Марченко_Высшая математика

10.

∫

2sin2 x

dx .

∫

dx

12. ∫sin

3

3

4

x

11.

.

2xcos 2xdx.

cos

2sin

2

x + cos

2

x

∫

dx

∫

sin x

cos2 x

13.

.

14.

dx.

15. ∫sin6 x dx .

4 −3sin2 x

sin2 x + 6cos2 x

Найдите интегралы:

x

cos 7x dx .

16.

∫cos3xsin 5x dx .

17.

∫cos

2

2

18.

∫sin 3x sin8x dx .

19.

∫sin5 xdx .

20.

∫cos4 2x dx .

21.

∫sin2 xcos4 x dx .

22. ∫tg4

x

dx .

23.

∫

tg x

dx .

3

1 +sin2 x

cos3 x

dx

24.

∫sin6 x dx .

25.

∫

.

cos2 xsin4 x

dx

1 −sin x + cos x

26.

∫

.

27.

∫1 +sin x −cos x dx .

sin2 x +3sin xcos x −cos2 x

∫

1− tg x

∫

dx

28.

1+ tg x dx .

29.

.

sin4 x + cos4 x

Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей

Найдите интегралы:

1. ∫

dx

.

2. ∫

dx

.

x

2

+ 6x +

5

x

2

− 4x +

9

4. ∫

3x +1

dx .

5. ∫

5x +3

dx .

x

2

2

2

+ 2x +

x

− x +1

7. ∫ x (2 + x )6dx .

8. ∫

dx

.

3

x

2

− 2 x

10. ∫

dx

.

11. ∫

xdx

.

2 4

x +

x

(

x −3)6

13. ∫

2 + 6

x

dx .

14. ∫

x +1

dx .

x +

3

3x −1 +

x

1

3.	∫						dx			.
							2x − x	2
6.	∫						x +3					dx .
							x +3 +		5
9. ∫							dx					.
			3			1 −3x −			2
12.		∫					xdx						.
						3	(5x − 2)				2
15.		∫					dx				.
					(		2 + x )3

141

∫

1 − x2

17. ∫

1 + x2

18. ∫

dx

16.

dx .

dx .

.

x2

x4

x 5 + x2

19.

∫

dx

.

20. ∫

5 − x2 dx .

21. ∫

1 − x

dx .

x

2

5 + x

2

1 + x x

С помощью каких подстановок можно вычислить следующие интегралы:

∫

a2 − x2

∫

dx

24. ∫

a2 + x2

22.

dx .

23.

.

dx .

x2

(x2 − a2 )3

x4

25.

∫

dx

.

26.

∫

dx

?

x

2

2

− x

2

x

2

2

a

a + x

Минимум для аудиторной работы

Непосредственное интегрирование: 1; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 24; 26; 30; 31; 32; 33; 35; 40; 43; 45; 48; 49.

Замена переменной в неопределенном интеграле: 1; 3; 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13; 14; 16; 19; 20; 21; 25; 28; 29; 31; 35; 36; 38; 39; 42; 43; 45; 49; 50; 53; 55; 56.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле: 1; 4; 7; 9; 11.

Интегрирование рациональных функций: 1; 2; 6; 10; 12; 13; 16; 18; 20; 21; 23; 24; 26; 27; 29; 31.

Метод рационализации: интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических: 1; 3; 4; 7; 8; 11; 12; 15; 16; 20; 23; 24; 25.

Метод рационализации: интегрирование простейших ирра-

циональностей: 3; 4; 8; 9; 12; 13; 16; 18.

3.4. ОТВЕТЫ

Непосредственное интегрирование

1.3sin x − 23 x3 +5x + ln x − 4arctgx +C .

2.2x3 − 4x2 − 4x +3ln x + 25x2 +C .

142

3.

−

2

+ ex −ln

x

+C .

4.

2

x − 2ln

x

−

2

+C .

3x

x

x

5.

6.

x

x2 −9

−7ctgx + 4x +C .

+C .

arcsin

+3ln

x +

7.

2x ex

8.

3

+ C .

2arcsin x − x +C .

ln 2 +

1

x3

+ 3 x2 +9x +C .

9.

x −arctgx +C .

10.

3

2

11. −ctgx − x + C .

12.

u4

+ C .

