Марченко_Высшая математика

Решение. Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим. Получим систему, равносильную данной:

			x + 2x + 2x = 3,					x + 2x + 2x = 3,
(–2)
			1	2	3				1	2	3
		2x1 +3x2			+5x3	=10,				−x2 + x3 = 4,
(–3)							+
			3x	+ 7x	+ 4x	= 3.				x	− 2x = −6.
			1	2	3					2	3

Исключим x2 из третьего уравнения, для чего второе уравнение полученной системы прибавляем к третьему. Получим систему

x		+ 2x	2	+	2x = 3,		x	= 3 − 2x	2	− 2x	= 3,
	1				3		1			3
		− x2 +			x3 = 4,			x2 = x3 − 4 = −2,
					− x3 = −2,					x3	= 2.

Из третьего уравнения находим x3. Из второго уравнения находим x2, используя найденные значения x3, а затем из первого уравнения находим x1.

Решение системы имеет вид (3; − 2; 2).

Универсальность метода Гаусса заключается в том, что им можно решить систему с нулевым определителем (или установить ее несовместность), а также системы, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Пример 2. Решить систему:

8x + y +5z =13,4x − y +3z = 5,

2x + y + z = 4.

Решение. Вычислим определитель системы

8	1	5
= 4	−1	3	= 0.

2 1 1

По формулам Крамера решить систему нельзя. Применим метод Гаусса, предварительно поменяв местами 1-е и 3-е уравнения системы, что позволит исключать неизвестные, оперируя только целыми числами:

(–2)

(–4)

2x + y + z = 4,			2x + y + z = 4,		2x + y + z = 4,
	4x − y + 3z = 5,			3y + z = −3,		−3y + z = −3,
		–1
				−3y + z = −3.		0 = 0.
8x + y + 5z =13.

161

У нас осталось 2 уравнения с тремя неизвестными. Обозначим z = c (c ) и перенесем в правую часть системы. Получим:

		+ y = 4 − c		x =	1		(4 − c − y)=			1		−	1		=	3	−	2	c,
2x					2					2	4 − c −1		3	c		2		3
									1			1
	−3y		= −3 − c					y =		(3	+ c)=1 +		c.
									3			3
		Система имеет бесчисленное множество решений:
x =		3	− 2 c, y =1+	1 c,		z = c,		c .
		2	3	3

Замечание. Если бы в третьем уравнении системы вместо верного равенства 0 = 0 было получено неверное равенство, например, 0 = 2 , то в этом случае система была бы несовместной.

	4.1.2. Вопросы для самоконтроля
1. Матрица	A имеет размер 2×3. Размер матрицы AT равен:
а) 2×2; б) 3×3;	в) 3×2; г) 2×3?

2.Справедливо ли равенство det A = det AT ?

3.Матрица A имеет размер 2×3, матрица B – 2×2. Существуют ли произведения A B , B A ?

4.Можно ли решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, если: а) определитель системы равен (–5); б) определитель системы равен 0; в) система имеет три уравнения с четырьмя неизвестными?

5.Какая система линейных алгебраических уравнений всегда совместна?

6.Когда однородная система линейных алгебраических уравнений n-го порядка имеет только нулевое решение?

7.Матрица A имеет размер 3×2, E3 – единична матрица третьего порядка. Произведение E A а) равно A E ; б) не существует; в) равно E ; г) равно A ?

8.Диагональная матрица 3-го порядка имеет отличные от нуля элементы 2, 3, (–4). Ее определитель равен а) 6; б) –8; в) –12; г) –24; д) другому числу?

9.Определитель матрицы A третьего порядка равен 5. Определитель матрицы 2 A равен а) 5; б) 10; в) 25; г) 125?

10.Чему равен определитель единичной матрицы а) 2-го порядка; б) 3-го порядка?

11.Сформулируйте алгоритм получения обратной матрицы.

162

4.1.3.Практический минимум

1.Найти матрицу, транспонированную к матрице A :

		7	5	4				4
а)	A =	1	3	−1		; б)	A =	2	; в) A =[a b c].
			0	1
	−7							3

		1 0					1 −1					1		3
2. Даны матрицы A =		−1		, B =					C		=		5
			3				3 1	,						6 . Найти:
		5 0					7 0					−2		3
а) 2 A; б) 2 A + 3B − C ; в) −2CT .						2	5	−4
3. Найти 3A + 2E , если			A =				−3	1		,		E	–	единичная
					−1
						2	1
								−2

матрица третьего порядка.

4. Вычислить определители второго порядка:

а)

2

−5

; б)

a

1

; в)

cos x

sin x

; г)

3 a

a

; д)

ln x

ln y

.

