Марченко_Высшая математика

Виды уравнения прямой l в пространстве

Таблица 5.7

Данные, определяющие прямую

Уравнения прямой l

Две пересекающиеся плоскости

l:

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0,

–

прямая как

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

пересечение двух плоскостей

Точка

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l

и вектор

l:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

–

каноническое

Gs = {m; n;

p} || l – направляющий

m

n

p

вектор прямой

уравнение прямой

Точка

M1 (x1 ;

y1 ;

z1 ) l

и

на-

x = x

+ mt,

1

правляющий

вектор

прямой

l:

y = y + nt,

– параметрическое уравне-

Gs = {m; n; p}|| l

1

+ pt

z = z1

ние прямой, t R

Две точки

l:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

– уравнение

M1 (x1 ;

y1 ; z1 ) l ,

x

− x

y

2

− y

z

2

− z

M2 (x2 ; y2 ;

z2 ) l

2

1

1

1

прямой по двум заданным точкам

Пусть две прямые l1 и l2

заданы каноническими уравнениями:

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

l

2

:

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

,

1

m1

n1

p1

m2

n2

p2

l || sG

={m ; n ; p

};

l

2

|| s ={m ; n ; p

}.

1

1

1

1

1

2

2

2

2

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Взаимное расположение прямых l1 и l2 в пространстве

Расположение

Условия

Прямые параллельны (или

G

m1

n1

p1

совпадают)

l1 || l2

s1 || s2

=

=

m2

n2

p2

s sG

Прямые перпендикулярны

l l

2

m m

+ n n

+ p p

2

= 0

1

1

2

1

2

1

2

1

Расположены под углом ϕ

sG sG

0

< ϕ <

π

G

G

cos ϕ =

G

1

G2

, ϕ = s s

2

s

s

2

2

1

1

Отметим, что в последних двух случаях часто дополнительно

требуется, чтобы прямые l1 и l2

лежали в одной плоскости.

191

Пусть заданы плоскость Q общим уравнением и прямая l каноническим уравнением:

Q : Ax + By + Cz + D = 0,

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

m

p

nG ={A; B;C} Q;

n

s ={m; n; p}|| l.

Рассмотрим их взаимное расположение (табл. 5.9).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Таблица 5.9

Расположение

G

Условия

l параллельна плоскости Q (лежит в

l || Q s n

Am + Bn + Cp = 0

плоскости)

Прямая l перпендикулярна плоскости Q

G

A

B

C

l Q s || n

=

= p

m

n

Прямая l образует с плоскостью Q

G G

sG

nG

угол ϕ sG nG ?

sin ϕ = cos(s

n)

=

sG

nG

Пример 1. Найти: а) уравнение прямой l1 , проходящей через

точки M1(2; 3; − 4)

и M 2 (5; 3; 0) ;

б) уравнение прямой l2 , прохо-

дящей через точку M0 (−1;5;0) параллельно прямой

l1 .

Решение.

а) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через

две точки

x − x1

=

y

− y1

=

z − z1

. Здесь (x ; y ; z )

–

координаты

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

1

1

1

точки M1, а (x2 ; y2 ; z2 )

– точки M2 . Получим:

l

:

x − 2

=

y −3

=

z + 4

, или

x − 2

=

y −3

=

z + 4

.

3

1

5 − 2 3 −3 0 + 4

0

4

Вектор sG ={3; 0; 4} – направляющий вектор прямой l ;

1

x −x

1

z −z

y − y

б) воспользуемся каноническим уравнением

0

=

0

=

0

m

n

p

прямой. Здесь (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 , а {m; n; p} –

координаты направляющего											вектора прямой l2 . Так как l1 || l2 ,
а sG			|| l , то sG || l						2	и можно взять {m; n; p} ={3; 0; 4}. Получим l		2	:
1			1			1
	x +	1		=	y −5	=	z	.
3
			0			4
192

		Так как в дроби						y −5	в знаменателе стоит 0, нужно и числи-
								0
	тель приравнять к нулю. Получим:
	y −5			= 0,				y = 5,
					z
	x +1						или
				=		,	4x −3z + 4 = 0.
					4
	3

Мы получили прямую как линию пересечения двух плоскостей. Пример 2. Заданы плоскость Q уравнением 2x − y + 2z +5 = 0 и точка M1(1; −3; 4) . Найти уравнение прямой, проходящей через

M1 перпендикулярно плоскости Q , и координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью Q .

