Марченко_Высшая математика

Замечание. В случае бесконечной производной α = π2 , урав-

нение касательной имеет вид х = x0 , касательная к графику функции параллельна оси Oy.

Уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке x0

Нормалью к графику функции в точке x0 называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f ′(x0 )≠ 0 , то уравнение нормали имеет вид:

y = f (x0 )− f ′(1x0 )(x − x0 ).

y

f (x0)

x0

x

Замечание. Если f ′(x )= 0 ,			то касательная параллельна оси Ох
		0	х = x ; если f ′(x )= ±∞, то урав-
и уравнение нормали имеет вид
			0	0
нение нормали имеет вид y = f (x0 ) .
Физический смысл производной
Если S = S (t )	–	закон прямолинейного		движения точки,	то
S′(t0 )=V (t0 )	–	скорость движения в		момент времени	t0.
S′′(t0 )=V ′(t0 ) – ускорение– скоростьизмененияскоростивточкеt0.

Замечание. В общем случае производную функции можно интерпретировать как «скорость» изменения функции.

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к графику

функции y = 3 x −3 + 2 в точке с абсциссой x0		= 4.
			1		−2				1
Решение. Найдемпроизводнуюфункции y′		=		(x−3)3		=						.
	x	3					33		x−3 2
Вычислим производную в точке x0 = 4:	y′x (4)=					1				=	1 .
		33 (				4 −3)2					3
Вычислим значение функции в точке x = 4: y(4)= 3 4 −3 +2 =3.
0
Тогда уравнение касательной y = 3 +	1	(x − 4) y					=	1 x +			5 ,
	3							3			3

уравнение нормали y =3 −3(x − 4) y =15 −3x.

71

Пример 2. В какой точке касательная к графику функции
y = ln	(	)	= 0 ?
		x2 +1 параллельна прямой y − x +5

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой:

y − x + 5 = 0 y = x − 5 kпр =1.

Так как касательная в искомой точке x0 параллельна данной прямой, то kкас (x0 )= kпр =1.

Угловойкоэффициенткасательнойвискомойточкеравен y′(x ):

(

+1 ′

0

2

′

x2

2x0

у′ = (ln (x

+1)) =

)

=

2x

, у′(x0 )=

,

x2 +1

x2 +1

x2

+1

2x0

2x0

0

=1

−1 = 0 −x2 + 2x −1 = 0

(x

−1)2

= 0 x =1.

x2 +

1

x 2 +1

0

0

0

0

0

0

Найдем значение функции в точке x0 =1: y(1)= ln (12 +1)= ln 2.

1; ln 2

).

Таким образом, точка имеет координаты (

Дифференциал функции

Определение дифференциала

Если функция

y = f (x) дифференцируема в точке x0, то ее

приращение

y = f (x0 +

x)− f (x0 ) в этой точке представимо в

виде

y = f ′(x0 )

x + ο(

x) при

x →0 .

Дифференциалом функции

y = f (x) в точке

x0 называется

главная линейная относительно

x часть приращения функции в

этой точке, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначаемая dy (или df (x)): dy = f ′(x0 ) x .

Так как дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной: dх = x′ x = x, то

dy = f ′(x0 )dx.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции y = f (x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке x0 , когда аргумент

получает приращение x.

y
y	dy

x0 x0+ x x

72

Механический смысл дифференциала
Если S = S (t ) – закон прямолинейного движения точки, где S –
длина пути; t – время, t [t0 ; t0 + t],		то dS(t) = S′(t)dt =V (t)dt,
гдеV (t) – мгновенная скорость в момент времени t. Следовательно,
замена приращения	s(t0 )= s(t0 +	t) − s(t0 ) дифференциалом
dS(t0 ) = S′(t0 )(t −t0 )	означает замену неравномерного движения
равномерным (на бесконечно малом промежутке			[t0 ; t0 + t])

с постоянной скоростью V (t0 ) = S′(t0 ).

Формула для приближенных вычислений

При малых значениях приращения аргумента y ≈ dy . Поэтому для приближенных вычислений пользуются формулой

f (x) = f (x + x)≈ f (x		)+ f ′(x	) x.
0	0	0

Это означает линеаризацию функции y = f (x), т. е. ее замену линейной по x функцией y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ), что геометрически соответствует замене участка кривой y = f (x), примыкающего к точке (x0 ; f (x0 )), отрезком касательной к кривой в этой точке.

