adambaev_avtomatty

Автоматты басқару теориясы

Кейбiр объектiлер к¼псыйымдылыºты болады, я¹ни жо¹ар¹ы реттi дифференциалды те»деумен бейнеленедi. Оларда коэффициент ретiнде бiрнеше уаºыт т½раºтылары комбинациясы болады. Таза транспорттыº кешiгуi бар объектiнi» динамикасы, мына т¾рдегi сызыºтыº дифференциалды те»деумен бейнеленедi:

an

вm

d n x(t )

+ a

d n-1 x(t )

+ ... + a

dx(t )

+ a

x(t )=

dt n

n

-1 dt (n-1 )

(3.17)

1

dt

0

d mU (t -t )

- в

d m-1U (t -t )

+ ... + в

dU (t -t )

+ в U (t -t )

dt m

m-1

dt m-1

1

dt

0

ì½íäà ¸ðºàøàí n ³ m.

(3.17) дифференциалды те»деулерге, статикалыº объектiлердi» S-т¾рлi ауыспалы процесс ºисыºтары (3.5ә- сурет) с¸йкес келедi.

Статикалыº объектiнi» динамикалыº ºасиеттерiн суреттеу кезiнде де дифференциалдыº те»деулер ºолданылады, бiраº б½л те»деудi» сол жаº б¼лiгiнде à0õ(t) м¾шесi болмайды, ал о» жаº б¼лiгiнде статикалыº берiлiс коэффициентi жоº. Себебi, астатикалыº объектiлер, статикалыº сипаттама¹а ие болмайды (3.5б-сурет).

Тау-кен ¼нерк¸сiбiнi» т¾рлi объектiлердi» динамикалыº сипаттамаларын практика ж¾зiнде ба¹алау т¸жiрибесi, оларды» т¼менде берiлген дифференциалды те»деулерiнi» бiрiмен ½сынылады:

a

dx(t)

+ a

0

x(t )= в

0

×u(t );

1

dt

a

dx(t )

+a

x(t )= в u(t -t );

1

dt

0

0

a

d 2 x(t )

+ a

dx(t)

+ a x(t )= в

×u(t -t );

(3.18)

dt2

2

1

dt

0

0

a

d 2 x(t)

+ a

dx(t )

+ a

x(t )= в

du(t -t )

+ в ×u(t -t );

2 dt 2

1

dt

0

1

dt

0

a

d 3 x(t )

+ a

d 2 x(t )

+ a

dx(t )

+ a × x(t )= в ×u(t -t );

3

dt3

2

dt2

1 dt

0

0

a

d 3 x(t )

+ a

d 2 x(t )

+ a

dx(t )

+ a × x(t )= в

du(t -t )

+ в ×u(t -t ).

3

dt3

2 dt2

1

dt

0

1 dt

0

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Егер ж½мыс н¾ктесiнi» ма»айында объектiнi» статикалыº сипаттамасын сызыºтандыру м¾мкiн болмаса, онда оны f (x,U )

ò¾ðiíäå x = Dx æ¸íå U = DU айнымалыларды» сызыºтыº емес функциясы ретiнде к¼рсету керек. Ол жа¹дайда (3.16) дифференциалды те»деу Коши формасында жазыл¹анда мына т¾рге енедi:

	d x	= f (		,		. )	(3.19)
			x		U
	dt

К¼п ¼лшемдi объектiлерднi» динамикасы, кейбiр локальды аумаºта, нормальды формада дифференциалды те»деулердi» ж¾йесi ретiнде жазылуы м¾мкiн:

dx1 (t )

= f

1

(x

,..., x

n

;U

1

,...,U

m

);

dt

1

(t )

dx2

= f 2 (x1 ,...xn ;U1 ,...,U m );

(3.20)

dt

…………….

dxm (t) = f m (x1 ,..., xn ;U1 ,...,U m ). dt

Осылайша, технологиялыº операцияларды» статикалыº т¸ртiбiн сипаттайтын математикалыº модельдер, (3.5) т¾рiндегi алгебралыº те»деумен аныºталады. Ал осы операцияларды» динамикалыº моделiн, (3.18) т¾рiндегi дифференциалды те»деумен немесе (3.20) т¾рiнде к¼рсетуге болады. Технологиялыº объектiнi» математикалыº моделiн осылайша келтiру – автоматты басºару ж¾йелерiн синтездеуге м¾мкiндiк бередi.

