adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

Кейде кешiгудi, эквиваленттi деп аталатын	t '	äåï
	з

ºабылдайды, себебi ол объектiнi» инерциялыº ºасиетiн ескередi (3.11в- сурет).

Лаплас бойынша кескiн айма¹ында есептеу

Б½л маºсатпен (3.52) ¼рнектiн о» б¼лiгiне Лаплас түрлендiрулерiн ºолданамыз. Н¸тижеде (3.66) ½ºсас, берiлiс функцияны» те»деуiн аламыз:

					¥
W (p )=	R*	(p )			òe- pt × Rux* (t )× dt ;				(3.71)
	ux			=	0
	R*	(p )			¥	e- pt × R*	(t )× dt
	uu				ò
						uu
					0

ì½íäàғы Rux* (p ) ïåí Ruu* (p )- корреляциялыº функцияларды»

êåñêiíäåði.
Егер экспериментальды корреляциялыº Ruu (t )	ïåí

Rux (t ) функцияларын белгiлi уаºыттыº функцияларымен

жуыºтаса, содан кейiн Лаплас бойынша оларды» кескiнiн алып (3.71) к¼мегiмен кескiндердi» ºатынасын тапса, онда басºару каналы бойынша берiлiс функциясын аламыз.

Æåòêiëiêòi ä¸ëäiêïåí Ruu (t )-тi экспонентамен:

R*	(t )= A × e-a1 ×t	(3.72)
uu	1

немесе с¼нетiн (¼шетiн) периодтыº функциямен жуыºтау¹а болады:

*

(t )=

-a

×t

æ

a

2

ö

Ruu

A2 ×e

1

×çcoswt +

×sin wt ÷

(3.73)

è

w

ø

ì½íäà a

=

3

; a

2 = w ×tgg ; w =

p

;

1

t

-t

t

k

2

1

g = arctg

a2

=

p ×(3t1 -t 2 )

.

(3.74)

w

2 ×(t 2 -t1 )

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Берiлген функцияны» бастапºы берiлулерiн есептеу ¾шiн, ºажеттi коэффициенттер, графиктер бойынша аныºталады (3.12à,ә-сурет).

´зара корреляциялыº функциялар жеткiлiктi д¸лдiкпен, келесi ¼рнектермен жуыºталады:

Rux*

Rux* (t )= A3 × e-a1 ×t

(t ) = A	× e-a1×t - A						×e -a2 ×t		(3.75)
3				4
æ		a		1		ö	- A4 × e	-a t	, tñ0 (3.76)
×çcos wt	+				× sin wt	÷		2
è			w			ø

Егер экспериментальды ¼заракорреляциялыº Rux (t ) функция t ¼скен сайын, тербелiссiз ¼шсе (с¼нсе), онда оны (3.75) ¼рнек бойынша 1 ж¸не 2 экспоненталарды» (3,13б-сурет) алгебралыº ºосындысы ретiнде жуыºтаған ºолайлы. Егер t ¼скен сайын, Rux (t ) с¼нетiн (¼шетiн) процесс болса, онда оны (3.76) ¼рнек бойынша, с¼нетiн (¼шетiн) периодтыº функциямен 1

æ¸íå	экспонентамен			2 (3.12в-сурет) жуыºтау ºолайлы. (3.75),
(3.76)	êiðåòií A3 ,			A4 , a1 , a2 коэффициенттерiн е» кiшi
квадраттар ¸дiсiмен есептейдi.
		а)			ə)

б)		в)

3.12-сурет. Автокорреляциялыº Ruu (t ) (à, ә) ж¸не ¼заракорреляциялыº

Rux (t ) (б, в) функцияларын æóûºòàó

34

Автоматты басқару теориясы

Объектiнi» зерттелiп отыр¹ан басºару каналы бойынша м¼лшерсiз берiлiс k коэффициентiн, т½раºтал¹ан режимде p = 0 деп алып, объектiнi» берiлiс функциясы W (0) ретiнде аныºтау¹а болады.

