adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

отыр¹ан те»деудi» дербес шешiмi, кiрiс шама стандартты сатылы ¼згеру кезiндегi объектiнi» реакциясы болып табылады. Осы реакциядан объектiнi» те»деуi табылаäû.

Екiншi жа¹дайда, бiр шешiм емес, бiрнеше шешiм тiркеледi. Б½л шешiмдер – т¾рлi белгiленген жиiлiктер кезiнде кiрiс шаманы» периодтыº тербелiстерiнен амалсыз пайда болатын, объектiнi» шы¹ыс шамасыны» т½раºтал¹ан тербелiстерi. Б½л дербес шешiмдер – объектiнi» жиiлiктiк сипаттамалары – те»деудi табу ¾шiн ºажеттi ал¹ашºы материал. Егер объектiде активтi эксперименттi ºолдану¹а м¾мкiн болмаса, онда объектiге жасанды ¸сердi пайдаланбай, статистикалыº динамиканы» ¸дiстерiн ºолданады.

Келесi сызыºты дифференциалды	òå»äåó
¾øií:
a0 × xn + a1 × x n-1 + .... + x = b0 × x0m + b1 × x0m-1 + ... + bm × x0	(2.21)

(ì½íäà n>m; x, x0 – объектiнi» кiрiсi мен шы¹ысы) н¼лдiк бастапºы шама кезiнде ж¸не кiрiсi x0 секiрме т¾рде ¼згерген кезде, шешiмдi уаºыт функциясы мен коэффициенттер арºылы жазу¹а болады:

x = xст × (t, a0 , a1 ,...an-1 , b0 , b1 ,..., bm ).

(2.22)

Керiсiнше, егер (2.21) объект те»деуiнi» ретi белгiлi болып, кiрiсi сатылы т¾рде ¼зеріп, эксперимент арºылы екпiн xñò(t) алынса, онда

59

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

(2.21) òå»äåóiíäåãi ai, bi					коэффициенттерiн
есептеуге		болады	(оларды»		ñàíû n + m +1).	Îë
¾øií,	ai	ìåí	bi	коэффициенттерi		áàð

аналитикалыº x(t) øåøiììåí (2.22), ò¾ðëi óàºûò t=ti (i=1, 2, …, n + m +1) êåçiíäåãi x’ñò(t) ûºïàë

òå»åñòiðiëåäi. ͸òèæåсінде, ai, bi коэффициенттерi

áàð n + m +1			те»деуден т½ратын ж¾йе аламыз:
·	, a , a	,...,a		,b ,b	,...,b	) = x'	(t	), i = 1,2,..., n + m +1. (2.23)
xст (t			n-1
i	0 1			0 1	m	ст i
Á½ë		ж¾йеден,				коэффициенттердi					есептейдi.
Сонымен,		åêïií ºèñû¹ûíû»						x'	(t	) дискрет	ординаты
								СТ	i
бойынша		áåëãiñiç			n + m +1		коэффициентiн				àíûºòàó¹à

болады. Б½л идеяны» т¾рлi вариациясы болуы м¾мкiн. Мысалы, басºа т¾рге ие ыºпалды ºолдану немесе артыº ординат санын алып, е» кiшi квадраттар ¸дiсiн ºолдану¹а болады.

Бiзге тек ºана (2.21) обьект те»деуiнi» ретiн бiлу ºажет. (2.22) шешiмдердi» аналитикалыº т¾рлерi те»деу ретiне байланысты, ¸рт¾рлi болды. Егер те»деудi» ºабылдан¹ан n ретi, наºты реттен аз болса, онда аналитикалыº шешiмнi» ординатасы мен “экспериментальäû øåøiìäi” òå»åñòiðó ¸äiñi ä½ðûñ åìåñ

– ai , bi коэффициенттерiн бередi. Егер n ¾лкен болып

алынса, онда ол ºауiптi емес, ¼йткенi артыº коэффициенттер н¼лге те».