Решение. Вектор нормали n ={2; −1; 2} перпендикулярен плоскости Q и прямая l Q , следовательно, n || l и может быть

взят в качестве направляющего вектора для l . Запишем канонические уравнения прямой l и получим из них параметрическое уравнение:

	x −1			y +3		z − 4		x = 2t +1,
			=		=		= t , или	y = −t −3,
				−1
	2				2
								z = 2t + 4.

Чтобы найти точку пересечения M0 плоскости и прямой, выражения для x , y и z из параметрического уравнения прямой подставим в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра t :

2(2t +1) −(−t −3) + 2(2t + 4) +5 = 0 , 9t +18 = 0, t = −2.

Подставляя найденное значение параметра в параметрическое

уравнение прямой l , найдем координаты точки M0 : x0 = 2(−2) +1 = −3, y0 = 2 −3 = −1, z0 = −4 + 4 = 0,

т. е. M0 (−3; −1; 0) .

5.2. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. При каком значении a прямая y = ax +b а) параллельна; б) перпендикулярна прямой y = 5 −3x ?

2. Прямая y = 3x − 2 пересекает ось Ox под углом а) 45°;

б) 30°; в) 60°?

193

3.В какой точке и под каким углом пересекаются прямые

x= 4 , y = −3 ?

4.

Какой

из

координатных осей

параллельна

плоскость

2x −3z + 4 = 0 ?

5.

Какой из координатных плоскостей параллельна плоскость

3x + 4 = 0 ?

6.

Какой

из

координатных

осей

перпендикулярна

прямая

x −3

=

y

=

z −1

?

2

−5

0

7.

Какой из указанных векторов а) {−3; 1; 4}; б) {2; 3; −1} яв-

ляется направляющим для прямой x = 2 −3t,

y = 3 +t,

z = 4t −1?

8.

Проходит

ли прямая

x −3

=

y + 2

=

z +1

через

точку

1

−6

5

M1(5; 8; −13) ?

9.Пересекается ли прямая 4x = y +2 2 = −z3 с осью Oy ?

10.Уравнение ax2 + 4 y2 = 9 является уравнением окружности при а) a = 4 ; б) a = 3 ; в) a = −4 ?

11.Уравнение 9x2 +by2 =8 является уравнением эллипса при а) b = 0 ; б) b = 9 ; в) b = 5?

12.Уравнение 8x2 −3y2 =16 является уравнением а) окружности; б) гиперболы; в) эллипса?

13. Уравнение ax2 + y2 −8x = 4 является уравнением парабо-

лы при а) a =1; б) a = 0 ; в) a = −4 ?

14.Уравнение 9x2 + 2x + 9 y2 = 8 является уравнением а) эллипса; б) окружности; в) гиперболы; г) параболы?

15.Уравнение 4x2 + by2 =8 является уравнением эллипса при

а) b = 4 ; б) b = 9 ; в) b = −9 ?

16. Можетлиэксцентриситетэллипсабытьравныма) 1,2; б) 0,6?

	17. Гипербола задана каноническим уравнением							x2	−	y2			=1.
							144			25
	Уравнения ее			асимптот имеют вид а)	y = ±	12 x ; б) y = ±						5			x ;
											13
		5	x ; г) y = ±13 x ?			5
	в) y = ±
	12			5
	194

18.Уравнение 8x2 −3y2 =16 является уравнением а) окружности; б) эллипса; в) гиперболы?