3

−1

a2

−a

−cos x

sin x

1

3 a2

−2

5

5. Вычислить определители третьего порядка:

0 −a −b

1 0 4

3 2 4

−1 5 2

а)

3 8 −1

; б)

1 −1 0

; в)

3 −2 7

; г)

a 0

−c

;

−1 4 2

2 3 −2

5 −6 3

b c

0

cos α

0

sin α

0

−4

1

д)

1

1

0

; е)

1 3

1

.

0

sin α

cos α

2

4

1

6. Выяснить, для каких матриц существует обратная и найти ее:

1 2

1 2

1

1

1

1

2

3

а)

2

6

4

; б)

; в) 1 2 1

; г)

.

1 3

3 4

−4

−14

−6

1 1 2

7. Решить уравнения и неравенства:

6 x +1

= 0; б)

1 −3x x

= 3; в)

5x +3 3

≥0; г)

2x −3 3x −8

< 0.

а)

−3

1

−2x 1

6

2

1

2x +3

163

8. Найти решения или установить несовместность систем, дать геометрическую интерпретацию:

	5x − 3y =13,			3x − 2 y = 6,		в)		2x − 6 y = 3,
а)				б)
2x + 7 y = −3;				−6x + 4 y =1;			3y − x = −1,5.
	9. Решить системы по формулам Крамера:
3x − x + 2x =1,				2x − x + x = 0,
	1	2	3		1	2	3
а) x1 − x2 = −5,				б) 3x1 − 2x2 − x3 = 5,
2x + x + x = 4;				x	+ x	+ 2x		= 3;
	1	2	3	1	2		3

в)

д)

2x1 + x2 + x3 = 4,2x1 − 5x2 + 3x3 = −2,4x1 − x2 + 3x3 = 5;

y + z − 2x = 0,2x − y + 4z =15,3x − y + z =8;

г)

е)

2x1 + 3x2 + 4x3 = −1,x1 + 2x2 + x3 = 4,6x1 − 2x2 + x3 = −3;

3x + y − 2z = 0,2x − 3y + z = 0,

−x + 2 y + 4z = 0.

10. Решить системы методом Гаусса или доказать несовмест-

ность систем:
x	+ 3x	− x = −4,	4x + 2 y + z =11,
1	2	3
а) x1 + 2x2 + x3 = 3,			б) 2x + y − 5z = 0,
		+ 2x3 =11;
3x1 + x2			x + 2 y − 3z = −2;

в)

д)

ж)

4x − 2 y − 3z = −1,2x + 3y − z = 2,

3x − y + 2z = −13;

x1 − 3x2 + 4x3 = 0,2x1 + 4x2 − x3 = 0,4x1 − 2x2 + 7x3 = 0;

3x		+ 2x	− 3x		= −3,
	1	2	3
x1	+ 2x2 + 4x3 = 9,
2x		+ 7x	− x	= 0,
	1	2	3
3x		+ 8x	− x	=1;
	1	2	3

г)

е)

з)

x + 2 y − 3z = 0,3x + 4 y − z = 7,

7x +10 y − 5z = 2;

x1 + 3x2 − x3 + x4 =1,2x1 + 4x2 + x4 = 0,

x1 + 5x2 − 4x3 − x4 = −2;

x1 + x2 =1,

x1 + 3x2 + 2x3 = 5,

5x1 + 8x2 + 3x3 =11,

3x1 + 2x2 − x3 =1.

164

Минимум для аудиторной работы

1.а), в); 2. б), в); 3; 4. а), б), в); 5. а), в), г); 6. а), г); 7. а), в);

8.а), б), в); 9. а), в), д), е); 10. а), б), г), д), е).

4.1.4. Ответы

			7	1		−7
1. а)	T	=						;
	A		5 3 0
				−1		1
			4
					4	−6
2. б) 2A + 3B − C =					2	3
								.
				33		−3

											a
б)	T		=[4 2 3];						T	=
	A						в) A				b .
											c
					8	15	−12
3. 3A +		2E =				−7	3		. 4. а) 13;
				−3
					6	3	−4

б) −2a2 ;	в) sin 2x ;	г) 0;		д) ln(x5 y2 ) .				5. а) 100;
	3	−2		−2		1			3	−1
г) 0; д) 1.									−1 1
	6. а)		; б)		3	−1	; в)
	−1 1
					2	2				0
									−1

7.а) x = −3 ; б) x −1 ;2 ; в) [1,2;+∞); г) (–0,25; 1).