3.2. Кен байыту, басºару объектiлерiнi» модельдерiн алу ¸дiстерi

Тау-кен технологиясыны» объектiсi ретiнде технологиялыº аппараты немесе оларды», бiрден-бiр типтiк операциясын ж¾зеге асыратын жиынты¹ын т¾сiнуге болады. Егер объект ¾шiн басºару ж¾йесi º½рылса, онда оны - басºару объектiсi деп атайды. Б½л жа¹дайда, объектiге сезiмтал элементтер (бергiштер) жатады. Б½л

элементтер шы¹ысы, басºарылатын айнымалылар x = {x1 ,..., xn } векторыны» жа¹дайын баºылайды. Сонымен ºатар, кiрiс

14

Автоматты басқару теориясы

басºарылатын U = {U1 ,...,U m } айнымалы векторыны» жа¹дайын

¼згертетiн реттеушi органдар жатады (3.1-сурет). Басºару объектiсiнi» контурлары, басºару ж¾йесiн º½растырушыны» алдына ºой¹ан негiзгi маºсатына т¸уелдi.

Технологиялыº процестi» басºару ж¾йесiн º½ру, басºару объектiлерiнi» моделiмен ты¹ыз байланысты. Технологиялыº процестi басºаруды» локальдыº (ºарапайым) ж¾йесiн º½ру кезiнде, басºару объектiлерiнi» моделi ретiнде статикалыº ж¸не динамикалыº сипаттамалар т½рады. Барлыº технологиялыº желiнi басºаруда, объектiлер арасында¹ы байланысты, басºару объектiнi» модель жиынты¹ын ¼зiне енгiзетiн к¾рделi модельдердi ºолдану ºажет.

Басºару объектiсiнi» ¸рбiр наºты моделi, ж¾рiп жатºан физикалыº процестердi» к¼рiнiсi. Басºару объектiнi» моделiн шартты т¾рде екiге б¼луге болады: физикалыº ж¸не математикалыº.

Физикалыº модельдерде - басºару объектiсiне т¸н º½былыстар ж¾руi ºажет. °детте, модель объектiден

геометриялыº шамаларымен ж¸не x,U ,У айнымалыларыны»

¼згеру диапазонымен ерекшеленедi. Осындай модельдердi º½ру, объектi мен модельде ¼тетiн процестердi» с¸йкес келу деңгейін ба¹алау¹а байланысты белгiлi бiр ºиындыºтарды же»удi талап етедi. Б½л ба¹алау, ½ºсастыº теориясы теоремаларымен негiзделедi.

Физикалыº модельдердi» басºа тобына, объектiнi» физикалыº таби¹атына ºара¹анда, басºаша физикалыº таби¹атºа ие модельдер жатады. Б½л жа¹дайда, ½ºсастыº принципiнi» орнына, эквиваленттiк принципi ºолданылады. Эквиваленттiлiк шарттар орындалса, объектi те»деуi мен модель те»деуi с¸йкес келедi. М½ндай модельдердi -аналогтыº деп атайды.

Басºару объектiсiнi» математикалыº моделi ретiнде, объектiде ¼тiп жатºан º½былысты» ма»ыздылы¹ын к¼рсететiн, алгебралыº немесе дифференциалдыº те»деулер, те»сiздiк, логикалыº шарттар, операторлар, т. б. т¾рiндегi ж¾йе

ºабылданады. Олар наºты бiр алгоритмнi» к¼мегiмен, кiрiстегi Y

басºарылмайтын ж¸не U басºарылатын айнымалылар ¼згерген

кезде, объектiнi» жа¹дайын к¼рсететiн X векторыны» ¼згерiсiн болжау¹а м¾мкiндiк бередi.

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Математикалыº модельдi» е» негiзгi ºасиетiне, оны» ма¹ыналылы¹ы жататынын к¼ремiз, я¹ни зерттелетiн объектiнi» ма»ызды жа¹ын к¼рсету ºабiлеттiгi.