19.Уравнение ax2 + 4 y2 −8x + 9 y = 0 является уравнением параболы при а) a =1; б) a = 0; в) a = −1; г) a = 4 ?

5.3.ПРАКТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

1.Установить, проходит ли прямая 3x − 4 y −7 = 0 через точки

M (2; −1) , N(1; −1) , K(0; 2) .

2.Найти, при каком значении A прямая 3x + Ay −5 = 0 образует с осью Ox угол α =135°.

3.Найти уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 4)

иM2 (−8; 1) .

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M0 (5; −10)	а) перпендикулярно прямой y =	2 x −1; б) параллель-
		3

но прямой 4x +5 y + 7 = 0 ; в) параллельно Ox ; г) параллельно Oy .

Сделать рисунок.								x − 6 y =13,
5.	Найти	точку	пересечения двух				прямых
5x + 2 y =1 и острый угол между ними.						ABC	A(2;−1), B(0;−2),
6.	Даны	вершины	треугольника
C(12;3). Найти уравнения а) стороны BC ; б) медианы AM ; в) вы-
соты AD ; г) найти длину высоты AD .						прямыми: 6x −8y + 7 = 0 ,
7.	Найти	расстояние			между
−3x + 4 y +9 = 0 .
8.	Найти	уравнение		прямой,		проходящей		через точку
M (5;−3) а) параллельно;				б)	перпендикулярно прямой AB , если
A(−1; 4), B(7; 4).
9.	Найти	координаты			центра	и	радиус	окружности

а) x2 + y2 − 4x = 0 ; б) x2 + y2 + 3y = 4 ; в) x2 + y2 +10x − 2 y = 23 .

Сделать рисунок.

10. Найти точки пересечения окружности x2 + y2 −4x +2y −20 =0 и прямой x − y − 4 = 0 .

11. Задан эллипс каноническим уравнением x2 + y2 =1. Найти

25 16

его полуоси, фокусы, вершины, эксцентриситет. Сделать рисунок.

195

12. Составить канонические уравнения эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox , если заданы

а) оси 2a =14 ; 2b =8;

б) полуось a =13 и фокус F(12; 0) ;

	в) полуось b = 2 и точка на эллипсе M (2; 3) ;
	г) ось 2a = 20 и эксцентриситет ε = 0,8 ;
	д) ось 2b =16 и эксцентриситет ε = 0,6 .	x2		y2
	13. Задана гипербола каноническим уравнением		−		=1.
		36		64

Найти ее полуоси, фокусы, вершины, асимптоты, эксцентриситет. Сделать рисунок.

14. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox , если заданы

а) полуось a = 4 и фокус F(5; 0) ;

б) ось 2b =10 и фокус F(13; 0) ;
в) ось 2b = 24 и асимптоты y = ±12 x ;
5		1 x ;
г) расстояние между фокусами 2c =10 и асимптоты	y = ±
д) асимптоты y = ± 3x и точка на гиперболе M (2;	3) .	2

15.Задана параболауравнениема) y2 =8x; б) x2 =2y; в) y2 = −4x; г) x2 = −3y . Найти ее параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы, сделать рисунок.

16.Найти ось симметрии и координаты вершины параболы

x2 + 4x −5 y + 3 = 0 . Сделать рисунок.

17.Найти точки пересечения параболы и прямой (сделать ри-

сунок):	а) x2 = 3 − y;	x − y +1 = 0;	б) y2 = 4x −3; 2x −3y −5 = 0.
18.	Найти точки	пересечения	плоскости 2x −3y + 4z −12 = 0
с осями координат. Сделать рисунок.
19.	Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

JJG

A(−1; 3; 6) перпендикулярно вектору AB , если B(1; 7; 5) .

20.Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(2; −1; 1) , M 2 (5; 5; 4) , M3 (3; 2; −1) .

21.Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2; −3; 4) параллельно а) плоскости 5x − y + 2z −16 = 0; б) плос-

кости Oxy ; в) плоскости Oyz ; г) плоскости Oxz .