Дифференциал сложной функции

dy = y′xdx = yu′ u′xdx = yu′du.

Таким образом, формула для дифференциала одна и та же, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или нет. Это свойство называется инвариантностью формы

1-го дифференциала.

Дифференциалы высших порядков

Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называется дифференциалом второго порядка. Дифференциалом n-го по-

рядка называется дифференциал от дифференциала			(n-1)-го по-
рядка, n = 2, 3, ... .
Если x является независимой переменной, то
	d 2 y = f ′′(x	)dx2 , d n y = f (n) (x )dxn .
	0	0
Пример 1. Найти дифференциал функции y = 5tg x			x .

73

Решение. Воспользуемся формулой dy = y′xdx:

dy = (5

tg x

′

(5

tg x

′

x + 5

tg x

(

′

5

tg x

′

x ) dx

=

)

x )

dx =

ln 5(tg x)

x +

tg x

1

tg x

x

5tg x

tg x 2x ln 5 + cos2 x

+5

dx =

5

ln 5

+

dx = 5

dx.

2

cos

2

x

2

x

2 x cos

2

x

x

Пример 2. Найти

приращение

и

дифференциал

функции

y = 2x − x2

в точке

x =3 при

x = 0,1. Найти абсолютную и отно-

сительную погрешности при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.

y(3)=6 −9 =−3, y(3,1)=6,2 −9,61=−3,41 y =−3,41−(−3)=−0,41;

dy =(2x − x2 )′dx =(2 − 2x)dx = 2(1− x)dx, в точке x =3 при x = 0,1

имеем dy = 2(1 −3)0,1 = −0,4.

Абсолютная погрешность

εабс = dy − y = −0,4 + 0,41 = 0,01.

Относительная погрешность

εотн

=

dy −

y

=

−0, 4 + 0, 41

=

0,01 ≈ 0,024 = 2, 4%.

y

−0,41

0, 41

Пример 3. Вычислить приближенно cos 29°.

Решение. Перейдем к радианной мере угла:

29° π

(

30 −1 π

π

π

)

cos 29° = cos

= cos

= cos

−

.

180°

180

6

180

Рассмотрим функцию y = cos x. Согласно формуле,

cos(x + x)

≈ cos x

+(cos x)′

x , где

x

= π, x

= −

π

.

0

0

x0

0

6

180

Следовательно,

	π			π			π	′
cos		−				≈ cos		+(cos x)
	6		180				6
									π
									6

≈1,73 0,5 + 0,5 3,14 ≈ 0,87. 180

				π			3		π				π
		−				=		+sin						≈
			180				2		6			180

74

= f ′(c)(b − a).

	Теоремы о дифференцируемых функциях
	Теорема Ролля. Пусть функция					y = f (x)		непрерывна
на	отрезке	[a; b],		дифференцируема		на	интервале		(a; b)
и	f (a) = f (b).		Тогда существует хотя бы одна точка c (a; b)
такая, что f ′(c) = 0.
	Геометрический смысл теоремы Ролля
	На графике функции най-				y	C
дется хотя		бы	одна	точка,
								y = f (x)
в которой касательная к гра-					f (a) = f (b)
фику функции			параллельна					x
оси Ox.
					a	c		b
	Теорема Лагранжа. Пусть функция					y = f (x)		непрерывна
на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале								(a; b). Тогда
существует хотя бы одна точка c (a; b) такая,							что	f (b) − f (a) =

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

На графике функции найдется хотя бы одна точка С (с; f (с)), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

y	C	B

y = f (x)

A

x

a

c

b

Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (a; b) и g′(x) ≠ 0 на интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a; b) такая, что

f (b)− f (a)		f ′(c)
	=		.
g (b)− g (a)		g′(c)

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределен-

ностей вида	0		,	∞		и других, сводящихся к ним.
	0			∞

75

Пусть функции f (x) и g (x)

дифференцируемы в проколотой

окрестности точки a, lim f

(x) = 0 и lim g (x) = 0 или lim f

(x) = ∞

x→a

x→a

x→a

и lim g (x) = ∞. Пусть g′(x) ≠ 0 в проколотой окрестности точки a.

x→a

f ′(x)

Если существует (конечный или бесконечный) предел lim

, то

x→a g′(x)

lim

f

(x)

= lim

f

′(x)

.