а)

ə)

3.13-сурет. АЕМ к¼мегiмен бiрiршi реттi инерциялыº ж¸не кешiгу буынымен апроксимациялан¹ан объектiнi» идентификациясы

АЕМ-да есептеу

Егер объектiнi» динамикалыº º½рылымы априор белгiлi болса:

T ×	dx(t)	+ x(t )= k ×u(t -t )	(3.77)
	dt

ж¸не объектiнi» кiрiсi мен шы¹ысында¹ы, стационарлы кездейсоº u(t), x(t) процестердi статистикалыº ¼ндеу арºылы алын¹ан корреляциялыº функциялар Rux (t ) ìåí

Ruu (t ) белгiлi болса, онда келесi байланыс дұрыс:

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

T ×	dRux (t )	+ R	(t )= k × R (t -t ).	(3.78)
	dt	ux	ux

Б½л дегенiмiз - бiрiншi реттi инерциялы буын мен кешiгуi бар буыннан т½ратын ж¾йенi» кiрiсiне белгiлi автокорреляциялыº

функция Ruu (t ) т¾рге ие сигналын берсе, онда ж¾йенi» шы¹ыс сигналы, ¼заракорреляциялыº Rux (t) функция болады.

АЕМ-да объектiнi» динамикалыº сипаттамаларын идентификациялау процесi төмендегідей орындалады:

- объектiнi» кiрiсi мен шы¹ысында¹ы кездейсоº u(t), x(t)

сигналдарды тiркеп, Ruu (t ) автокорреляциялыºпен Rux (t) ¼заракорреляциялыº функцияларды аныºтайды;

-ж¾йенi» динамикалыº (3.78) моделiн º½растырып, îíû ÀÅÌ-äà, T , t , k коэффициенттерiн ¼згертуге болатындай етiп жинайды (3.13à-сурет). Алдымен б½л коэффициенттердi зерттелетiн объектiнi» априорлы берiлiстерi (берiлулерi) бойынша алады;

-жiктелетiн модельдiң кiрiсiне, автокорреляциялыº Ruu (t )

функция¹а с¸йкес келетiн сигнал берiледi. Шы¹ысында¹ы сигнал алын¹ан T , t , k коэффициенттердi» м¸ндерiне байланысты. Модельдi» шы¹ысында¹ы сигналды ºайта есептегеннен кейiн, алын¹ан Rux' (t ) функцияны» м¸нiн, алдын ала есептеген Rux (t)

функциялары сапалы максимальäû æàºûí áîë¹àí¹à äåéií

¼згертедi. ²исыºтарды»	æàºûíäà¹àíûí áà¹àëàó						¾øií,	¸детте
Rux' (t ) æ¸íå Rux (t )	àóûòºóäû»					квадраттыº	îðòà	мәнінің
критерийiн ºолданады:
æ - ö	2	1		k	'	2
çe ÷	=		×	ò	[Rux	(t )- Rux (t )] × dt		(3.79)
		T
è ø
ì½íäàғы Tk - Rux (t )		k		0
	бойынша					аныºталатын, корреляция

óàºûòû.

Модельдеудi» толыº с½лбасы 3.13ə-суретте келтiрiлген. Кешiгу t -ды» м¸нi, айнымалы кешiгу блогы (БПЗ) арºылы

¼згертiледi. T коэффициентiн, R2 т½раºты бол¹ан кезде, конденсаторды» сыйымдылы¹ы арºылы (сыйымдылыº магазинiнi» к¼мегiмен) ¼згертуге болады. Өйткенi, T = R2 ×C .

36

Автоматты басқару теориясы

k коэффициентiн a коэффициенттi» м¸нi арºылы немесе R1 кедергiнi» м¸нiн дискрет ¼згерту арºылы ¼згертуге болады

( R2 = 1мОм áîë¹àíäà k = a ).

R1

	Rux (t) ìåí Ruu (t ) функцияларын сызыºсыз БН1 мен
ÁÍ2	блоктарында жинайды. У1 к¾шейткiш уаºытºа

пропорционал сызыºты кернеудi шы¹арады. ²осушы У3 к½шейткiш сызыºсыз БН3 блогымен (квадратор) ж¸не интегралдаушы У4 күшейткiшпен бiрге, (3.79) ¼рнек бойынша ауытºуды» орта квадраттыº м¸нiн ж¾зеге асыратын с½лбасын

º½райды. È4	интеграторы, R ' (t)	ïåí R (t ) ºисыºтарын
	ux	ux
сапалы ба¹алау ¾шiн ºажет.
°детте, T	ìåí k коэффициенттерiнiң ¼згеру диапазоны
¾ëêåí болғандықтан, ºажеттi T , k , t		коэффициенттерiн тез

табу ¾шiн, экстремальäі эксперименттердi жоспарлау ¸дiсiн ºолдану ºажет.