2.2.1. Екпiн ºисы¹ы бойынша бiрiншi реттi объåêòiíi» òå»äåóií àíûºòàó

2.2-суретте бiр сыйымдылыºты сызыºты обьектiнi» екпiн ºисы¹ы к¼рсетiлген.

60

Автоматты басқару теориясы

2.2-сурет. Екпiн ºисы¹ы бойынша бiрiншi реттi обьектiнi» те»деуiн аныºтау

t0=0 òå» óàºûò êåçiíäå êiðiñ x шаманы секiрме т¾рде a бiрлiкке ¼згертемiз. Санды т¾рде объект те»деуiн жазу ºажет.

Iзделген те»деу төмендегідей болады:

T ×	dy	+ y = k × x немесе	Y ( p)	=	k	. (2.24)
	dt		X ( p)		Tp +1

T мен k т½раºтыларын аныºтау керек.

Алдымен берiлген шарт кезiндегi те»деу шешiмiнi» аналитикалыº ¼рнегiн табамыз. Б½л шешiмге T мен k т½раºтылары кiредi. Алын¹ан екпiн ºисы¹ы графикалыº шешiм бол¹андыºтан, графиктi аналитикалыº шешiммен салыстыра отырып, аналитикалыº ¼рнектi» т½раºтыларын табымыз.

t=0 те» кездегi y=0 шарты ¾шiн ж¸не t>0 áîë¹àíäà, x=a шарты ¾шiн, шешiмнi» жалпы т¾рi төмендегідей [13]:

y(t )= k × a ×	æ		-t	ö
	ç	- e	T ÷		(2.25)
	ç1		÷ .
	è		ø

Графиктен екi н¾ктенi ал¹ан жеткiлiктi. Содан со», н¾кте координаттарын шешiмге ºоя отырып, алын¹ан екi те»деуден T ìåí k есептеуге болады. Бiраº, б½л те»деулер трансценденттi:

61

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

	æ			-t1			ö ü
y (t )= k × a ×ç1 - e					T ÷			ï
1	ç				÷			ï	(2.26)
	è				ø
	æ				-t2		ö	ý
y (t )= k × a ×ç1		- e			T ÷ï
2	ç				÷ï
ж¸не оларды» T æ¸íå k	è						øþ
	ò¾áiðëåðií				есептеу				¼òå ºèûí.
Сондыºтан, келесi т¸сiлдi ºолдану¹а		болады. t ® ¥ êåçiíäå
y(t ) = k × a , демек, асимптота ординаты арºылы k									àíûºòàó¹à
болады:		b
	k =		.						(2.27)
		a

Т аныºтау ¾шiн, шешiмдi дифференциялдаймыз:

dy(t)

= k × a ×

1

× e

-t

T

T

dt

æ¸íå t ® 0 ½ìòûëады:

lim

dy

= k × a ×

1

=

b

= tga .

(2.28)

t®0 dt

T T

ì½íäàғы а–t=0 кездегi y(t)

графигiне ж¾ргiзiлген

жанама

сызыºты» к¼лбеу б½рышы. Сондыºтан:

T =

b

.

(2.29)

tga

Сонымен T саны, координат басынан асимптотамен ºиылысºан н¾ктеге дейiн, жанама сызық астында¹ы сызыºты» ½зынды¹ына те». Б½л шешiм е» ºарапайым, бiраº д¸л емес, ¼йткенi жанама сызыºты д¸л ж¾ргiзу, əрі асимптотаны» в ординатын д¸л белгiлеу өте ºиын. Б½л шешiм кезiнде графиктi» басы мен ая¹ы ¹ана ºолданылып, ал оны» аралыº н¾ктелерi ºарастырылмайды.

