Марченко_Высшая математика

Если функции f1 (x), …, fn (x) интегрируемы в некотором промежутке, то функция f (x) = f1 (x) ± … ± fn (x) также интегрируема в том же промежутке, причем

∫(f1 (x) ± … ± fn (x))dx = ∫ f1 (x)dx ± … ± ∫ fn (x)dx .

Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя:

∫ ff′((xx))dx = ∫dff ((xx)) = ∫duu = ln u +C = ln f (x) +C.

Пример. Найти интегралы:

1) ∫

x7

+ x5 −1

2) ∫

x2

3) ∫

7x +1

dx ;

dx ;

3x dx ;

x5

x2 + 4

4)

∫tg

2

xdx ;

5) ∫

dx

;

6) ∫

dx

.

x2 + 6x +13

2x − x2

Решение. Данные интегралы сводятся к табличным путем тож-

дественного преобразования подынтегрального выражения:

1)

разделим числитель на знаменатель почленно и воспользу-

емся свойством линейности:

∫

x7

+ x5 −1

= ∫

x7

∫dx −

∫x

−5

x3

x−4

dx

dx +

dx

=

+ x +

+C ;

x5

x5

3

4

2)

x2

(x2 + 4)− 4

4

x

+C;

dx

=

2

dx =

1

−

dx = x − 2arctg

∫x

2

+ 4

∫

x

+ 4

∫

x

2

+ 4

2

x

7

x

1

7x

+1

7

x

1

x

3)

∫ 3

x dx =

∫

dx +

∫

dx =

3

+

3

+C =

7

1

3

3

ln

ln

7x

1

3

3

=

−

+C ;

3x (ln 7 −ln 3)

3x ln 3

1

∫tg

2

∫ (1 + tg

2

x)−1 dx =

∫

4)

xdx =

−1 dx = tgx − x + C ;

2

x

cos

∫

dx

= ∫

dx

1

x +3

+C ;

5)

=

2 arctg

x2 + 6x +13

(x +3)2 + 4

2

111

6) ∫	dx		= ∫	dx		= ∫	d (x −1)		= arcsin (x −1)+ C.
	2x − x	2		1 − (x −1)	2		1 − (x −1)	2

Произвольная постоянная записывается при этом не каждый раз при нахождении интеграла от суммы, а лишь один раз, когда исчезает знак последнего интеграла в сумме.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Метод замены переменной состоит в преобразовании интеграла ∫ f (x)dx в другой интеграл ∫g (u)du , метод интегрирова-

ния которого известен, с последующим возращением к исходной переменной.

Существуют две разновидности замены переменной в неопределенном интеграле: вынесение (и внесение) множителя из-под знака (под знак) дифференциала.

Теорема (интегрирование подстановкой – вынесение множителя из-под знака дифференциала). Пусть функция y = f (x) непрерывна на интервале Х, а функция x = ϕ(t ) (со множеством значений Х) непрерывно дифференцируема на интервале Т и имеет

непрерывно	дифференцируемую		обратную функцию	t = ψ(x)
для x X .	Пусть	далее G(t )	– первообразная для	функции
	′	на Т. Тогда f	(x) интегрируема на Х, причем
g (t)= f (ϕ(t))ϕ (t)

∫ f (x)dx = G(ψ(x))+ C .

Теорема (внесение множителя под знак дифференциала). Пусть функция x = ϕ(t ) со множеством значений Х имеет непрерывную производную на интервале Т, а функция y = f (x) непрерывна и имеет первообразную F (x) на Х. Тогда функция g (t)= f (ϕ(t))ϕ′(t) интегрируема на Т, причем

∫g (t )dt = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t ))+ C .

Этот тип замены переменной, по существу, повторяет свойство инвариантности формул интегрирования.

Обе разновидности замены переменной ( x = ϕ(t ), ϕ(t )= x ) удобно проиллюстрировать на следующей схеме:

112

интегрирование подстановкой (вынесениемножителя)

∫ f (x)dx	x = ϕ(t)	′	(t )dt =∫	g	(	t	)	dt =
	=	= ∫ f (ϕ(t))ϕ
	x = ϕ(t) t = ψ(x)

=G(t)+ C =G(ψ(x))+ C.

внесение множителя

∫g (t )dt = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt ϕ(t=)= x ∫ f (x)dx =

=F (x)+ C = F (ϕ(t ))+ C.

Предыдущие преобразования называются формулами замены переменной в неопределенном интеграле.