Басºару объектiлерiн математикалыº модельдеу кезiнде, математикалыº модельдi º½растырады, оны» шешiмiн табады ж¸не зерттелетiн процеске модельäiң адекватты¹ын тексередi.

Модель алуды» аналитикалыº ¸дiсi - модельделетiн объектiде ж¾ретiн процестердi сандыº ж¸не сапалыº түрде ба¹алау¹а негiзделген. Б½л ¸дiс процестi» физикамеханикалыº (немесе басºа) ма»ызын бiлуге; процестегi байланысты к¼рсететiн математикалыº те»деулер жиынты¹ын математикалыº модель т¾рiнде к¼рсетуге м½мкiндiк бередi; математикалыº модельдi» с¸йкестену äåңгейiн аныºтау¹а м¾мкiндiк бередi. М½ндай модельдер ¾лкен ортаºтыºпен ерекшеленедi, олар тек бiр ¹ана наºты объект ж¼нiнде емес, жалпы осындай объектiлер класынан басºару ж¾йелерiн жобалау кезiнде аса º½нды болады.

Тау-кен технологиясыны» математикалыº модельдерiн аналитикалыº ¸дiспен алу, т¸жiрибиеде ºолайлы емес. Себебi, тау-кен ¼нерк¸сiбiнi» процестерi ¸детте сызыºсыз, к¼п шамалы, стационарлы емес. К¼п жа¹дайда, объект ж½мысыны» динамикалыº ж¸не статикалыº режимiнде, кiрiс пен шы¹ыста¹ы айнымалылар арасында¹ы байланыс формасы жайлы аºпарат т¾спейдi. Осыны» барлы¹ы, аналитикалыº ¸дiспен ¾йлес моделiн алуды ºиындатады.

Математикалыº модельдердi аныºтауды» экспериментальäûº ¸äiñi åêiãå á¼ëiíåäi: активтiк æ¸íå пассивтiк. Активтiк эксперименттi ж¾ргiзу кезiнде зерттелiп отыр¹ан объектiнi» кiрiсiне белгiлi бiр т¾рiндегi u басºару сигналдары берiледi, ал содан кейiн шы¹ыста¹ы айнымалыларды» ¼згерiсi (3.6-сурет) белгiленедi. М½ндай сигналдар¹а объектiнi» кiрiсiне ºолмен немесе техникалыº º½рыл¹ыны» к¼мегiмен берiлетiн жоспарланатын ыºпал (ЖЫ) жатады. Кiрiс u сигналдары - кездейсоº æ¸íå ½äàéû болып б¼лiнедi. µдайы сигналдар¹а - апериодтыº (сатылы функция (2) ж¸не импульстiк ыºпал 3)) ж¸не периодтыº (синусоидалыº ыºпал (4) немесе тiк б½рышты толºын (1)) жатады. Берiлген жоспарланатын ыºпал - объектiнi» динамикалыº сипаттамаларын, ал 1 ыºпалстатикалыº сипаттамаларын аныºтау ¾шiн ºолданылады. Кiрiстегi кездейсоº ¸сер етушi u арнаулы шу генераторымен

16

Автоматты басқару теориясы

º½рылады. Оларды ºолдану арºылы, объектiлердi» динамикалыº сипаттамаларын аныºтау ¸дiсi же»iлдейдi.

3.6-сурет. Активтiк ж¸не пассивтiк эксперимент арºылы экспериментальдыº ¸дiспен объектiнi» математикалыº

модельдерiн алу схемасы

Объектiнi» кiрiсiнде активтiк эксперимент н¸тижесiнде оны» шы¹ысында Х-ты» экспериментальдыº м¸нiн алады, одан кейiн аналитикалыº түрде, математикалыº ¸дiстермен ¾йлестiлiгi аныºталады.

Пассивтiк эксперименттi ж¾ргiзу кезiнде объектiнi» шы¹ысында¹ы айнымалы шаманы» ж¸не кiрiсiндегi айнымалы u шаманы» кездейсоº ыºпалын (СВ) ½дайы белгiлеп отырады. u æ¸íå Õ экспериментальдыº шамаларын ¼»деу - кiрiс пен шы¹ыс кездейсоº сигналдарыны» статикалыº сипаттамаларын аныºтау¹а, солар арºылы объектiнi» динамикалыº ж¸не статикалыº сипаттамаларын есептеуге ¸келедi.