4

13.	tg4 x						+C .
	4
15.
	t −cost + C .
17.															3x
	3x − 2															+ C .
										2x (ln 3 −ln 2)
19.	ln		x			+ 2arctgx +C .
21.	−2ctg2x +C .
23.	−3ln							cos					t		+ C .
												3
25.	sin x −								4 cos x cos x +								1 x −	1
									3								2	4
26.	1 arctg 3x +1 +C .
	9											3
28.	1 3			x2					−			2 x3 +5x +C .
	2											3
30.	6tgx + 2sin x +C .
32.	1 arctg								x			+C .
	9								3

14.	2cost			cost +C .
16.		3
	sin t −cost +C .
18.	arcsin			2x	+ ln		x + x2	+ 2		+C.
				2
20.	1 x +	1 sin x +C .
22.	2	2
	6t −sin 6t +C .

24.x2 + 2x + C .

sin 2x + C .

27.	2 x4		x +		x4			+C .
	9		3	4				1
29.	−					−			+C .
								4x4
	11x3 3			x2

31.3ex − 2 ln x + C .

33.161 ln 44 +− xx + C .

	34.			x				+C.	35. −	1	+ arctgx + C .
		2arcsin			−8ln		x + 9 + x2
										x
			2			2x
	36.	1 x −	3 sin				+ C .		37. −ctgx − tgx + C .
		2	4			3

143

38.	33 x + 6 6 x5									+C .
						5
40.	ln		x +1 +						x2 + 2x + 5								+ C.
		5						x +	3	−	7
44.						ln			2		2					+C .
	2 7							x +	3	+	7
									2		2
46.	−ln				2x2 −3x + 2								+ C .

48.13 arcsin 3x −2 2 +C .

49.3 x2 + 2x + 2 − 4ln x +1 +

50.arcsin x 2+1 +C .

x

6 + x2

+C .

39.

arcsin

−ln

x +

6

43.

1

arctg

x +1

+ C .

2

2

45.

1 ln

x2

+7x +12

−

11ln

x +3

+C.

x + 4

2

2

47.ln x +1 + x2 + 2x + 2 + C .

x2 + 2x + 2 + C .

Замена переменной в неопределенном интеграле

1.	(4x + 3)11								+C .						2.										3							+C .
			44													8			(3 − 2x)4
		1					x			3									7
										2																						12
3.	−			3 −										+ C .	4.	−									7		(3 −1,5x)									+C .
		3					2												18
5. −13 (1 − x2 )										3				+ C .	6.	4			(		3 + 4x2							)		3					+C .
										2
																										6
7.	−7 6 (8 −3x2 )+C .														8.		sin4 x +C .
																			4
9.	−55 cos3 x +C .														10.				3ln x 3 ln x +C .
				3																						4
11.		arctg5 x							+C .						12.			−								1						+ C .
																						arcsin x
				5
13. 2			1−ctg x +C .												14.			ln						ln x −5								+C .
15.		1 ln				arctg x								+C .	16.				1 ln								2ex	+				1			+C .
		2																	2

144

					x
	17.	−2e−				+5 + C .
					2
	19.	2	3	x+1			+C .
			ln 3

21. −141 ctg 7x2 +C .

23.1 cos π − 2x dx +C . 2 12

18. −15 ln arccos x +C .

20. −13 sin (2 −3x)+C .

22. 15 tg (3 +5x)+C .

24. −cos ex +C .

						(3 − 2sin x)3
25.	−																				+C .
				1 ln									3
27.	−											3 −e3x						+C .
			3
29.		1 ln						sin 3x								+C .
	3
31.	−ecos x +C .
33.	−			1 e−x2										+C .
			2
35.	1													3x +				3x2 −5						+C .
						ln
			3
														3x −1
37.			1						ln											+C .
	2					3								3x +1
39.
	ln				ln x + ln2 x −9																	+ C .

26.		1 ln								2x −3												+C .
	2
28.								cos x								+C .
	−ln
30.		1 arctg											ln x									+C .
	5			5
32.	e−cos x +C .
34.		1									arctg											5x				+C .
	2			5																	2
36.		1		arcsin																		3x				+C .
	3																				10
38.	−		1									arctg cos x															+C .
				7																	7
40.		5 ln								x2 + 2												−	3				arctg	x	+C .
	2																									2		2

41.	2	3x2 −5x + 4 + C .
43.	−ln			4 + 3x − x2					+ C .
45.		2 arctg				x	+C .
						2
		(
47.	2			1 −3x )3
	9			3			+17 1 −

42.

1 x + 1 ln

2x −1

+C .

44.

2

4

5x − 2ln

x +1

+C .

46.

2

x +3 − 4ln

2 + x +3

+C .

+ C .