Формулы наиболее часто встречающихся дифференциалов

1. dx = a1 d (ax + b)= a1 d (ax).

2. xdx = 12 d (x2 )=

1

d (ax2

+ b).

2a

1

dx

2

d (a x

3.

x dx = d (ln x)= d (ln (ax))=

4.

= 2d ( x )=

+ b).

x

a

=

1 d (aln x + b).

a

1

1

6. ex dx = d (ex )

= 1 d

(aex + b).

5.

dx

= −d .

x

2

x

a

7. cos xdx = d (sin x)=

8. sin xdx = −d (cos x)=

=

1 d (asin x +b).

= −

1 d (acos x +b).

a

a

9.

dx

= d (tgx).

10.

dx

= −d (ctgx).

cos2 x

sin2

x

11.

dx

= d (arctgx)=

12.

dx

= d

(arcsin x)=

1 − x2

1 + x2

= −d (arcctgx).

= −d (arccos x).

Пример. Найти интегралы методом замены переменной:

1) ∫

xdx

;

2)

∫esin x cos xdx ;

3) ∫

dx

;

2

4 − x

dx

xln x ln x

4) ∫

dx

;

5)

∫

;

6) ∫

16 − x2 dx .

x (7 + 3

x )

sin2 x + 4cos2 x

113

Решение.

											1			2
	xdx									−		d (4	− x		)		1			1
											2							∫(4	− x2 )−		d (4 − x2 )=
1) ∫				=				∫								= −
																				2
	4 − x	2										4 − x	2				2
				1			2
				xdx=		dx
					2
		1
= − 12 2(4 − x2 )2				+ C = − 4 − x2 + C ;

2) ∫esin x cos xdx = ∫esin x d (sin x)= esin x cos xdx=d sin x

3) ∫	dx			=	∫	d (ln x)	= ∫(ln x)−	3	d
								2
	xln x ln x					ln x ln x
			dx	=d(ln x)
			x

	+ C ;
	(ln x)=	−2	+ C ;
		ln x

4)

dx

=

dx

=

dtgx

=

∫sin2 x + 4cos2

x

∫cos2 x(tg2 x +

4)

∫(tg2 x +

4)

dx

=dtgx

2

cos

x

=

1 arctg tgx +C

;

2

2

5) ∫

dx

=

x =t6 , t = 6 x

= ∫

6t5dt

= 6∫

t5dt

=

x (7 + 3 x )

dx = 6t5dt

t6 (7 + 3 t6

)

t3 (

7 +t2 )

t2dt

(t

2

+7)−7

t2 +7

7

dt

=

6∫

=6∫

2

dt =6∫

2

−

dt =6 ∫dt −7∫

=

7

+t

2

7 +t

+7

7

+t

2

( 7)

2

2

t

+t

7

t

6 x

=

6 t

−

arctg

+ C = 6 6

x −

7arctg

+ C ;

7

7

7

x = 4sin t

6) ∫

16 − x2 dx =

dx = 4costdt

= ∫

16 −16sin2 t 4costdt =

t = arcsin

x

4

= 4∫

16(1 −sin2 t)costdt =16∫

cos2 t costdt =16∫cos2 tdt =

=16∫

1

1

2

(1 + cos 2t)dt =8(∫dt +∫cos 2tdt )=8 t +

2

sin 2t +C =

114

x

1

x

=8 arcsin

+

sin 2 arcsin

+C ,

откуда,

используя формулу

4

2

4

x

sin (2arcsin a)= 2sin (arcsin a)cos(arcsin a)= 2a

1 − a2 ,

при

a =

получаем окончательный ответ:

4

∫ 16 − x

2

x

x

x2

x

x

2

+C.

dx =8 arcsin

+

1−

+C =8 arcsin

+

16 − x

4

4

16

4

16

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям основывается на формуле дифференцирования произведения двух функций.

Теорема. Пусть на промежутке X функции u (x) и v(x) не-

прерывно дифференцируемы. Тогда интегралы			∫v(x)u′(x)dx и
∫u (x)v′(x)dx существуют на X и
∫u (x)v′(x)dx = u (x)v(x)− ∫v(x)u′(x)dx .				(3.1)
Так как u′(x)dx = du, v′(x)dx = dv , то (3.1)			можно	записать
в виде
	∫u dv = u v − ∫v du.			(3.2)

Это равенство называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Практическое применение интегрирования по частям заключается в том, что подынтегральное выражение f (x)dx представ-

ляется некоторым образом в виде произведения двух множителей u и dv (последний обязательно содержит dx ) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании v из выражения dv ; 2) при нахождении интеграла от v du .