(x)

g′(x)

x→a g

x→a

Замечание. Правило справедливо и в случае, когда x →∞.

Пример 1. Найти lim

e2 x

.

x→+∞ x2

−3x + 7

Решение. Неопределенность ∞ . Используем правило Лопиталя:

∞

e

2 x

∞

(

e2 x

′

2e

2 x

∞

lim

=

= lim

)

= lim

=

=

2

′

x→+∞

x

−3x + 7

x→+∞

x→+∞

2x −3

∞

(x 2 −3x + 7)

∞

(

2e2 x

′

4e

2 x

= lim

)

= lim

= +∞.

x→+∞ (2x −3)′

x→+∞

2

Неопределенности

вида [∞ 0],

[∞ −∞],

∞

,

∞

0

,

0

0

1

приводятся с помощью тождественных преобразований к неопре-

деленностям

0

,

∞

.

0

∞

1

Пример 2. Найти lim ex ctg x −

.

x→0

sin x

Решение. В этом пределе неопределенность [∞ − ∞]. Восполь-

зуемся тождеством ctg x =

cos x

и приведем выражение к общему

знаменателю:

sin x

ex cos x

ex cos x −1

x

1

1

lim e

ctg x −

=[∞ − ∞]= lim

sin x

−

= lim

sin x

.

x→0

sin x

x→0

sin x

x→0

Применяем правило Лопиталя:

lim ex cos x −1 =

0

= lim

(ex cos x −1)′

= lim ex cos x −ex sin x =

1−0

=1.

x→0

sin x

x→0

′

x→0

cos x

1

0

(sin x)

76

Пример 3. Найти lim (x3 ln2 x).

x→+0

Решение.

В данном пределе неопределенность вида [0 ∞].

Преобразуем ее в неопределенность ∞

:

∞

2ln x

ln2 x

∞

(ln2 x)′

2ln x

lim x

3

2

x =[0

∞]

x

ln

= lim

=

= lim

= lim

= lim

.

1

−3

−3

x→+0

x→+0

∞

x→+0 1 ′

x→+0

x→+0

x3

x4

x3

∞

x3

Опять получили неопределенность

. Применяем правило Лопи-

∞

1

2ln x

= −2 lim (ln x)′

−2 lim

2 lim x3 = 0.

таля еще раз: lim

=

x

=

−3

x→+0

3

x→+0

1

′

3

x→+0 −3

9 x→+0

x3

x4

3

x

Неопределенности вида

∞

0

0

встречаются в сте-

1

,

∞

,

0

пенно-показательных функциях.

Схема вычисления предела lim f (x)v(x) приведена в табл. 2.5.

x→a

(x)v(x)

Таблица 2.5

Схема вычисления предела lim f

x→a

Этапы

Пример для предела

lim (sin x)x

= 00

x→0

v(x)

x→0

(

)

x→0 (

(

))

1. Логарифмируем

выражение

lim ln

sin x

x = lim

x ln

sin x

=

f (x)

и находим предел:

ln (sin x)

∞

lim ln f (x)

v(x)

= lim v (x)ln f (x) =

= lim

=

1

∞

x→a

x→a

x→0

= [∞ 0]

= lim

ln f (x)

x

x→a

1

v (x)

v (x)

или

lim ln f (x)v(x) = lim

.

x→a

x→a

1

ln f (x)

Получаем при этом неопределен-

ность вида ∞

или

0

∞

0

77

Окончание табл. 2.5

Этапы

Пример для предела

lim (sin x)x =

00

x→0

2. Применяем правило Лопиталя.

ln(sin x)

(ln(sin x))′

cos x

Еслипределсуществуетиравен K,

lim

=lim

=lim sin x

=

то lim f (x)v(x) = eK

x→0

1

x→0

1

′

x→0

−1

x→a

x

x2

x

=lim −cos x x2

=−lim

x2

=

0

=−lim

(x2 )′

=

(tg x)

x→0

sin x

x→0

tg x

0

x→0

′

=−lim

2x

=−lim

2xcos2

x

)

=0.