Экспериментальды-аналитикалыº ¸дiс кезiнде бiрiншiден, аналитикалыº модельдi º½рады, содан кейiн математикалыº модельге кiретiн коэффициенттердi д¸лелдеу ¾шiн, наºты бiр объектiде эксперименттiк зерттеу ж¾ргiзедi.

3.2.1. Математикалыº модельдер алуды»

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

аналитикалыº ¸дiсi

Математикалыº модельдердi» аналитикалыº ¸дiсiн º½ру - бiзге белгiлi материалды д¾ние за»дарына негiзделген. Осындай модельдердi º½ру кезiнде, технологиялыº процестi айтарлыºтай д¸рiптеу ºажет. Өйткенi ол технологиялыº процестi º½райтын элементар º½рал¹а б¼лiп, олар жайлы салыстырмалы т¾рде математикалыº суреттеу ж¸не зерттеу гипотезасы ж¾ргiзiледi.

Объектiлердi аналитикалыº т¾рде модельдеу ¸дiсi мына сатыдан ò½ðàäû:

1)процестi зерттеу;

2)æåòêiëiêòi òүðäå îíû ä¸ðiïòåó;

3)материалдыº ж¸не энергетикалыº баланс те»деуiн, процестi» кинетикалыº те»деуiн, гидравликалыº, т. б. те»деуле-

ðií º½ðó;

4) теориалыº модель мен процестi» ¾йлестiгiн аныºтау. Объектiнi» статикалыº сипаттамасын аныºтау ¾шiн,

материалдыº ж¸не энергетикалыº баланс те»деуiн жиi ºолданады:

åQ j	- åQi = 0 ;	åPj	- åPi = 0 .	(3.21)
j	i	j	i

ì½íäà¹û Qj, Qi æ¸íå Pj, Pi - объектiге берiлетiн, ¸рi одан алынатын заттарды» шы¹ын энергия а¹ындары. (3.21) те»деуi (3.5) немесе (3.13) т¾рiне айналады.

Объектiнi» дифференциалдыº те»деуiн алу ¾шiн:

dGB	= åQj - åQi ;	dG	= åPj	- åP i	(3.22)
dt j		dt j		i

ºалыптанба¹ан режимiндегi энергия немесе затты» жиналу процесiн сипаттайтын ¼рнек ºолданылады. Б½л дегенiмiз - объектiдегi шы¹ын (Qj) ¼згерсе, объектiде GÂ затын жинау процесi басталып, шы¹у координаттары ¼згерiске ½шырайды, мысалы Qi. (3.22) ¼рнегi (3.17) немесе (3.20) т¾рiне келтiрiледi.

3.7-суретiнде 1 º½бырдан а¹атын с½йыºты» шы¹ынын ºалыптандыратын, автоматты ж¾йе келтiрiлген.

18

Автоматты басқару теориясы

3.7-сурет. С½йыºтыº шы¹ынын т½раºтандыру ж¾йесi

1 - º½быр; 2 - ¼лшеу º½рыл¹ысы; 3 - екiншi аспап; 4 – реттегiш; 5 - реттеушi орган

Автоматтандыру объектiсiне L ½зындыºты (1) º½áûðäы» саласы жатады. Осы объектiнi» динамикалыº ж¸не статикалыº

сипаттамаларын аналитикалыº	¸äiñïåí				аныºтаймыз. DR
ºысымны» т¾суi мен º½бырда¹ы	ñ½éûºòû» J жылдамды¹ы
арасында¹ы байланыс белгiлi, ол:
J = K p ×	2g ×	DR	;		(3.23)
		g

ì½íäà¹û g - åðêií º½ëàó ¾äåói; g - ñ½éûº òû¹ûçäû¹û;

Êð - шы¹ыс коэффициентi.

