Марченко_Высшая математика

Пример. Функция y = 4 − x

является ббф при

x → ∞,

т. к.

lim

(4 − x) = ∞, а функция y =

1

является ббф при

x →0 ,

т. к.

x2

x→∞

1

lim

= +∞.

x→0

x2

Свойства бесконечно больших функций

1. Если в некоторой проколотой окрестности точки a функция

α(x)≠ 0 и является бмф при x → a, то β(x)=

1

есть ббф при

α(x)

x → a и наоборот.

1

1

= 0.

Эти свойства символически записываются

= ∞

и

0

∞

f (x)

2. Произведение ббф на функцию

> M ≠ 0

есть ббф.

Вчастности, произведение бесконечно больших функций есть ббф.

3.Суммабесконечнобольшойиограниченнойфункцийестьббф.

4.Сумма двух ббф одинакового знака есть ббф.

Следует отметить, что разность двух ббф одинакового знака не обязательно бесконечно большая функция.

Пример. Рассмотрим ббф при x → ∞: α(x)= x2 , β(x)= x2 + x,

γ(x)= x2 + 3, μ(x)= x2 + 1x , ν(x)= x3.

Тогда при x → ∞ разность β(x)− α(x)= x есть ббф при x → ∞;

разностьμ(x)−α(x)= 1x естьбмфпри x →∞; разность γ(x)−α(x)=3

есть постоянная функция.

Частное αν((xx)) = x есть ббф при x → ∞; частное αν((xx)) = 1x есть

бмф при x → ∞; частное αγ((xx)) =1 + x32 есть функция, имеющая конечный предел при x → ∞.

Основные теоремы о пределах

Предположим, что существуют конечные пределы функций f (x) и g (x) при x → a. Тогда имеют место следующие основные

свойства конечных пределов:

31

1. Основная теорема о (конечном) пределе: для того чтобы при x → a существовал (конечный) предел функции y = f (x), не-

обходимо и достаточно, чтобы в некоторой (достаточно малой)

		ˆ
проколотой окрестности B(a) предельной точки а выполнялось
равенство	f (x)= b + α(x), где α(x) – бмф при x → a,			ˆ
				x B(a), т. е.
		lim f (x) = b f (x) = b + α(x).
		x→a

2. Теорема о связи с односторонними пределами: для существования конечного предела b функции y = f (x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны оба односторонние пределы f (a −0) и f (a + 0):

lim f (x)= b f (a −0)= f (a + 0)= b.

x→a

3. Арифметические операции над пределами:

а)

x→a

(

f

(

x

)

± g

(

x

))

x→a

(

x

)

x→a

(

x

)

;

lim

= lim f

± lim g

б)

x→a

(

f

(

x

)

g

(

x

))

x→a

(

x

)

x→a

(

x

)

;

lim

= lim f

lim g

гдес= соnst – постояннаяфункция;

в)

lim

(

c f (x)

)

= c lim f (x),

x→a

x→a

f (x)

lim f (x)

если lim g (x)≠ 0.

г)

lim

=

x→a

,

lim g (x)

x→a

g (x)

x→a

x→a

4. Лемма о сжатой переменной (двух «милиционерах»): если

в некоторой

окрестности

ˆ

для функций f (x), u (x), g (x)

B(a)

выполняется неравенство

f (x)≤ u (x)≤ g (x) и существуют (ко-

нечные) пределы

lim f

(x)= lim g

(x)= b,

то существует limu (x),

x→a

x→a

x→a

также равный b:

lim f (x)

= lim g (x)= b,

f (x)≤ u (x)≤ g (x),

x→a

x→a

ˆ

x B(a) limu (x)= b.

x→a

32

5. Предельный переход в неравенствах: если в некоторой окрест-

ности

ˆ

для функций

f (x) и g (x)

выполняется неравенство

B(a)

f (x)≤ g (x)

исуществуют(конечные) пределы, то lim f (x)≤lim g (x):

x→a

x→a

ˆ

f (x)≤ g (x), x B(a) lim f (x)≤ lim g (x).

x→a

x→a

Следует отметить, что строгое неравенство может переходить

в равенство.

1

g (x)= 1 .

Пример. Рассмотрим

две

функции

f (x)=

и

x2

x

При

x → ∞ имеем строгое

неравенство f (x)< g (x). Однако

lim f

(x)= lim g (x)= 0 .

x→∞

x→∞

6. Если lim f (x)> 0, то

x→a

lim f (x)

g(x)

lim g(x)

.