Сол сияºты, екiншi реттi буынмен жуыºтал¹ан объектiнi идентификациялау¹а болады. Бұë æà¹äàé ¾øií, òå»äåó мына ò¾ðде болады:

T ×T ×

d

2 R

(t)

+ (T

+ T )×

dR (t)

+ R

(t )= k × R (t -t ). (3.80)

ux

ux

dt 2

dt

1 2

1

2

ux

uu

Б½л кезде модельде т¼рт

T1 ,

T2 , t , k

коэффициенттi

аныºтау ºажет. Экстремальдi эксперименттердi жоспарлау ¸дiсiн ºолданбаса, коэффициенттердi табу ¼те ºиын.

3.4. Елеулi сызыºсыз объектiлер динамикасыны» идентификациясы

Кен-байыту технологиясыны» к¼п объектiсi, инерциалды ж¸не елеулi сызыºсыз статикалыº сипаттамалар¹а ие. Оларды» º½рылымдыº с½лбасы, тiзбектеп ºосыл¹ан сызыºты инерциалды буын ж¸не сызыºсыз инерциясыз x = f (z )

статикалыº сипаттама¹а ие буынмен к¼рсетiлуi м¾мкiн (3.14à- сурет). Инерциалды буынны» берiлiс функциясы:

W (p )= z(p) u(p )

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

ə)

б)

а)

3.13-сурет. Кiрiсiнде u01 (ә) æ¸íå u0 2 (б) сатылы ыºпалдарды»

екi м¸ндерi кезiндегi уаºыт бойынша динамикалыº сызыºсыз объектiлердi» º½рылымы (а) мен øûғыстыº айнымалыларыны» ¼згеруi

Елеулi сызыºсыз инерциалды объектiнi» мысалы ретiнде, барабанды диiрмендi ºарастыру¹а болады. Ол ¾шiн u ® Q

(ò/ñà¹) - кен бойынша ¼нiмдiлiк; z ® j p (%) - ½нтаºтал¹ан материалмен барабанны» толу д¸режесi; x ® PД (êÂò) -

диiрменнi» жетекшi ºоз¹алтºышыны» активтi ºуаты. Осы сияºты динамикалыº º½рылым¹а ½сатºыш, кептiргiш барабан, т.б. аппараттар кіреді.

Сызыºты инерциалды буынды жуыº т¾рде бiрiншi реттi апериодтыº буын ретiнде жазу¹а болады. Онда оны» берiлiс функциясы, z айнымалысыны» í¼ëãå äåéií àçàюын тудыратын, кiрiсiне сатылы ºобалжу берiлген кезде, мынадай болады:

t
z(t )= k ×u0 ×e -T	(3.81)

ì½íäàғы T ìåí k – буынны» уаºыт т½раºтысы, к¾шейту коэффициентi; u0 - сатылы ºобалжу бергенге дейiнгi кiрiс

айнымалыны» бастапºы м¸нi.

Технологиялыº аппараттарды» к¼бiсi ¾шiн, сызыºсыз буын параболаны» те»деуiмен суреттелуi м¾мкiн:

x = az 2 + bz + c .

(3.82)

38

Автоматты басқару теориясы

Онда объектiнi» ауыспалы функциясы, (3.81)-ден z м¸нiн (3.82)-ге ºою арºылы алынады:

			2t				t
x = a × k 2 ×u02 ×e-				+ b × k ×u0 ×e-
			T				T
Àë z бойынша x туындысы:
	dx				-	t
		= 2 × a × z + b = 2 × a × k ×u			0 × e T
	dz

+ c .	(3.83)
+ b .	(3.84)

(3.82) мен (3.84) те»деулерiнен, x -òû» ¸ð ì¸íiíå áið dx - dz

ты» м¸нi с¸йкес. Сондыºтан, x = xбер айнымалыны» м¸нi ¾шiн

(3.14¸,á-сурет), объект кiрiсiмен т¾рлi д¸режелi ºобалжулар, u0

1

мен

u02 берiлген кезде ¸р т¾рлi

t1 ìåí

t2 уаºыт моменттерiне,

келесi те»дiктi жазу¹а болады:

u0

-

t1

= u0

-

t2

×e T

2

× e T .