Ендi д¸лiрек т¸сiлдi ºарастырамыз. Графиктi бiрдей Dt аралыº ºашыºтыºта¹ы y0 ,y1, y2, … ординаталармен б¼лемiз. Б½л н¾ктелер ¾шiн те»деудi» шешiмi бойынша мынаны жазу¹а болады:

62

Автоматты басқару теориясы

-

0

ü

y0 = k × a × (1 - e T ); ï

-Dt

ï

y

= k × a × (1 - e

); ï

1

T

ï

-2 Dt

ï

y

2

= k × a × (1 - e T

);

ý

-3Dt

ï

y

= k × a × (1 - e

);ï

3

T

ï

т.с.с

ï

ï

þ

-Dt

ü

y1 - y0 = k × a - k × a × e T ;

ï

-Dt

-2Dt

ï

ï

y2 - y1 = k × a × e T - k × a ×e T

;ý

-2Dt

-3Dt ï

y

- y

= k × a ×e

- k × a ×e

ï

3

2

T

T

ï

þ

-Dt

e T = q òå» äåï áåëãiëåéìiç, îíäà:

y1 - y0 = k × a ×(1 - q);					ü
y	2	- y = k × a × q × (1 - q);			ï
		1			ï
y	3	- y	2	= k × a × q2 × (1 - q);ý
					ï
т.с.с.					ï
					þ

(2.30)

(2.31)

(2.32)

q1	=	y2 - y1	; q2	=	y3 - y2	; q3	=	y4 - y3	;	(2.33)
		y1 - y0			y2 - y1			y3 - y2
q саныны» бiр-бiрiнен айырмашылы¹ы – экспериментальäû
¼ëøåó мен y(t)	тiркеудi» ºателiгiне байланысты. Б¼лек									q -äiң

орта арифметикалыº q м¸нi –д¸лiрек орта м¸ндi бередi. Содан

со», д¸лденген уаºыт т½раºтылы¹ы Т мына ¼рнектен аныºталады:

63

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

= -

Dt

.

T

(2.34)

ln q

Ñîë ñèÿºòû áåëãiëi qi

бойынша ki

аныºталады:

k1 =

y1 - y0

; k2

=

y2 - y1

; k3 =

y3 - y1

;

(2.35)

a × (1 - q)

a × q

× (1 - q

)

a × q23 × (1 - q )

2

2

3

Сîäàí êåéií k1, k2, k3, …-терден орта арифметикалыº k табылады.

Студенттердi» ¼зiндiк ж½мысында, 2.2-суретте келтiрiлген графиктi» осьтерi бойынша масштабты, a шамасын, Dt шамасын белгiлеп алып, 7-8 y0, y1, …,y8 ординаталар ¾шiн,

k ìåí Ò есептеп, оларды графикалыº т¾рде алын¹ан k ìåí Ò м¸ндерiмен салыстыру ж¾ргiзу ºажет.

2.2.2. Бiрºалыпты екпiн ºисы¹ына ие екiншi реттi обьектiнi» те»деуiн аныºтау

2.3-суретте екiншi реттi те»деумен обьектiнi» екпiн ºисы¹ы берiлген:

T ×T ×		d 2 y	+ (T + T ) ×		dy	+ y = k × x;
1	2	dt	1	2	dt

суреттелетiн

(2.36)

2.3-сурет. Бiрºалыпты екпiн ºисы¹ына ие екiншi реттi обьектiнi» те»деуiн аныºтау

64

Автоматты басқару теориясы

Кiрiсiндегi сатылы ¸сер	x = a	òå».	Еãåð	t>0	êåçiíäå
кiрiсiндегi ºобалжу бiрлiкке	x = a = 1		òåң	åêåíi	áåëãiëi
болса, Ò1, Ò2, k т½раºтыларын есептеймiз.
Жо¹арыда (2.2.1 пункт)	ºарастырыл¹ан жа¹дай сияºты,
алдымен те»деудi» шешiмiн жалпы т¾рде жазу ºажет:
	-t	-t

yжалпы (t) = C1 ×eT1 + C2 ×eT2 + k × a .

Содан со» бастапºы шарттардан, t=0 áîë¹àíäà, y = 0 ;

еркiн т½раºтыларды аныºтайды:

-0

-0

ü

y

жалпы

(0) = C × e T1

+ C

2

× e T2

+ k × a = 0;

ï

1

ï

(0 )= -C

1

-0

1

-0

ý

y

'

×

× e

T1

- C

×

× e

T2

= 0ï

жалпы

2

1

T1

T2

ï

þ

Б½лардан:

k × a ×T2

C1

=

k

× a ×T

; C2

=

.