3x

145

48.	3 (3 x −1)2 + 3ln														3	x +1					+ C .
	(					2
49.						x +1 + 2)2 + 4ln
																x +1 −1						+ C .
50.		6 6 x7 −					6 6				x5 + 2					x −6 6 x + 6arctg 6 x + C .
	7						5
51.	2(4 x −1)2 + 4ln													4		x +1				+ C .		52. ln											ex +1 −1									+C .
																																	ex +1 +1
53.						1				+	5						+C .
		2(2x −5)									4(5 − 2x)2
54.	1					+ 2x − 3 3 1 + 2x +36 1+ 2x −3ln																				1+ 6 1+ 2x														+C .
						x	2																								1− x				2
55.										+ C .												56. −															+C .
	4																																x
						x2 + 4
57.						ex −1		+ C .														58. 3 3										(a + x)7 − 3 a 3														(a + x)4	+C.
	ln
						ex																	7																4
59.	32					(ex +1)3					− 2 ex +1 + C .
			Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
1. −5x −3 cos 2x + 5 sin 2x +C .																											2															x	2
																						2.		x							+ x ln x −														− x +C .
						2					4												2																4
3. −			x	e−3x −			1 e−3x +C .															4.	x 3x										−	3x						+C .
																							ln 3											ln2			3
	3						9

5.xarctg 2x − 14 ln (1 + 4x2 )+C .

6.x2 sin 3x − 2 − x cos3x + 1 sin 3x +C . 3 3 3 9

7.		x2	arcctg x +	1 x +	1 arcctg x + C .	8. xarcsin	x	+	9 − x2 +C .
		2
				2	2	3
9. xln2 x − 2xln x + 2x +C .						10. 2 x ln x − 4			x +C .
11.		(5x + 5 − x2 )cos(x +1)+ (2x −5)sin (x +1)+ C .
12.		xln (1 + x2 )− 2x + 2arctg x + C .

146

Интегрирование рациональных функций

1.Дробь правильная.

2.Дробь неправильная: x2+x5 = 2 − x10+ 5 .

3. Дробь неправильная:

7x2 +1

= 7

+

8

.

x2 −1

x2

−

1

4. Дробь правильная.

5. Дробь неправильная:

x2

= x −3 +

9

.

x

+3

x

+

3

6. Дробь неправильная:

x5 − 4x3

= x

3

+ x

2

− 4x −5 +

5 − x

.

x2 − x +1

x2 − x +

1

1

1 ln

7. −

+C .

8.

3x +5

+C .

4x −

2

3

9. 5arctg (2x + 3)+ C .

x − 4

10. −ln

2x2 −3x − 2

+ C .

11.

1 ln

x2 −7x +12

+

3 ln

+ C .

x −3

2

x −

1

2

35 ln

3 ln

x2 +

1 x −

1

12.

2

−

+ C .

x +1

2

12

4

2

A

B

+ Cx + D .

13.

A

+

B

+

C

+

D

.

14.

+

(x

−1)2

(x −1)3

x

x −1

x −1

x +1

x2 + 2

15.

A

+

B

+

Cx + D

.

16.

A

+

B

+ Cx + D .

x −1

(x −1)2

x2 + x +1

x −3

x +3

x2 +9

17.

A

+

B

+

Cx + D

.

18.

A

+

B

+ Cx + D +

Ex + F

.

x −1

x

−

4

x2 −5x + 7

x x2

x2 + 4

(x2 + 4)2

19.

A

+

B

+

Cx + D

.

x +1

x

+

3

x2 − x +

3

20.

A

+

B

+

C

+

Dx + E

+

Fx +G

.

x − 2

x + 2

(x + 2)2

x2 + 4

x2 − 2x + 4

21.

A

+

B

+

Cx + D

+

Ex + F

.

x2

4x2 + 4x + 7

(4x2 + 4x + 7)2

x

22.

x2

+ x +3ln

x + 2

+ C .

23.

2

ln

x + 2

−

1

ln

2x +

1

+C .

2

3

6

147

24.

x3

+

x2

+ 4x + 2ln

x

+ 7 ln

x − 2

+3ln

x + 2

+C .

3

2

25.

1 ln

x

−

5 ln

x −

2

+10 ln

x −

3

+C .

6

2

3

26.

9

−3ln

x −1

−

+ 4ln

x

+ C .

x −1

27.

x + 2

28.

1 ln

1 ln

x2

− 2ln

x

+3ln

x −1

+C .

x

−

+ 4

+C .

x

4

8

29.− x 1+3 + 14 ln xx +−53 +C .

30.−3ln x + 32 ln x2 − 2x +5 + 2arctg x 2−1 +C .

