Марченко_Высшая математика

5. Как найти наклонные асимптоты графика функции?

6. Дайте определение точки локального минимума функции.

7. Что можно сказать о приращении функции в достаточно малой окрестности точки локального максимума?

8. Что можно сказать о производной дифференцируемой функции в точке экстремума? В окрестности точки экстремума?

9. Какие точки называются критическими?

10.	Опишите схему исследования функции на экстремум.
11.	Функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a; b)
и f ′(x)> 0. Что можно сказать о поведении функции на интервале?
12.	Функция y = f (x) убывает на интервале (a; b) и имеет

производную в каждой точке интервала. Что можно сказать о производной функции на (a; b) ?

13. Как найти интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности) функции?

14. Будет ли точка x = 0 критической для функции y = sinx x ?

15. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?

16. Что можно сказать о второй производной дважды дифференцируемой выпуклой на интервале (a; b) функции?

17. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости функции?

18. Какая точка называется точкой перегиба графика функции? 19. Чему равна вторая производная функции в точке перегиба? 20. Что можно сказать о второй производной функции в окрест-

ности точки перегиба?

21. Что можно сказать о касательной в точке перегиба графика функции?

22. Опишите схему нахождения точек перегиба.

2.2.3. Практический минимум

	Найти экстремумы функции:
1.	y = 2x3 −15x2 +36x −14 .			2. y = (x −1)e3x .
3.	y = ln	2	x .	4.		2	+1, x ≠ 0,
					y = x
	x				2, x = 0.
5.	y = (x + 2)2 (x −3)3 .			6.	y = x ln x .

101

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

7.	y = x3 −6x2 +9, x [−1; 2] .
9.	y = x + 1		, x [1; 2] .
		x
11.						π
		y = sin x + cos x, x 0;				2	.
				[
13.		y = 3x4	+ 4x3 + 9 , x				]
					−2; 1 .

8. y = x − 2 x,		x [0; 5].
10.	y = x −ln x,	x [1; e] .
12.	y = (x +1)ex ,		x [−3; −1].
14.	y = 25 − x2 ,		x [−3; 4].

Исследовать функцию и построить ее схематический график: 15. y = x3 + x. 16. y = x4 − 4x − 2.

17.	y = (x + 2)2 (x −1)2 .
19.	y =	x		.
		1 − x2
21.	y =	2x	.
		x2 −4

23.y = x3 .

x−1

25.y = xe−2 x .

	27.	y = (x −3)x2.
	29.	y = (x −1)(2x +3)2.
	31.	y =	x3		.
			x2	−1
	33.	y = xln x.

35. y = 1x ln2 x.

−x2

37.y = xe 2 .

18.	y =		2x − x2 .
20.	y =	1+		1	.
				x2
22.	y =		x2				.
			(x −1)3
24.	y = x2e−x .
26.	y = ln(4x − x2 ).
28.	y =8x3 − x4.
30.	y =	1						.
			(x + 2)(x − 4)
32.	y =		3x −2 .
			x2
34.	y = x − ln(x +1) .
36.	y = x2e−2 x .

−1

38.y = e x .

Минимум для аудиторной работы

Найти экстремумы функции: 1; 2; 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: 10; 11; 14.

Исследовать функцию и построить схематический график: 18; 23; 31; 34; 38.

102

			2.2.4. Ответы
	1.	ymax = y(2) =14,	ymin = y(3) =13.	2. ymin		2		e2	.
					= y	3	= −	3
		= y(1)=0, ymax = y(e2 )= 4e−2. 7. yнб = y(0)=9,
3.	ymin				yнм = y(2)= −7.
8.	yнб = y(5)=5 −2 5, yнм = y(1)= −1. 9. yнб = y(2)=2,5, yнм = y(1)= 2.
10. yнб = y(e) = e −1, yнм = y(1) =1.

15.Функция определена и непрерывна при всех значениях

x\. Функция нечетная, т. к. y(−x) = −y(x), и график симметричен относительно начала координат. Асимптот нет. Точек экстре-

мума нет, т. к. производная y′ = 3x2 +1 > 0. Вторая производная y′′ = 6x обращается в нуль при x = 0 ( y = 0) и при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, точка х = 0 является точкой перегиба. При переходе через точку функция меняет вогнутость на выпуклость.