2

б) 30; в) 78;

−1

; г) нет.

8.а) (2; –1) –0

точка пересечения двух прямых; б) решений нет, прямые параллельны; в) бесчисленное множество решений: y = c, x = 3c +1,5,

c ; прямые совпадают. 9. а) (–2; 3; 5); б) (4; 5; –3); в) метод не

применим; г) (1; 3; –3); д) (2; 1; 3); е) (0; 0; 0).	10. а) (2;	–1; 3);
б) (3; –1; 1); в) (–2; 1; –3); г) несовместна; д) (−1,3c;	0,9c; c),	c ;

е) (−12 +6,5c; 6 −3,5c; 5 −3c; c), c ; ж) (1; 0; 2); з) (c −1; 2 −c; c), c .

4.2.ВЕКТОРЫ

4.2.1.Теоретический минимум

1.Понятие вектора.

2.Линейные операции над векторами.

3.Векторный базис, координаты вектора.

4.Скалярное произведение двух векторов.

5.Векторное произведение двух векторов.

6.Смешанное произведение трех векторов.

7.Пространство n .

165

Понятие вектора

Под вектором на плоскости или в пространстве будем понимать направленный отрезок, который можно переносить параллельно самому себе (свободный вектор).

При обозначении вектора направление обычно подчеркивается стрелкой: a, AB (если вектор задается началом A и концом B); дли-

на вектора называется его модулем и обозначается				a		,	AB	.
		Вектор, длина которого				равна единице,
a	B	называется единичным вектором или ортом, а
		длина которого равна нулю – нулевым или

Aнуль-вектором (обозначается 0 , направление его произвольно).

Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными и обозначаются a || b .

Два ненулевых вектора a и b называют равными, если их модули и направления совпадают.

Два коллинеарных вектора называются противоположными, если их модули равны, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору a , обозначается ( −a ).

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют их сложение, вычитание, умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b при условии, что вектор b отложен из конца вектора a .

Вектор a + b можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно перенести их параллельно самим себе так, чтобы начало каждого последующего вектора совпадало с концом предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего, представляет сумму слагаемых векторов (правило замыкания ломаной).

166

Разностью векторов a − b называется вектор, равный сумме векторов a и (−b ), т. е. a −b = a + (−b), где (−b ) – вектор, противоположный b .

Вектор a − b можно построить по правилу параллелограмма.

Правило треугольника						Правило замыкания ломаной
						a +b +c	c
	a + b
				b			b
	a
							a
			Правило параллелограмма
	a + b					b	a −b
	a					a
Произведением			вектора a на число λ называется вектор
b = λ a , модуль b			которого равен			λ a , а направление совпадает

с направлением вектора a , если λ > 0 , и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 .

Отсюда – условие коллинеарности двух векторов:

a || b b = λ a или a =λb .

Основные свойства линейных операций над векторами

	1.	a + b = b + a .	6.	a + 0 = a , a 0 = 0 .
	2. (a + b) + c = a + (b + c) .		7.	−1 a = −a .
	3. λ (a + b) = λ a + λ b .		8.	a − a = 0 .
			9.	a 1 = a .
	4. λ(μa) = (λ μ)a .
			10. Если c = a + b ,
	5. (λ +μ)a = λ a + μ a .
			то a = c − b и b = c − a .

Векторный базис, координаты вектора

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и a – произвольныйвектор, лежащийвэтойплоскости.

Переместим a , сохраняя его длину и направление так, чтобы его начало совпало с началом координат. Получим вектор OM = a .

167

y	M (x; y) Обозначим через (x; y) координаты точки

βМ, через α и β – углы, которые образует вектор OM с положительными направле-

αниями осей Ох и Оу; cosα и cosβ назы-

	x ваются направляющими косинусами век-
O
	тора OM .

Проекцией вектора a на ось l называется число, равное произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью; обозначается npl a .

Тогда npOx OM = OM cos α = x , npOy OM = OM cosβ = y.

Координатами вектора на плоскости Oxy называются его проекции на координатные оси.

Следовательно, x и y – координаты вектора OM . Записывают

OM ={x; y}.

Вектор OM называют радиус-вектором точки М. Точка и ее радиус-вектор имеют одинаковые координаты. Из OMP получаем:

OM

=

x2 + y2 .

Исходный вектор a имеет ту же длину, образует такие же уг-

лы с осями координат, что и OM ,

поэтому вектор a имеет такие

же координаты: a ={x; y}и

a

=

x2 + y2 .