31.		x2	+				1	ln				x2 −1					+C .							32.		1	ln							1 + x				−			1	arctg x +C .
		2					4					x2 +1														4								1 − x							2
				1									1								2			3											(	2x +					)
33.		x + 3 ln								x −1					− 6 ln (x							+ x +1)−			arctg								3								1	+ C .
																								3												3
34.	4ln						x −1					−	1						−		4		+C .	35.		ln			x			− 2 ln								1 + x7				+C .
						x − 2							x −1							x
																					− 2														7

Метод рационализации: интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

		2											tg				x																		2								4 tg	x		−3
1.						arctg											2			+C .											2.								arctg					2				+C .
		3														3																			7									7
3.										x					+C .
	ln		1 + tg
								2
								1 + tg2														x									3tg	x		−1
4.	ln																	2											+	2 arctg	2							+C .
							2		x															x							8
				3tg										−			2 tg								+3
									2														2
																			x
		1										3tg										+1																		x
						arctg																									6. ln					tg						+C .
5.																		2									+C .
	5																	5
																																						2

148

7.					3					+C .
	1 +3cos x
9.	sin3				x		−	sin5				x	+C .
		3								5
11.		1				arctg (						2 tg x)+ C .
				2
13.			1 arcctg (2ctg x)+C .
		2
15.		−		ctg3 x					−		ctg5 x			+C .
					3							25

17. 16 sin 3x + 18 sin 4x +C .

	8. sin x −							1			ln					3 +sin x				+C .
									3							3 −sin x
	10.		2 tg3				x +C .
		3
	12.		sin4 2x						−		sin6 2x							+ C .
				8									12
	14.	−		1			arctg(								5 cos x)+C .
				5
	16.	−		1 cos 2x −											1		cos8x +C .
													16
				4
	18.		1		sin 5x −								1			sin11x +C .
		10										22

	19. −cos x +	2 cos3	x − cos5 x	+C .	20.	3 x +	1 sin 4x +	1	sin8x +C .
								64
		3	5			8	8

21. 161 x − 641 sin 4x −1921 sin 6x + 481 sin3 2x +C .

22.		tg3					x		−3tg				x		+ x +C .
							3						3
24.	−						1					+	1					+C .
				5sin5							x			3sin3 x
26.			1					ln			2 tg x +3 −							13		+C .
			13								2 tg x +3 +							13
28.	ln					cos x +sin x											+C .

23. 14 ln (1 + 2 tg2 x)+C .

	25.		tg x −				2			−					1		+C .
							tg x							3tg3		x
							tg	x
	27.	2ln					2							− x +C .
					1 + tg					x
										2
	29.		1	arctg tg 2x											+ C .
		2
													2

Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей

1. ln x + 3 + x2 + 6x + 5 + C .

2. ln x − 2 + x2 − 4x + 9 +C .

3. arcsin (x −1)+C .

4. 3 x2 + 2x + 2 − 2ln x +1 + x2 + 2x + 2 + C .

149

5.	5 x2 − x +1 + 11ln		x −		1	+ x2 − x +1				+ C .
	(	2			2
6.		x +3 −5)2 +50ln		x + 3			+5		+C .
7.	2	(2 + x )9 −(2 + x )8			+	8	(2 + x )7 + C .
	9					7

8.33 x +12 6 x + 24ln 6 x − 2 + C .

9.−12 3 (1−3x)2 − 2 3 1−3x − 4ln 3 1−3x − 2 +C .

10.2(4 x − 2)2 +16 ln 4 x + 2 + C .

11. −	2	−		3	−		18	+ C .
	3( x −3)3		(	x −3)4		5(	x −3)5

12.1003 3 (5x − 2)4 + 256 3 5x − 2 + C .

13.32 3 x2 − 2 x +33 x + 6 6 x −6ln (6 x +1)+C .

14.		2				(3x −1)3					− 91 (3x −1)+ 109									3x −1 −109 ln (					3x −1 +1)+ C .
		27
15.	−					2			+		2				+C .
				2 + x						(2 +			x )2
16.	−ctg arcsin x −arcsin x +C = −																			1 − x2		−arcsin x +C .
																					x
						1											(		)
																		2		3
																	1 + x
17.	−										+ C = −										+ C .
				3sin3 arctg x													3x3
	1								arctg		x										19. −1				x		−1
18.						ln	tg				5			+C .														+C .
									2
	5																					5	5		+ x2

	20.	x	5 − x2 +	5 arcsin
		2
				2

22. x = asin t .

25. x = asin t .

x	+ C .	21. −ln 1+
5

23. x = sina t .

26. x = a tgt .

1	− x2	−arcsin x +C.
x
24. x = a tgt .

150