Метод интегрирования по частям удобно применять для вычисления интегралов следующих стандартных типов:

1) ∫Pn (x)emx dx, ∫Pn (x)amx dx, ∫Pn (x)cos(mx)dx, ∫Pn (x)sin (mx)dx,

где m R, Pn (x) – многочлен степени n относительно переменной x (в качестве u берем многочлен u = Pn (x));

115

2)∫Pn (x)ln (mx)dx , ∫Pn (x)arccos(mx)dx , ∫Pn (x)arcsin (mx)dx ,

∫Pn (x)arctg (mx)dx , ∫Pn (x)arcctg (mx)dx (здесь dv = Pn (x)dx);

3) ∫emx cos(αx)dx , ∫emx sin (αx)dx ,	где α	(дважды интег-
рируем по частям, полагая u = emx ;	повторное	интегрирование

по частям приводит к линейному уравнению, содержащему ис-

ходный интеграл, решая которое, находим интеграл).

Иногда для получения результата нужно последовательно не-

сколько раз применить интегрирование по частям.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом ин-

тегрирования по частям:

1) ∫(

2x +5)cos

x

dx ;

2) ∫x2e−5 xdx ;

3) ∫arctg3xdx .

Решение.

3

1) ∫(

2x +5)cos

x

dx =

u = 2x +5

du = 2dx

=

x

v = ∫cos

x

x

3

dv = cos

dx

dx =

3sin

3

3

3

= 3(2x + 5)sin

x

− ∫3sin

x

2dx = 3(2x + 5)sin

x

− 6∫sin

x

dx =

3

3

3

3

= 3(2x + 5)sin

x

+18cos

x

+ C ;

3

3

2) ∫x2e−5 x dx =

u = x2 ,

du = 2xdx

=

dv = e−5 x dx,

v = ∫e−5 x dx = −1 e−5 x

5

= −x2 1 e−5 x

+ ∫

1 e−5 x 2xdx = −1 x2e−5 x +

2

∫xe−5 xdx =

5

5

5

5

=

u = x,

du =dx

1

=−

1 x2e−5x +

−5x

−5x

dx =−

−5x

dv =e

dx, v =∫e

5

e

5

2

1

−5 x

1

−5 x

1

2

−5 x

2

1

−5 x

1

−5 x

+

−x

e

+

∫5

e

dx

= −

x

e

+

−

xe

−

e

+ C

=

5

5

5

5

25

5

= −125e−5 x (25x2

+10x + 2)+ C ;

116

3)

arctg3xdx =

u = arctg3x,

du =

3dx

= xarctg3x −

3xdx

=

1 +9x2

∫

dv = dx,

v = x

∫1 +9x2

= xarctg3x −

1

∫

d(1 + 9x

2 )

= xarctg3x −

1

+9x

2

+C .

6

1 + 9x2

6 ln

1

Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией (или дробно-рациональной функцией,

или рациональной дробью) называется выражение вида Pn ((x)),

Qm x

где Pn (x) и Qm (x) – многочлены степеней соответственно n и m

относительно переменной x. Рациональная дробь Pn ((x)) называ-

Qm x

ется правильной, если n < m. В противном случае (n ≥ m) дробь на-

зывается неправильной.

Простейшие рациональные дроби классифицируются по следующим четырем типам:

I.

A

;

II.

A

, (k = 2, 3, …);

(x − a)

k

x − a

III.

Ax + B

, (p

2

− 4q < 0);

IV.

Ax + B

, (k = 2, 3,

…),

(x2 + px + q)k

x2 + px + q

где A, B, a, p, q – действительные числа; кроме того, по отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен

	x2 + px + q не имеет вещественных корней, так что q −	p2	> 0 .
		4

Рациональные дроби I и II типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил и таблицы интегралов:

∫x −Aa dx =A∫d (xx−−aa) = Aln x − a + C.

Интеграл от простейшей дроби III типа вычисляется приведением знаменателя к сумме квадратов:

117

Rk ((x)).