196

22.

Найти

расстояние

от

точки

M0 (3; − 4; 1)

до плоскости

3x −6 y + 2z −14 = 0 .

2x −λy +5z −1 = 0 и

23.

Найти,

при каком

λ

плоскости

λx +3λy + z +9 = 0 будут перпендикулярны.

24.

Найти

уравнения

прямой,

проходящей

через

точки

M1(2; −3; 1) и M2 (0; 4; 5) .

прямой,

проходящей

через

точку

25.

Найти

уравнения

M0 (−4; 0; 5) а) параллельно прямой

x +1

=

y

− 4

=

z +9

; б) перпен-

0

2

−11

дикулярно плоскости 3x − 6 y + 7z −12 = 0 .

26.Найти, при каких α и β прямые, заданные уравнениями xα−1 = y−+23 = z−−37 и x =3t +1, y =βt, z = 6t −3, будут параллельны.

27.Найти точку пересечения прямой x 4+1 = y−−23 = 5z и плос-

+5y − z +1 =0.кости

28. Даны вершины треугольной призмы

C1(−1; 2; −3) , A2 (−2; 3; 4) .

Найти:

а) уравнение ребра A1B1 ;

б) уравнение ребра A2 B2 ;

в) уравнения плоскостей оснований A1B1C1

и A2 B2C2 ;

г) уравнение высоты A2O1 ;

д) длину высоты A2O1 ;

е) координаты точки O1 ;

ж) угол ϕ между ребрами A1 A2 и A1B1 .

A1(1; −2; 3), B1(1; 4; −5),

C2	B2
A2
C1
O1	B1
A1

Минимум для аудиторной работы

1; 2; 5; 6; 8; 9. в); 12. б), в), д); 13; 14. а), в), г); 15; 16; 17. б); 18; 19; 20; 21; 23; 24; 25; 27; 28. а), г), е), ж).

5.4. ОТВЕТЫ

1. Проходит через точку N. 2. А = 3. 3. 3x −11y +35 = 0 .

4. а) 3x + 2 y +5 = 0; б) 4x +5y +30 = 0; в) y = −10; г) x =5. 5. (1; –2),

arctg 327 . 6. а) 5x −12y −24 =0; б) 3x −8y −14 =0; в) 12x +5y −19 =0;

197

г) AD =

2

. 7. 2,5. 8. а) y = −3; б) x = 5. 9. а) (2; 0);

R = 2; б)

0; −

3

;

13

2

R = 5

;

в) (–5; 1);

R = 7 .

10.

(−1; −5),

(6;

2).

11. a = 5,

b = 4,

2

F1 (−3; 0),

F2 (3; 0) ,

A1(−5; 0), A2 (5; 0) ,

B1 (0; − 4),

B2 (0; 4),

ε = 0,6 .

12. а)

x2

y2

x2

+

y2

=1;

x2

y2

x2

+

y2

=1;

+

=1; б)

в)

+

=1

;

г)

49

16

169

25

16

4

100

36

д)

x2

+

y2

=1.

13. a = 6,

b =8,

F (−10; 0),

F (10; 0) ,

A (−6; 0),

100

64

1

2

1

4

5

x2

y2

x2

y2

A (6; 0) ;

y = ±

x ;

ε =

.

14. а)

−

=1;

б)

−

=1;

2

3

3

16

9

144

25

x2

y2

в)

−

=1; г)

x2

−

y2

=1;

д)

x2

−

y2

=1.

15. а)

p = 4,

F(2; 0),

25

144

20

5

3

9

x = −2;

б)

p =1, F

0;

1

,

y = −

1 ; в) p = 2,

F(−1; 0),

x =1;

г) p = 3 ,

3

3

2

2

2

F

0;

−

,

y =

.

16. x

= −2; (−2; −0,2).

17. а) (–2; –1),

(1; 2);

4

4

б) (1; –1), (13; 7). 18. (6; 0; 0); (0; –4; 0); (0; 0; 3). 19. 2x + 4 y − z − 4 = 0.