1

T1 - T2

T2 - T1

Iзделген дербес шешiмдi мына т¾рде аламыз:

(2.37)

dy = 0 dt

(2.38)

(2.39)

		T1		-t		T2		-t
	y(t) = k × a × (1 +		×e T1 +				×e	T2	);	(2.40)
		T2 - T1
						T1 -T2
	Ендi берiлген графиктен		¾ø			í¾êòåíi»				yi , ti

координаталарын алып, оларды ¾ш рет те»деуге ºойып, осы т¸сiлмен алын¹ан ¾ш те»деуден k , T1 , T2 ò¾áiðëåðií òàáó¹à

болады. Бiраº б½л те»деулер трансценденттi бол¹андыºтан, т¾бiрлердi есептеп табу ¼те ºиын. Сондыºтан А.Н.Крыловты» ¸дiсiн ºолдану о»ай, əрі û»¹àéëû. Ол ¾шiн графиктi бiрдей Dt

аралыº ºашыºтыºта¹ы y0 , y1 , y3 , т.с.с. ординаталармен б¼лемiз де, мына т¾рде жазамыз:

65

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

y0

= k × a +

k × a ×T

k × a

×T

ü

1

+

2

;

ï

T2

- T1

T1 - T2

ï

æ

T1

-Dt

T2

-Dt

ö

ï

y = k × a ×ç1 +

× e T1

+

×e

T2

÷;

ï

1

ç

T - T

T - T

÷

ï

è

2

1

1

2

ø

ï

æ

T

-2Dt

T

-2Dt ö

ï

T

2

T

ï

y2

= k × a ×ç1 +

1

×e

1

+

× e

2

÷;ý

ç

T2 - T1

T1 - T2

÷

ï

è

ø

æ

T

-3Dt

T

-3Dt

ö

ï

ï

T

2

T

y3

= k × a ×ç1 +

1

× e

1

+

× e

2

÷;

ï

ç

T2 - T1

T1 - T2

÷

è

ø ï

т.с.с.

ï

ï

ï

þ

k × a ×T1

× k × a ×T2

-Dt

A1 = k × a;

A

=

;

A

=

;

p[= e T1 ;

2

T2 - T1

3

T1 -T2

(2.41)

-Dt

q = e T2 -äåï

белгiлеп, ¼рнектердi төмендегі т¾рде жазамыз:

y0		= A1 + A2 + A3 ;						ü
y	1	= A	+ A × p + A × q;					ï
		1	2		3			ï
y	2	= A	+ A × p 2		+ A × q2		;ï
		1	2		3			ï
y	3	= A	+ A × p3		+ A × q3		;	ý
		1	2		3			ï
y	4	= A	+ A × p 4		+ A × q4		;ï
		1	2		3			ï
y5		= A1 + A2 × p		5	+ A3 × q	5		ï
								þ

1, p æ¸íå q сандарды кубтыº те»деудi»:

l3 + B1 × l2 + B2 × l + B3 = 0;

т¾бiрлерi деп есептеймiз.

(2.42)

(2.43)

Бiрiншi жолды B3 –ке, екiншi жолды B2 –ãå, ¾øiíøi

жолды B1 -ге, т¼ртiншi жолды 1-ге к¼бейтіп, оларды ºосамыз.

Б½л жа¹дайда, о» жаºта¹ы б¼лшектердi» ºосындысы н¼лге те» болатынäûºòàí:

y0 × B3 + y1 × B2 + y2 × B1 + y3 = 0 .