(3.85)

(3.85)-òi T

1

бойынша есептеймiç:

T =

t1

- t2

.

(3.86)

ln u0

- ln u0

2

1

(3.86) ¼рнегiн, объектiде т½раºты транспорттыº t êåøiãó

áàð

áîë¹àíäà

ºолдану¹а

болады, ¼йткенi

б½л жа¹дайда:

t1 = t1' -t ; t2 = t2' -t .

(3.86) ¼рнегiнi» алымы, мынадай те»дiкпен ¼рнектеледi:

t1 - t2 = t1' - t2' .

Б½дан к¼рiнiп т½р¹андай, транспорттыº кешiгудi есепке

алуды» ºажетi жоº. Сонымен, уаºыт T т½раºтысын аныºтау ¾шiн мынаны орындау ºажет:

-êiðiñ u01 айнымалыны» белгiлi де»гейiн орнатады;

-x т¼мендейтiндей етiп сатылы ºобалжуды бередi де, t1

уаºытын ¼лшейдi. t1 уаºыт арасында шы¹ыс айнымалы берiлген

xбер де»гейге жету ºажет;

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

-	t2	óàºûòûí àíûºòàó ¾øií, æà»à u02 äå»ãåéií ºîéûï,
2-пункттi ºайталайды;
- (3.86) æ¸íå t1 , t2 , u0					, u0	ºолданып, T есептейдi.
				1		2
Åãåð		диiрменнi»		ò¾ñiðãiøi			¼шкен кезде	PД ºóàòû,
áåðiëãåí		PД бер м¸нiне жету ¾шiн ºажеттi уаºыт t1 = 12,5							ìèí
æ¸íå	t	= 9 ìèí	ñ¸éêåñ		болса		(ò¾ñiðãiøòå	алдын	àëà
¼íiìäiëiêòi» åêi			äå»ãåéi	ºалыптасºан: Q0 = 85 ò/ñ๠æ¸íå
							1

Q02 = 65 ò/ñà¹), онда диiрменнi» уаºыт т½раºтысы T = 12,9 ìèí

те» болады. Таза кешiгудi, t ауыспалы процестердi» осциллограммасы бойынша табу¹а болады.

Осылайша, елеулi сызыºсыз инерциалы объектiнi, кiрiс шаманы» ¼згеруiнi» u01 - u02 белгiлi бiр диапазонында, жуыº

ò¾ðäå ñûçûºòû åòiп к¼рсетуге болады ж¸не оны мына ò¾ðдегi дифференциалды те»деу ретiнде жазу¹а болады:

T ×	dx(t )	+ x(t )= k ×u(t -t ).	(3.87)
	dt

3.3.Басºару объектiлерiнi» математикалыº модельдерiн

нормаль т¾рiнде келтiру

Дифференциалды те»деулердi» ¸рºайсысын фазалыº аумаº бойынша, эквиваленттi жазу арºылы к¼рсетуге болады. Бiрiншi реттi инерциалды буынны» дифференциалды те»деуi:

T ×

dx(t )

+ x(t )= k × u(t ).

(3.88)

dt

нормаль т½рде былай жазылады:

dx(t )

k × u(t )- x(t)

·

1

k

=

немесе x = -x ×

+

×u .

(3.89)

dt

T

T

T

Екiншi реттi инерциалды буынны» дифференциалды

òå»äåóiíå:

d 2 x(t )

dx(t )

T ×T ×

+ (T + T

)×

+ x(t )= k ×u(t ).

1

2

dt

1

2

dt

Нормаль т¾рiндегi те»деулер ж¾йесi с¸йкес келедi:

40

Автоматты басқару теориясы

	·										ü
	x1 = x2 ;
											ï
	·	T1	+ T2	× x			1	× x		k	ý
	x 2 = -				2	-			+		×uï
		T1 ×T2					T1 ×T2	1		T1 ×T2	þ

ì½íäà x = x1 .

n -реттi дифференциалды те»деу ¾шiн:

d n x(t )

+ a

×

d n-1 x(t )

+ ... + a

×

dx(t )

+ a

× x(t )= b ×u(t )

dt n

n-1

dt n -1

1

dt

0

0

нормаль т¾рде те»деулер ж¾йесiн аламыз:

(3.90)

(3.91)

ü

·

ï

x1 = x2 ;

ï

·

= x3 ;

ï

x 2

ï (3.92)

.......