J жылдамды¹ы, кесiндi S ауданыны» керi к¼лемiне те» болатын коэффициентiмен, º½бырдан ¼тетiн с½йыºты» шы¹ынына (Q) пропорционал бол¹андыºтан, ºысым к¾шiнi»

балансын D Р·S ж¸не гидродинамикалыº ºарсыластыºты» те»деуiн былай жазу¹а болады:

	DP × S =	Q2g	.	(3.24)
		2g × S × K p2

(3.24) ¼рнегi - º½бырды» статикалыº сипаттамасы, ¼йткенi ол º½быр мен с½йыºты» сипаттамалары- g , S, Êð,

êiðiñòåãi D Р, шы¹у Q айнымалысы арасында¹ы	¼çàðà
т¸уелдiлiктi к¼рсетедi.

Åãåð ò¾ñiðiëåòií D ЃS к¾шi º½бырды» гидродинамикалыº кедергiсiнен басым т¾ссе, онда а¹ын ¾деулiкпен ºоз¹ала бастайды.

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

Сондыºтан, ж½мысты» ºалыптанба¹ан т¸ртiбi кезiндегi к¾ш те»деуi былай жазылады:

DP × S =	Q2g	+ m	dJ	;	(3.25)
	2gS × k p2		dt

ì½íäàғы m = L × S ×g - º½бырда¹ы с½йыºты» массасы, кг. g

J-ны» орнына с½йыºты» Q шы¹ынын түрлендiргеннен со» мына ¼рнектi аламыз:

						T	dQ	+ Q = K × DP ;
			2 × L × S × K 2				dt
	ì½íäà¹û T =				p	- óàºûò ò½ðàºòûëû¹û;
			Q
		2g × S 2		× K 2		- берiлiс коэффициентi.
	k =			p

Q ×g

ºîéñàº,

(3.26)

(3.26) ¼рнектен, динамикалыº ºатынаста, º½быр саласы бiрiншi реттi сызыºтыº емес, инерциалыº тобы болып саналады. Оны» сызыºтыº еместiгi с½йыºты» Q шы¹ынна Ò ìåí Ê-ны» т¸уелдiлiгiмен сипатталады.

Åãåð (3.24) ¼ðíåãiíåí àëûí¹àí Êð м¸нiн ºолдансаº, онда (3.26) ¼рнегiндегi Ò уаºыт т½раºтылы¹ын мына т¾рде жазу¹а болады:

T =	L ×g ×Q	.	(3.27)
	g × S × DP

Б½л формула номиналды шы¹ында¹ы º½бырды» уаºыт т½раºтылы¹ын Ò есептеуге м¾мкiндiк бередi. Ал басºадай сұйық шы¹ынында оны тек сапалы т¾рде ба¹алау¹а болады, себебi ол (3.24) ¼рнегiндегi ¼зара квадратты т¾рде т¸улдiлiктегi шы¹ыс Q пен ºысымны» DR º½лауынан т¸уелдi болады.

3.2.2. Екпiн ºисы¹ы бойынша сызыºтыº объектiлердi» динамикалыº сипаттамаларының инженерлiк идентификациясы

Æå»iëäåòiëãåí åñåï. Объектiлердi» динамикалыº сипаттамала- рын идентификациялау ¾шiн, кiрiс u(t) айнымалыны» (2)

сатылы ауытқуы (3.6-сурет) жиi ж¾зеге асырылады. Осындай ауытºу¹а объектiнi» реакциясы - екпiн ºисы¹ы деп аталады. Ол

20

Автоматты басқару теориясы

t = 0 óàºûòû êåçiíäåãi u(t ) = uo ì¸íiíåí u0 = B шамасына дейiнгi u(t)-äi» øàпша» ¼згерiсiмен cебептелiнетiн, шы¹ыс x(t )

шамасыны» Dx(t) ¼ñiìøåñi болып есептеледі, ì½íäà¹û  -

т½раºты шама (3.5-сурет).

Объектiнi» динамикалыº коэффициенттерiн аныºтау ¸дiстемесiн же»iлдету ¾шiн, екпiн ºисы¹ы (3.5-сурет), т¼менде к¼рсетiлген (3.37) т¸уелдiлiктi ºолдана отырып, м¼лшерсiз т¾рде ½сынған дұрыс:

				x(ti	)- x(0)
	x(ti		)=			;		(3.37)
				x(¥ )- x 0(			)

ì½íäà¹û x(ti ) - ti уаºыты кезiндегi шы¹ыс шаманы» а¹ында¹ы м¼лшерсiз м¸нi; x(ti ) - сол уаºытта¹ы сол шаманы»

эксперименттiк м¸нi.