(2.44)

Сол операцияларды келесi т¼рт жол¹а ºайта жаса¹анда:

y1 × B3 + y2 × B2 + y3 × B1 + y4 = 0 ;

(2.45)

66

Автоматты басқару теориясы

Келесi т¼рт жолдан:
y2 × B3 + y3 × B2 + y4 × B1 + y5 = 0 .	(2.46)

Осы ¾ш те»дiктердегi yi ординаталар екпiн ºисы¹ынан белгiлi, ал B1 , B2 , B3 т½раºтыларды аныºтау керек. Оларды аныºта¹ан со», кубтыº те»деудi» т¾бiрлерiн есептеу керек:

-Dt

-Dt

l

= 1; l

2

= p = e T1

; l

3

= q = e T2

;

(2.47)

1

Содан со»:

Dt

T = -

Dt

æ¸íå T

= -

.

(2.48)

1

ln p

2

ln q

(2.42) ж¾йенi» кез келген те»деуiнен (бiрiншi те»деуден басºа), k есептеу ºажет. Д¸лдiктi к¼теру ¾шiн, алты бастапºы ордината емес, одан к¼п ординатаны алып, н¸тиженi орталандыру¹а болады. Б½л ¸дiсте, берлiген график, экспоненциалдыº м¾шелердi» ºосындысы арºылы жуыºталады.

Енді сандыº мысалды ºарастырамыз. Dt = 1 деп алып, екпiн ºисы¹ынан (2.3-сурет) алты ординатаны ¼лшеймiз (2.3-кесте).

2.3-кесте

t , ìèí	0	1	2	3	4	5
y(t)	y0 = 0	y1 = 0,31	y2 = 0,80	y3 = 1,21	y4 = 1,5	y5 = 1,7

Те»деулерден:

0 × B3 + 0,31× B2 + 0,8 × B1 +1,21 = 0; 0,31× B3 + 0,8 × B2 +1,21× B1 +1,5 = 0; 0,8 × B3 +1,21× B2 +1,5 × B1 +1,7 = 0;

	есептеймiз: B1 = -1,97; B2				= 1,19; B3 = 0,222.
	Кубтыº те»деудi» т¾бiрлерiн табамыз:
	l1	= 1; l2 = p = 0,37; l3 = q = 0,61.
	Содан со»:		- Dt		-1
	T	=		=		» 1мин;
	1		ln p		ln 0,37

67

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

T

=

- Dt

=

-1

» 2 мин.

2

ln q

ln 0,61

k - ны есептеу ¾шiн (2.42) ж¾йедегi екiншi жолды

аламыз:

y

=

A

+ A

× p + A

× q = k × a +

k × a ×T1

× p +

k × a ×T2

× q.

1

1

2

3

T2 - T1

T1 - T2

Сандарды ºой¹ан со», мынаны аламыз:

0,31 = k × (1 +

1

× 0,37 +

2

×0,61),

1 - 2

2 -1

á½äàí:

k = 2,07 ;

[k ] =

yбiрлiгi

.

xбiрлiгi

2.2.3. Тербелiс екпiн ºисы¹ына ие екiншi реттi объектiнi» те»деуiн аныºтау

Таспа – агломерациялыº машина жымдасу (бiрiгу ºасиетi) арºылы т¼зiмдi iрi кесек материалды алу ¾шiн ºолданылады. Дайындал¹ан шикiº½рам (кокс, ¸ктас, темiр, ен) агломашинаны» жылжып т½ратын отты¹ына т¾седi. Т¾тiнсор¹ыш оттыºты» астында вакуумды тудыр¹андыºтан, атмосфералыº ауа жылжып т½р¹ан шикiº½рамны» арасынан ¼тедi. Жылжу басында шикiº½рамны» iшiндегi отын к¼рiкпен т½танады, ал жану процесi – ауа ¼ту арºылы ж¾редi. Осы объект ¾шiн, u кiрiс шама сатылы т¾рде ¼згерген кездегi (u -äàí u = a

–äåéií, ì/ìèí), øû¹ûñ Dq (t) реакциясынан те»деудi табамыз (2.4-сурет); Dq (t )-со»¹ы сору камераларында¹ы температураны» айырымы, u – таспаны» жылжу жылдамды¹ы.

68