Так как x =

a

cosα, y =

a

cosβ, то имеем:

cosα =

x

=

x

, cosβ =

y

=

y

– направляющие ко-

a

a

x2 + y2

x2 + y2

синусы

вектора a ={x; y}.

Вектор

ea ={cos α; cosβ}

является единичным вектором на-

правления вектора a .

Базис на плоскости – это два произвольных неколлинеарных

вектора на этой плоскости.

α2e2

Пусть векторы e1

и e2 образуют базис на

c

плоскости. Тогда произвольный вектор c этой

e2

плоскости может быть единственным образом

представлен в виде линейной комбинации

e

α e

векторов e1 и e2 (разложен по векторам e1 и e2 ):

1

1

1

168

c = α1e1 + α2e2.

Здесь α1 и α2 – координаты вектора c в базисе e1 , e2 . Единичные векторы i ={1; 0} и j ={0; 1} образуют базис

на плоскости Oxy, их называют декартовыми ортами на плоскости.

Таккак a

=

OM

=

OP

+

OK

=

xi

+

yj , то {

x; y

} –

y

координаты вектора a в базисе i , j .

K

M

Аналогично пусть в пространстве зада-

на декартова прямоугольная система коор-

1

j

динат Oxyz и точка M (x; y; z) .

Любые

три

некомпланарных вектора

i

P x

O

1

образуют базис в пространстве.

={1; 0; 0},

j ={0; 1; 0}, k ={0; 0; 1} –

Введем базис i , j, k , где i

декартовы орты на осях Ox, Oy, Oz соответственно. Для радиус-

вектора точки M имеет место разложение						z				M
OM = OP + PN + NM = xi + yj + zk .		Следо-
вательно, {x; y; z} –	координаты	вектора				T				y
a =OM в базисе i , j,	k .								j
					k
В дальнейшем для удобства координа-										N
									P
						O		i		x
ты вектора a будем обозначать {x ; y			; z	}.
	a	a	a

Пусть α, β, γ – углы, образованные вектором a с осями координат Ох, Оу, Oz соответственно. Тогда имеют место формулы

xa =

a

cosα,

ya

=

a

cosβ,

za =

a

cos γ,

a

= x2

+ y2 + z2

, e ={cos α; cosβ; cos γ},

a

a

a

a

cosα =

xa

, cosβ =

ya

, cos γ =

za

,

a

a

a

cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ =1.

В дальнейшем будем считать, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат.

Пусть векторы a, b заданы своими координатами в базисе i , j, k : a ={xa ; ya ; za}= xai + ya j + zak , b ={xb ; yb ; zb} = xbi + yb j + zbk . Тогда

169

a +b ={xa + xb ; ya + yb ; za + zb}.

a −b ={xa − xb ; ya − yb ; za − zb}.

λa ={λxa ; λya ; λza}.

a || b

xa

=

ya

=

za

.

x

y

z

b

b

b

a = b xa = xb , ya = yb , za = zb.

Так как AB = OB −OA, то для каждого вектора d = AB с нача-

лом в точке

A(xA; yA; zA )

и концом в точке B(xB ; yB ; zB ) его коор-

динаты равны xd = xB − xA ;

yd = yB − yA ;

zd = zB − zA .

Пример 1. Даны точки A(1; 4; 6)

и B(2; 6; 4). Найти координа-

ты вектора AB , его длину, направляющие косинусы вектора AB .

Решение.

Находим

координаты:

AB ={2 −1; 6 − 4; 4 − 6}=

={1; 2; − 2}.

12 +22 +(−2)2 =3. Направ-

Модуль (длина) вектора AB:

AB

=

ляющие косинусы вектора AB :

cos α =

x

=

1 ,

cosβ =

y

= 2 , cos γ =

z

= −

2 .

AB

AB

AB

3

3

3

Пример 2. Даны векторы a ={2; 1; 3} и b ={−1; 0; 2}. Найдите

координаты и длину вектора c = 2a −b .

Решение.

2a ={4; 2; 6},

c =2a −b ={4 −(−1); 2 −0; 6 −2}={5; 2; 4}.

Находим длину вектора c :

c

=

52 + 22 + 42

= 45 = 3

5 .

Пример 3. При каких α и β вектор

a ={3; α; β} коллинеарен

вектору AB , если A(4; 0; 3) , B(−2; 4; 5) ?

Решение.

Находим

координаты

вектора

AB :

AB ={−2 − 4; 4 − 0; 5 − 3}={−6; 4; 2}.

Условие коллинеарности векторов a и AB имеет вид

3

= α

= β

, следовательно,

−6α =12 , −6β = 6 и α = −2 , β = −1.

−6

4

2

170