ï

ý

·

ï

x n-1 = xn ;

ï

·

a

a

æ

a

ö

a

b

ï

n-1

n-2

0

ï

x n

= -

× xn

-

× xn-1 + ... +

ç

-

1

÷

× x2

-

× x1

+

0

×u

an

an

ç

÷

an

an

ï

è

an ø

þ

Егер объектiнi» дифференциалды те»деуi u бойынша туындылар¹а ие болса, нормаль те»деулер ж¾йесiн º½ру ºиындайды.

d n x(t )

+ a

×

d n-1 x(t )

+ ... + a

× x(t )= b

×

d m u(t )

+ b

×

d m-1u(t )

+ ... + b

×u(t ).

(3.93)

dt m

dt

n

dt n-1

1

m

m-1

dt m-1

0

Б½л жа¹дайда нормаль те»деулер ж¾йесiн келесi т¾рде

жазады:

·

= a

× x

+ a

× x

+ ... + a

× x

+ c ×u;

ü

x1

2

n

11

1

12

1n

1

ï

·

= a

× x

+ a

× x

+ ... + a

× x

+ c

×u;

ï

(3.94)

x 2

21

22

2

2n

n

2

ï

1

ý

.................

ï

·

= a

× x

+ a

× x

+ ... + a

× x

+ c

ï

x n

n-1

n-2

2

nn

n

n

×uï

1

þ

ì½íäàғы

aij æ¸íå

ci

- iзделетiн коэффициенттер. Оларды

бастапºы (3.93) те»деуi мен (3.94) æ¾éåñiíi» øåøiìäåði

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

эквиваленттi болатындай етiп аныºтайды. aij есептеу ¾шiн, (3.94) ж¾йенi» сипаттамалыº аныºтауышын º½растырады:

	a11 -a	a12	...	a1n
D =	a21	a22 -a	...	a2n	(3.95)
	...	...	...	...
	an1	an2	...	ann -a

(3.95) аныºтауышты	аша отырып, алын¹ан сипаттамалыº
полиномны» a бойынша	бiр д¸режелi коэффициенттерiн, (3.93)
¼ðíåãiíi» ñîë á¼ëiãiíäåãi	сипаттамалыº полиномны» с¸йкес

келетiн коэффициенттерiне те»естiріп, aij аныºтайды. ci òàáó ¾øií D1 ºосалºы аныºтауышын º½райды. D1 ºосалºы аныºтауышты» D аныºтауышынан айырмашылы¹ы – áiðiíøi òiê

жолды» aij элементтерi ci			элементтерiмен ауыстырылады:
		- c1	a12	...	a1n
D1	=	- c2 a	22 -a	...	a2n			(3.96)
		...	...	...	...
		- cn	an2	...	ann -a

(3.96) аша отырып, бiр д¸режелi коэффициенттердi (3.93) ¼рнегiнi» о» жа¹ында¹ы коэффициенттермен те»естiремiз, ал

aij белгiлi деп аламыз.

(3.93) т¾рге ие дифференциалды те»деулер, кен-байыту технологиясыны» транспорттыº кешiгуi бар объектiлерi ¾шiн. Шынында, таза кешiгуi бар буынны» берiлiс функциясын Пад ºатарына жiктеуге болады:

1 -

t

з

× р +

t

2

× р 2

-

t

3

× р3 + ...

з

з

=1 - k1 p + k2 p 2

- k3 p3

+ ...

(3.97)

2

8

48

e -t з p =

1 + k1 p + k2 p

2

+ k3 p

3

+ ...

1 +

t з

× р +

t

2

× р 2

+

t

3

× р3 + ...

з

з

Б½ë

2

8

48

-

дифференциалды

òå»äåóäi»

î»

á¼ëiãiíäå

туындыны»

пайда

болуына ¸келедi. Т¸жiрибелiк жа¹дайда

(3.97) жiктеудi» екi немесе бiр м¾шесiн ¹ана ºалдырады.

Мысалы,

диiрменнi»

êiðiñiíäåãi

¼íiìäiëiêòi»

¼згеруi Q

(ò/ñà¹)

–

жетекшi

ºîç¹àëòºûø

Pa

(êÂò)

ºуатыны»

¼згеру

42