20.

7x −3y − z −16 = 0 . 21. а) 5x − y + 2z − 21 = 0 ; б) z = 4 ; в) x = 2;

г) y = −3 .

22. d = 3 .

23. λ = −1,

λ =

5 .

24.

x − 2

=

y +3

=

z −1

.

−2

x + 4

y

z −5

x + 4

y

3

z

−5

7

4

25.

а)

=

=

;

б)

=

=

.

26. α = −

3 , β = 4.

2

−6

7

0

−11

x −1

3

x + 2

2

27.

(7;

–1; 10).

28. а)

=

y + 2

=

z

−3

;

б)

=

y −3

=

z − 4

;

0

6

−8

0

6

−8

в) x − 4 y −3z = 0,

x − 4 y −3z + 26 = 0;

г)

x + 2

=

y −3

=

z − 4

;

1

22

−4

−3

26 ; е)

′

д)

O1(−1; −1; 1) ; ж)

cos ϕ=

≈

0,3719,

35

ϕ ≈ 68°11 .

10

198

ЛИТЕРАТУРА

1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М.: Наука, 1985.

2.Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.:

Наука, 1984.

3.Бугров, Я. С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1983.

4.Гусак, А. А. Высшая математика: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск: Тетрасистемс, 2003. – 2 т.

5.Высшая математика: типовая учебная программа для высших учебных заведений по химико-технологическим, лесотехническим, полиграфическим специальностям / сост. В. М. Марченко [и др.]. – Минск: БГТУ, 2009.

6.Ильин, В. А. Математический анализ / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. – М.: Наука, 1979.

7.Мантуров, О. В. Курс высшей математики / О. В. Мантуров, Н. М. Матвеев. – М.: Высш. шк., 1986.

8. Методическое пособие по курсу «Высшая математика»: в 5 ч. / сост.: Е. А. Островский, Л. И. Жилевич, М. З. Дубкова. – Минск: БТИ им. С. М. Кирова, 1986–1990. – 5 ч.

9.Методическое пособие по разделу «Математическое программирование» курса «Прикладная математика» для студентов специальности 0902 / сост. В. М. Марченко, В. И. Янович. – Минск: БТИ им. С. М. Кирова, 1987.

10.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2005. – 2 т.

11.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2003. – 2 ч.

12.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учеб. пособие / под ред. М. И. Сканави. – М.: Высш. школа, 1978.

13.Трехуровневые задания по дисциплине «Высшая математика»: в 4 ч. / сост.: Ж. Н. Горбатович [и др.]. – Минск: БТИ им.

С. М. Кирова, 1988–1991. – 4 ч.

14.Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. для немат. специальностей вузов / В. С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2003.

199

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

А

И

Асимптота 94

–вертикальная 94

–наклонная 94

–горизонтальная 95

Б

Базис 167

В

Вектор 166 Векторное произведение 173

Вершина гиперболы 186

–параболы 186

–эллипса 185

Взаимное расположение плоскостей 189

–– прямой и плоскости 192

–– прямых 181, 191

Выпуклость функции 92

Г

Гипербола 184 График функции 11

Д

Действия над матрицами 152 Директриса параболы 184 Дифференциал 72 Дифференциалы высших порядков 73 Дифференцирование 64

–логарифмическое 69

З

Замена переменной в неопределенном интеграле 112

Интегрирование непосредственное 110

–по частям 115

–простейших иррациональностей 128

–рациональных функций 117

К

Каноническое уравнение гиперболы 186

–– параболы 186

–– эллипса 185 Квантор общности 7

–существования 7 Координаты вектора 168

Л

Логическая символика 7

М

Матрица 151

–диагональная 152

–единичная 152

–квадратная 151

–невырожденная 155

–обратная 155

–транспонированная 152 Многочлен 22 Множество 5

–определения отображения 10

–значений отображения 10

Н

Непрерывностьфункциивточке51

– – на отрезке 54

200