =				шамасы,
				Q

б¼лшектi» араластыр¹ышта болуыны» орташа уаºытына те». Осылайша, Q1P а¹ынны» сатылы ¼згеруi, бiрiншi ретi

дифференциалды те»деуге с¸йкес келетiн араластыр¹ышта¹ы б¼лiкшелер санын, экспоненциалды за» бойынша ¼згеруiн тудырады.

17

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Екi идеалды араластыр¹ыштан º½рал¹ан каскад те»деуiн º½райыº, егер кiрiс шамасы деп - каскадºа келтiрiлетiн а¹ында¹ы реагенттi» Ñ1 концентрациясын, ал шы¹ыс шамасы деп - каскадтан ¸кетiлетiн а¹ында¹ы Ñ3 концентрациясын алсаº, аралыº а¹ында¹ы концентрация –Ñ2.

Àëäûң¹ы мысалды» шешiмiне с¸йкес, бiрiншi араластыр¹ыш ¾шiн мына те»деудi жазу¹а болады:

T1

dС

+ С2

= С1 ;

2

dt

екiншi араластыр¹ыш ¾шiн:

T

dC3

+ C

= C

.

2 dt

3

2

Бiрiншi араластыр¹ышты» шы¹ыс шамасы екiшiсiне - кiрiс

øàìà áîëàтындықтан,

dC2

d 2 C3

dC3

òå»äåóiíåí Ñ2 æ¸íå

dt

= T2

dt 2 +

dt

dС2

- ны алып тастап, мынаны аламыз:

dt

d 2C

dC

T ×T

3

+ (T + T )

3

+ C = C .

(1.20)

dt

1 2

dt 2

1

2

3 1

Араласуы жоº (ы¹ыстыру араластыр¹ышы) жинаºты»

òå»äåóií º½рамыз. Сапалы материалды», мысалы

кез келген

компоненттi» концентрациясы C1 (t ) òå» Q1 à¹ûíû, C2 (t ) сапасына ие жинаºта¹ы материал¹а тиiп, жинаº арºылы ¾стiнен астына ¼тедi. С2 (t ) сапасына ие Q2 = Q1 à¹ûí ¸êåòiëåäi. Кiрiс шамасы äåï - C1 (t ), шы¹ыс шамасы äåï - С2 (t)

алу керек. Жинаº Ì ºорымен сипатталады (1.6-сурет).

Б½л жа¹дайда С2 (t ) ¼çãåðiñi C1 (t) ¼çãåðiñiíå ºàðà¹àíäà

t = M уаºтына кешiгедi, сонда iзделiп отыр¹ан те»деу мына

Q

ò¾ðãå èå:

		(t )= C	(t -t ) = C	æ	M	ö
	С			çt -		÷ .
	2	1	1	ç	Q	÷
				è		ø

18