= lim f (x)x→a

x→a

x→a

Замечательные пределы

При раскрытии неопределенностей вида 0 с выражениями, со-

0

держащимитригонометрическиефункции, частоиспользуетсяпредел

lim sin x =1,

x→0 x

называемый первым замечательным пределом.

Пример. Вычислить пределы:

1) lim tg x

;

2) lim sin 5x .

x→ 0

x

x→ 0 tg 2x

Решение. Применяем первый замечательный предел:

1) lim

tg x

0

sin x

sin x

1

1

=1;

=

= lim

= lim

lim

=

x

x

cos x

x→ 0

0

x→0 xcos x

x→0

x→0

1

sin5x

0

sin5x cos2x

sin5x

2x

5cos2x

2) lim

=

=lim

=lim

=

tg2x

0

sin2x

5x

sin2x

2

x→0

x→0

x→ 0

= lim

sin 5x lim

2x

lim

5cos 2x

= 5 .

2

x→0

5x

x→0 sin 2x

x→0

2

33

При раскрытии неопределенности вида 1∞ часто используется предел вида

		1	x		1
	+			= lim(1 + x)x = e,
lim 1
x→∞		x		x→0

называемый вторым замечательным пределом, число е – предел

числовой последовательности				+	1 n
			1		, n =1, 2, 3, ... – является
					n
числом иррациональным, е= 2,718281828459045... .
		+	1	n	= e.
	lim 1		n
	n→∞

Число е играет важную роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е (y = ex ) называется экспонентой. Логарифм по основанию е называется натуральным (или неперовым) логарифмом и обозначается ln x. Таким образом,

ln x = loge x.

Из второго замечательного предела можно получить пределы, которые широко применяются для раскрытия неопределенностей:

lim

ln(1 + x)

=1; lim

ex

−1

=1.

x

x

x→0

x→0

Пример. Вычислить пределы:

1) lim

x +3

x+2; 2) lim

ln (x + 4)−ln 4

.

x→∞ x −1

x→

0

x

Решение.

x+2

x +3 x+2

∞

x +3

4 x+2

1)

lim

=

1

= lim

1+

−1

= lim 1

+

=

x −1

x→∞ x −1

x→∞

x→∞

x −1

x−1 (x+2)

4

4

x−1

4 ( x+2)

1

lim

x−1

4

= lim 1 +

= ex→∞

= e

;

x

−1

x→∞

4

34

x + 4

x

ln (x + 4)−ln 4

0

ln

1

ln 1+

1

4

4

2) lim

=

= lim

=

lim

=

.

x

x

4

x

4

x→ 0

0

x→0

x→0

4

При нахождении

предела

в примере

1)

мы первоначально

в скобках добавили и вычли единицу, вычислили разность и разде-

лили на четыре, затем показатель умножили и разделили на x 4−1.

Другими словами, свели ко второму замечательному пределу, по-

lim f (x)	.
сле чего воспользовались свойством lim e f (x) = ex→à
x→à

При нахождении предела в примере 2), выполнив необходимые преобразования, мы свели его к одному из пределов, вытекающих из второго замечательного предела.

Вычисление пределов

Отметим некоторые общие методы вычисления пределов.

1. Использование основных теорем о пределах. Поскольку для основных элементарных функций во всех точках их области определения (для элементарных функций во всех точках из интервала их области определения) имеет место свойство

lim f (x)= f (a),

x→a

то при вычислении пределов, прежде всего, вместо х подставляем предельное значение (обычно это записывается в квадратных скобках) и, если значение f (a) определено, применяем основные теоремы о пределах.

Пример. Вычислить пределы:

1) lim

x2 + 2x −1

; 2) lim

(

32 x (cos 2x + 2x2 )

)

.

x→1

2x +3

x→0

Решение.

lim(x2 + 2x +1)

x2 + 2x −1

12

+ 2 1−1

2

1) lim

=

x→1

=

1

=

;

2

x

+3

x

+3)

5

x→1

lim(2

2 +3

(

x→1

)

= lim32 x lim(cos 2x + 2x2 )=

2) lim

32 x

(cos 2x + 2x2 )

x→0

x→0

x→0

= 30 (cos 0 + 2 0) =1 1 =1.

35

Однако часто при подстановке в f (x) вместо x предельного

значения а получаются выражения вида	;	;	[0 ∞];	1 ;
	0	∞		∞
	0	∞

[∞ − ∞] и другие, которые называются неопределенностями и ко-

торые нужно «раскрывать» специальными методами, например учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих (входящих) функцию f (x) (см. ниже: раскрытие не-

которых видов неопределенностей).