1

x→0

x→0 (

cos2 x

Так как предел равен 0, то искомый предел

lim (sin x)x

= e0

=1

x→0

2.1.2.Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение производной функции в точке.

2.В чем заключается метод логарифмического дифференцирования? Когда он применяется?

3.Верно ли утверждение: если функция непрерывна в точке, то она имеет производную в этой точке?

4.Каков геометрический и механический смысл производной?

5.Каков геометрический смысл дифференциала?

6.В чем состоит инвариантность формы 1-го дифференциала?

7.Дифференциал функции в некоторой точке равен нулю при любом приращении аргумента. Что значит это геометрически?

8.Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

9.Каков геометрический смысл теоремы Ролля?

		10. Если, применяя правило Лопиталя, вы доказали, что
	lim	f ′(x)	не существует, то что можно сказать о lim	f (x)	?
				g (x)
		g′(x)
	x→a		x→a

78

					2.1.3. Практический минимум
		Определение производной
		Найти производную по определению:
	1.	y = 7 + 4x .				2.	y = cos3x .
	3.	y =		1	.	4.	y =	2	.
			x2	+3				x −6
	5.	y =8x + 4 −3x2 .				6.	y = sin 2x .

Техника дифференцирования

Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей и правилами дифференцирования:

7. y = sin xcos x.

9. y = arcsin xarccos x. 11. y = arcctgarctg xx − tg π3 .

	y =	4x	x	+	x2
13.			x				.
		4			3	x

15. y = (2 − x2 )cos x + 2xsin x. 17. y = 5 x (4x3 − 2x2 +9).

	19.	y =			2	+5x2			(3	x +8x).
					x
	21.	y =			cos x				.
				sin x + cos x
	23. y =			ctg x			.
			2sin x

	8.	y =	xln x	+ln 5.
			ex

10. y = x1010x.

	12.	y = 2x log2 x + log2 4.
	14.	y =	x4 + 6x				.
			x5 −3x2 +			8
	16.	y = cos x ln x.
	18.	y = x11 tg x −				x3 −ln8.
	20.	y =	x −3	.
			x2 + 4
	22.	y =	5x		.
			6x5 +1
	24.	y = 3 x4 arctg x − x3 ln x .

Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей, формулами производной сложной функции и правилами дифференцирования:

25.	y =		sin x.			26.	y = arccos 1 −3x.
27.	y =	x −1			4	28.	y = 1 + ln x.
					.
		x +1

79

x2

29.y = 5 3 x.

31.	y = x 10arcsin 2 x.
33.	y =	1	.
		3 tg2 7x
35.	y = arctg2 ln (3x + 4).
37.	y =(arcsin 5x )3 .

30. y = ln4 (sin x).

32. y = sin2 x sin x2.

34. y = sin2 x . 2cos x

36. y = arctg(x2 ) e3x .

=sin 7 x

38.y ln (2x).

	39.	y =	x3	−8	.
			x	+1
	41.	y = ln (cos 2x ).
	43.	y = arcctg(3x3 ).

45. y = 1x esin x−x4 + x +ln x.

47. y =sin2 2x ctg 3x + tg π8 .

40. y = cos2 ln5(tg x).

42. y = tg xx . e

3x

44.y = 21+x.

46. y = 1 −35x2 .

48.y = 3 1+ tg x + 1 .

x

Найти производные указанных порядков:

49.

y = tg x,

y′′′.

50.

y =

2

,

y(4).

x

51.

y = e

x2

,

y′′′.

52.

y = x

3

ln x,

y

′′′

.

53.

y = sin2

x

, y(4).

54.

y =

3

,

y(4).

2

2 −3x

55.

y = arcsin x,

′′′

56.

y = ln (x

2

−

5),

′′′

y .

y .

Производные функций, заданных параметрически

Найти y′x :

x(t )= t ln t,

58.

x(t )= t,

57.

ln t

t.

.

y(t )= 3

y(t )=

t

80