16.Функция определена и непрерывна при всех значениях

x\. Асимптот нет. В точке (0; − 2) график пересекает ось Оу. Точка x =1 − точка минимума, y(1) = −5. Точек перегиба нет (вторая производная больше нуля). Функция всюду выпукла.

17.Функция определена и непрерывна при всех значениях

x \. Точки экстремума: x = −2 и x =1 − точки минимума, x =−12 −

точка максимума, ymin =y(−2)=0, ymin = y(1)=0,	ymax	= y			−	1		=	81	.
						2			16
			1
График функции пересекает ось Ох в точках	x1,2	=		(−1 ±					3 ).
			2

Асимптот нет.

18. Функция определена, непрерывна и принимает неотрицательные значения (корень арифметический) на отрезке [0; 2].

На концах отрезка значения функции равны нулю. Точки экстремума:

		′		1 − x
	y		=	2x − x2 = 0, x =1 − точка максимума, y(1)=1. Точек перегиба

нет (вторая производная отрицательная). Функция всюду вогнута. 19. Область определения функции описывается неравенством

1 − x2 > 0 x2 <1 −1 < x <1 x <1. Функция нечетная, гра-

103

фик симметричен относительно начала координат, y (0) = 0. Пря-

мые x =1 и x = −1 − вертикальные асимптоты: график функции приближается к асимптоте x =1 только слева, а к асимптоте x = −1 только справа. Точек экстремума нет. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку перегиба функция меняет вогнутость на выпуклость.

20. Функция определена, непрерывна и принимает положительные значения при всех x ≠ 0. Функция четная, и график симметричен относительно оси Оу. Кривая имеет две асимптоты: вертикальная – ось Оу, горизонтальная − y =1. К горизонтальной

асимптоте график приближается сверху при x →−∞	и при
x → +∞. Точек экстремума нет. Функция возрастает при	x < 0 и

убывает при x > 0. Точек перегиба нет. Функция всюду выпукла.

	21. Функция определена и непрерывна при всех x ≠ ±2 . Пря-
мые	x = 2 и	x = −2 − вертикальные асимптоты. Функция нечет-
ная,	т. к. y (	−x) = −y (x); y (0) = 0. Ось Ох – горизонтальная асим-

птота. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку перегиба функция меняет выпуклость на вогнутость.

22.Функция определена и непрерывна при всех x ≠1. Прямая

x=1 − вертикальная асимптота: при x <1 график приближается к асимптоте слева, при x >1 − справа. Ось Ох – горизонтальная асимптота: при x →−∞ график приближается к асимптоте снизу,

	при x → +∞ – сверху. Экстремумы: точка		4	максимума x = 0,
	y (0) = 0;	точка минимума x = −2 , y(−2)= −			. Точки перегиба
			27
	функции	x1,2 = −2 ± 3.

23.Функция определена и непрерывна при всех x ≠1. Прямая

x=1 − вертикальная асимптота. При x <1 график приближается к

	асимптоте слева, при x >1 – справа. Точка минимума						x =	3	,
		3			27			2
				=		. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку пере-
	y	2			4

гиба функция меняет выпуклость на вогнутость.

24. Функция определена, непрерывна и принимает неотрицательные значения при всех x \; y(0)= 0. Ось Ох – горизонталь-

ная асимптота при x → +∞. К асимптоте график приближается сверху. Экстремумы: точка минимума x =0, y(0)= 0 ; точка мак-

104

	симума	x = 2, y(2)=	4	. Точки перегиба функции	x = 2 ± 2 .
			e2
					1,2

При переходе через точку х1 функция меняет выпуклость на вогнутость, при переходе через точку х2 – вогнутость на выпуклость.

25. Функция определена и непрерывна при всех x \; y(0) = 0, y < 0 при x <0 и y > 0 при x >0. Ось Ох – горизонтальная асимптота при x →+∞. К асимптоте график приближается

сверху. Точка максимума x =	1		1		=	1	e	−1	. Точка перегиба функ-
	2	, y	2			2

ции х = 1. При переходе через точку перегиба функция меняет вогнутость на выпуклость.