Qm x

2

p 2

p2 − 4q

p 2

4q − p2

x

+ px + q = x

+

−

=

x

+

+

4

4

2

2

и последующей заменой

x +

p

= t

переменной x:

2

p

Ap

Ax + B

dx =

x +

= t

=

At + B − 2

dt = A

t

dt +

2

∫x2 + px + q

∫

∫

4q − p2

dx = dt

t

2

+

4q − p2

t

2

+

4

4

Ap

Ap

B −

2

dt

A

4q − p

2

B −

t

+∫

t

2

2

+C =

=

ln

+

4

+

arctg

t

2

+

4q − p2

2

4q − p2

4q − p2

4

Ap

4

4

A

B −

2x + p

=

x

2

+ px + q

+

2

+C .

ln

arctg

2

4q − p2

4q − p2

4

Интеграл от простейшей дроби IV типа можно найти методом интегрирования по частям с помощью рекуррентных соотношений, понижающих степень в знаменателе дроби или с помощью таблиц неопределенных интегралов.

Всякая неправильная рациональная дробь Pn ((x)) с помощью

Qm x

деления числителя на знаменатель по правилам деления многочле-

нов приводится к виду

Pn

(x)

= L

(x)

+

Rk

(x)

, где

L

(x) –

Q

(x)

Q

n−m

(x)

n−m

m

Pn

(x)

m

многочлен – целая часть дроби

; R

(x)

– остаток при деле-

Q

(x)

k

Rk

(x)

m

нии, при этом

– правильная дробь (k < m).

Q

(x)

m

В результате интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена Ln−m (x) и правиль-

ной дроби

118

Теорема. Пусть Pn ((x)) – правильная рациональная дробь

Qm x

( n < m ), где, не ограничивая общности, считаем, что коэффициент

при старшей степени x в многочлене Qm (x)	равен 1. Пусть далее
Qm (x)= (x − a)α ... (x − b)β (x2 + px + q)γ ... (x2	+ rx + s)δ – разложе-
ние многочлена Qm (x) на произведение неприводимых (т. е. не-

разложимых в множестве ) множителей, где a, ..., b – действительные корни Qm (x); x2 + px + q, ..., x2 + rx + s – квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней. Тогда имеет место следующее разложение (теоретическое, т. е. с неопределен-

ными

коэффициентами)

правильной

рациональной

функции

в сумму простейших:

Pn (x)

A

A

+... +

A

B

B

+... +

1

2

α

1

2

=

+

+

+

Qm (x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

x − b

(x − b)2

	+	Bβ	+
		(x −b)β

M

x + N

M

2

x + N

2

+... +

Mγ x + Nγ

+... +

1

1

+

(3.3)

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)γ

x2 + px + q

K1x + L1

Kδx + Lδ

,

+

+

... +

x2 + rx + s

(x2 + rx + s)δ

где A1, A2, ..., Aα, B1, B2, ..., Bβ, M1, N1, M2, N2, ..., Mγ, Nγ, K1, L1, ...,

Kδ, Lδ – некоторые действительные числа – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Из формулы (3.3) следует, что линейным множителям знаменателя Qm (x) соответствуют простейшие дроби I и II типов, а квадратным множителям – III и IV типов, при этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю, равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби.

Например, правильная дробь

x +7

представима

x2 (x +2)(x2 +7x +16)

x + 7

в виде суммы четырех простейших дробей:

=

x2 (x + 2)(x2 + 7x +16)

=

A

+

B

+

C

+

Dx + E

.

x x2

x +

2

x2 + 7x +16

119

телю Qm (x), в результате получим тождество

Для нахождения неопределенных коэффициентов A1, A2, ..., Lδ в равенстве (3.3) можно применить метод неопределенных коэффициентов (метод сравнения коэффициентов). Суть метода:

1. В правой части равенства (3.3) приведем к общему знамена-

Pn ((x))= S ((x)), где Qm x Qm x

S (x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители:

Pn (x)≡ S (x).

(3.4)

3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества (3.4), получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой определяются искомые коэффи-

циенты A1, A2, ..., Lδ.

Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов представлена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов

Этапы

Пример для дроби

x2 +1

(x −1)2 (x2

+ 2x + 3)

1. Знаменатель

уже

x2

+1

=

A

+

B

+

Cx + D

разложен на множи-

(x −1)

2

(x

2

+ 2x + 3)

x −1

(x −1)

2

x

2

+ 2x

+ 3

тели, поэтому запи-

шем теоретическое

разложение

дроби

на простейшие

2. Правую часть по-

x

2

+1

A(x −1)(x

2

+ 2x + 3)

лучившегося равен-

=

+

(x −1)2 (x2 + 2x + 3)

(x −1)2 (x2

ства приведем к об-

+ 2x + 3)

щему знаменателю

+ B (x2

+ 2x + 3)+ (Cx + D)(x −1)2

(x −1)2 (x2 + 2x + 3)

120