Сатылы ауытºу¹а объектiнi» реакциясы шы¹ыс ыºпалы ж¸не белгiлi бастапºы шарттар кезiнде кейбiр дифференциалды те»деудi» шешiмi ретiнде ½сынылатындыºтан, оларды» т¾рi бойынша (3.18) те»деу сыныбында табылатын дифференциалды те»деудi» ¼зiн аныºтау¹а болады.

Åãåð åêïií ºèñû¹û 3.5à-суретте к¼рсетiлген т¾рге ие болса, онда суретте к¼рсетiлгендей, объектiнi» Ò, t динамикалыº параметрлерiн графиктен, ал берiлiс коэффициентiн, келесi формуламен аныºтайды:

	x(¥)- x(0)			Dx		Dx	.	(3.38)
к = u(¥ )- u 0(			=) Du		=	B

Ал негiзгi дифференциалды те»деу, (3.18) те»деуiне с¸йкес келедi ж¸не оны мына т¾рде жазу¹а болады:

			T	dx(t )		+ x(t )= k ×u(t -t );			(3.39)
	a1			dt
ì½íäà¹û T =		, ñ;	K =		в		0	.
	a0
					a0

Егер екпiн ºиысы¹ы S - сияºты т¾рге ие болса (3.5á- сурет), онда оны» дифференциалды те»деуiн (3.39) те»деуiмен к¼рсетуге болады. Осындай жуыº к¼рiнiстi былай æ¾ðãiçåäi,

М.Д. Адамбаев, Т.С. Малдыбаева

я¹ни нормалан¹ан ºисыºта xA ,tA , xB , tB координаттары бар À және н¾ктелерiн та»дайды. À í¾êòåñi ºèñûºòû» èiëiìiíäå

алынады, ал x B ординаты - 0,8 ¸ 0,9-¹а те» ºабылданады. Осы

н¾ктелер, 3.5á-суретiнде ¾здiк сызыºпен к¼рсетiлген, же»iлдетiлген екпiн ºисы¹ыны» интерполяциялыº торабы ретiнде ºарастырылады.

Шартты таза кешiгу t y æ¸íå óàºûò ò½ðàºòûëû¹û Òó

òà»äàë¹àí À мен  координаттарыны» негiзiнде, келесi формулалармен аныºталынады:

=

tA × ln(1 -

)- tB × ln(1 -

B )

t y

xА

x

;

(3.40)

ln(1 - x A )- ln(1- xB )

tA -t y

Ty =

ln(1 -

A ).

(3.41)

x

Осылайша, екпiн ºисы¹ы S-т¾рге ие болатын объектiнi» берiлiс функциясын, мына т¾рде к¼рсетуге болады:

	W (p )=	ke -t y p		;	(3.42)
		Ty p + 1

ì½íäàғы k - (3.38) формуласына с¸йкес, берiлiс коэффициентi. Аудандар ¸дiсi. Áiðiíøiñiíåí ¾ëêåí ðåòòi (3.18)

дифференциалды те»деудi сипаттайтын параметрлердi есептеу ¾шiн, к¼лемдiк ¸дiс ºолданылады. (3.18) те»деуiне енетiн ài , bi коэффициенттерi, келесi те»деу ж¾йесiмен аныºталады:

а1	= F1 + b1;						ü	(3.43)
а2	= F2 + b2 + b1F1;						ï
							ý
а	= F	+ b	+ b F		+ b F		ï
3	3	3	2	1	1	2	þ

ì½íäàғы F1, F2, F3 шамалары, екпiн ºисы¹ымен интегралды ºатынастармен байланысты:

F1 = ¥ò(1 -

)

dt ;

(3.44)

x

0

F2

= F12 ¥ò(1 -

)× (1 -q ) dq ;

(3.45)

x

0

¥

æ

q 2

ö

F3 =

F13

ò

(1 - x)×ç1

- 2q

+

÷

dq .

(3.46)

ç

2

÷

0

è

ø

22