26. Область определения: 4x − x2 > 0 x(4 − x)> 0 x (0; 4).

Прямые x =0 и x = 4 − вертикальные асимптоты: к асимптоте x = 0 график приближается справа, а к асимптоте x = 4 − слева. В точках

x1,2 = 2 ± 3 график пересекает ось Ох. Точка x = 2 − точка максимума, y(2) = ln 4. Точек перегиба нет. Функция всюду вогнута.

33.

lim (xln x)= (+0)(−∞)

= lim ln x =

∞

= 0

x→+0

x→+0

1

∞

Лопиталя).

x

(

x − ln( x +1

[

]

34.

lim

=

∞ − ∞

= +∞.

x→+∞

(

))

36.

lim

(

x2e−2 x

)

=

(+∞)e−∞

= (+∞)0 = lim

x2

2 x

x→+∞

x→+∞ e

правилу Лопиталя).

(по правилу

	∞	= 0 (по
=
	∞

38.Функция определена, непрерывна и положительна при всех

x≠ 0. Ось Оу − вертикальная асимптота при x → −0 ( y → +∞).

Прямая у = 1 − горизонтальная асимптота: график функции приближается к асимптоте снизу при x → +∞ и сверху при x → −∞.

Точек экстремума нет. Точка перегиба функции x = 12 . При перехо-

де через точку перегиба функция меняет выпуклость на вогнутость.

105

Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

1.Первообразная, ее общий вид и существование, определение неопределенного интеграла.

2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов.

3.Непосредственное интегрирование.

4.Замена переменной в неопределенном интеграле.

5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

6.Интегрирование рациональных функций.

7.Метод рационализации: интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических.

8.Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей.

Первообразная, ее общий вид и существование, определение неопределенного интеграла

Первообразная функция

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a; b), если

F′(x) = f (x), x (a; b).

Пример 1. Первообразной для функции f (x)= 2x3 на всей чи-

словой оси является	F(x) =	1	x	4		1	x	4	′	= 2x	3	. Первообразной
		2			, т. к.
					2

является и функция вида	1 x4	+C , где C – произвольная, но фик-
сированная постоянная.	2
				f (x)=1 1 + x2	)
Пример 2. Первообразной		для	функции
				(
на промежутке (−∞; + ∞) является произвольная функция вида
F(x) = arctgx +C, где	C = const ,		т. к. (arctgx + C)′ =1 (1 + x2 ).
Отметим, что первообразной является и функция вида −arcctgx +C1,
где C1 = const .

106

Таким образом, первообразных у данной функции бесчисленное множество, т. к. постоянная величина C может принимать любые значения.

Общий вид первообразных

Если F (x) – первообразная для функции f (x) на интервале (a; b), то выражение

F (x) + C,

где C = const – произвольная постоянная, описывает общий вид (любую первообразную) для функции f (x) на (a; b).

Таким образом, две различные первообразные для одной и той же функции на одном и том же промежутке различаются разве лишь на постоянную.

Существование первообразной

Если функция y = f (x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную.

Неопределенный интеграл

Общий вид первообразных для данной функции y = f (x) (на интервале (a; b)) будем называть неопределенным интегралом от этой функции (на интервале (a; b)) и обозначать ∫ f (x)dx .

Таким образом,

∫ f (x)dx = F (x)+C, x (a; b),

где F (x) – произвольная (фиксированная) первообразная для f (x); C – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием этой функции, сама функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования. Интег-

рирование – операция (с точностью до постоянной), обратная операции дифференцирования. Правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием (см. ниже свойства 1 и 2).

Найти неопределенный интеграл от функции – это значит найти общий вид первообразных от нее; если неопределенный интеграл для данной функции существует, то такая функция называется интегрируемой (на данном интервале).

107

График первообразной y = F (x) от функции f (x) называется интегральной кривой уравнения y′ = f (x).

Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов

1. Дифференцирование обратно интегрированию:

(∫ f (x)dx)′ = f (x), d ∫ f (x)dx = f (x)dx.

Производная и дифференциал неопределенного интеграла равны соответственно подынтегральной функции и подынтегральному выражению.

2. Интегрирование (с точностью до постоянной) обратно дифференцированию:

∫ f ′(x)dx = f (x)+ C, ∫dF(x) = F(x) + C.

Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной; интеграл от дифференциала dF (x) дает F (x)+ C .

Отметим, что символы интеграла ∫ и дифференциала d, приме-

няемые последовательно, взаимно уничтожают другдруга(безучета произвольной постоянной).

3. Важнейшим свойством неопределенного интеграла является его линейность:

а)∫αf (x)dx = α∫ f (x)dx,	Постоянный множитель можно выно-
где α = const ;	сить за знак неопределенного интеграла.
б)∫( f (x)± g (x))dx =	Неопределенный интеграл от суммы
= ∫ f (x)dx ± ∫g (x)dx;	(разности) интегрируемых функций ра-
	вен сумме (разности) интегралов этих
	функций.

Эти два свойства неопределенного интеграла можно заменить им эквивалентным:

в) ∫(αf (x)+ βg (x))dx = = α∫ f (x)dx + β∫g (x)dx,

где α = const , β = const .

Неопределенный интеграл от линейной комбинации интегрируемых функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от этих функций.

108

4. Свойство инвариантности формул интегрирования. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при за-

мене независимой переменной любой дифференцируемой функцией от нее, т. е.

∫ f (x)dx = F (x) + C ∫ f (u)du = ∫ f (u(x))u′(x)dx = F (u(x))+ C ,

где u = u(x) – любая непрерывно дифференцируемая функция от х,

в частности ∫ f (ax + b)dx = 1a F (ax + b)+ C , где a ≠ 0 .

Это свойство вытекает из свойства инвариантности первого дифференциала и может быть проверено по правилу дифференцирования сложной функции. Оно эффективно при практическом применении, т. к. основная таблица интегралов в силу этого оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от нее.

Таблица простейших интегралов (u = u(x))

1.

∫0 du = C.

2.

∫u

α

du =

uα+1

+C , где α ≠ −1.

2. а) ∫1 du = u + C;

α +1

2. б) ∫

1

du = 2 u + C;

u

2. в) ∫

1

1

du = −u + C.

u2

3.

∫1 du = ln

u

+ C.

u

u

au

4. а) ∫eu du = eu + C.

4.

∫a

du =

+ C.

ln a

5.∫sin udu = −cosu + C.

6.∫cosudu = sin u + C.

1

7. ∫cos2 u du = tgu + C.

1

8. ∫sin2 u du = −ctgu + C.

109

1

u

+ C,

9. а) ∫

1

du = arctgu +C =

1

a arctg a

9. ∫

du

1 +u2

=

= −arcctg u + C .

u

2

+

a

2

− 1 arcctg u + C .

1

a

a

1

arcsin u

+ C,

10. а) ∫

1

du =arcsin u +C =

1

1

−u

2

a

10.

du =

∫

a2

−u2

u

= −arccosu + C1.

+ C.

−arccos

a

11. ∫

du

1

u − a

+ C;

11. а) ∫

du

1

u −1

+ C;

=

ln

u + a

= 2 ln

u +1

u2 − a2

2a

u2

−1

∫

du

1

a + u

+ C.

∫

du

1

1 + u

+ C.

=

ln

a − u

=

2 ln

1 − u

a2 − u2

2a

1 − u2

12. ∫

du

= ln

u +

u2 ± a

+ C.

2

u

± a

Пример. Найти неопределенный интеграл с помощью таблицы интегралов:

∫	dx	= ∫						dx							=		1	∫			dx					=	1	∫			dx				=
	5x2 +1							2				1					5		x	2		+	1				5					1		2
					5 x				+																				x	2
												5											5								+
																																5
=		1		1			arctg					x				+ C =						5		arctg					5x + C .
		5		1								1
																						5
				5								5

Интегрирование, в отличие от дифференцирования с его установленными формальными правилами, в большей степени требует индивидуального подхода.

Непосредственное интегрирование

Нахождение интегралов с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения с использованием основных свойств и таблицы неопределенных интегралов называется непосред-

ственныминтегрированием.

110