2. При вычислении пределов иногда удобно воспользоваться односторонними пределами (свойство 2).

Пример. Вычислить lim f (x), если

x→ x0

x

при

x

<1 и x ≠ 0,

f (x)=

x

2

при

x

≥1,

x

при: а)

x0 =1; б) x0 = 0; в)

x0 = −1.

Решение.

x

x

а)

f (x

−0)= f (1−0)= lim

= lim

= lim 1 =1,

0

x→1−0

x

x→1−0 x

x→1−0

f (x0 + 0)

= f (1 + 0)= lim x2 =1.

x→1+0

(1+ 0)=1, следовательно,

Таким образом,

f (1−0)= f

lim f (x)=1;

x→1

x

x

б)

f (x

−0)= f (−0)= lim

= lim

= lim (−1) = −1

0

x→ −0

x

x→ −0 −x

,

x

x

x→−0

f (x0 + 0)

= f (+0)= lim

= lim

= lim1 =1.

x

x

x→ +0

x→ +0

x→+0

Таким образом,

f

следовательно, lim f (x)

не

(−0)≠ f (+0),

x→0

существует;

в)

f (x0 −0)= f (−1 − 0)

=

lim

x2 =1,

x→−1−0

f (x + 0)= f (−1+ 0)=

lim

x

=

lim

x

= lim (−1) = −1.

0

x→ −1+0

x

x→ −1+0 −x

x→−1+0

(

)

Таким образом,

f (

−

1

−

0)

≠

f (

−

1

+

0), следовательно,

lim f

x

x→0

не существует.

36

3. Пределы можно также вычислять по определению предела, например с использованием языка «ε − δ»-окрестностей, однако это, как правило, требует более основательной математической техники.

Пример. Вычислить xlim→x (x2 + 2x +1), если x0 = −1.

0

Решение.

Значение

f (−1)= 0

существует. Покажем, что

lim f (x) = 0 . Рассмотрим условие

f (x) Bε (0) = (0 −ε; 0 + ε), что

x→−1

равносильно

x2 + 2x +1+ 0

< ε, или

x +1

2 < ε, или

x +1

<

ε. Пола-

гая δ = δε =

ε , имеем

0 <

x −(−1)

< δε

f (x)− 0

< ε.

Следова-

тельно, lim f

(x)= 0 .

x→−1

4.Использование эквивалентных бесконечно малых функций

впроизведениях и частном. При нахождении пределов бесконечно малые множители, стоящие в числителе и знаменателе, удобно заменять им эквивалентными:

lim

f (x) p

(x)

= lim

α(x) γ(x)

,

g (x)

β(x)

x→a

x→a

если f (x)~ α(x), g (x)~ β(x), p(x) γ(x).

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Пусть α(x)→0 при x → a. Тогда:

1. sin α(x)~ α(x).

2. tg α(x)~ α(x).

3. 1 − cos α(x)~

α2 (x)

.

4. arcsin α(x)~ α(x).

(

)

(

2

(

(

))

(

)

5. arctg α

x

~ α

x

)

.

x

~ α

x

.

6. ln 1 + α

7. eα(x) −1 ~ α(x).

8. n 1 + α(x) −1 ~

α(x)

.

n

Пример. Вычислить пределы:

1) lim

sin 5x

; 2) lim

1 + x + x2 −1

.

ln (1 + 4x)

sin 4x

x→0

x→0

37

Решение.

sin 5x ~ 5x

1) lim

sin 5x

=

= lim 5x = 5 ;

+

ln (1

4x)

ln 1

+ 4x

)

~ 4x

x→0 4x 4

x→0

(

2

2

x +x2

x +x2

2) lim

1+x+x

−1

=

1+x+x

−1~

=lim

2

2

sin4x

4x

x→0

sin4x ~ 4x

x→0

=limx(1+x) =1. x→0 8x 8

Раскрытие некоторых видов неопределенностей

При вычислении пределов функций удобно использовать таблицу, в которой приведены соотношения пределов суммы, произведения, частного двух функций f (x) и g (x), свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций (табл. 1.3).

Действия над пределами

Таблица 1.3

x→a

(

)

x→a

(

)

x→a (

(

)

(

))

x→a

(

)

(

)

lim

f (x)

lim f

x

lim g

x

lim

f

x

+ g

x

lim f

x

g

x

x→a g (x)

b

c

b + c

bc

b

, если c ≠ 0

c

b ≠ ∞

∞

∞

∞,

b

= 0

если b ≠ 0

∞

∞

c ≠ ∞

∞

∞,

∞

= ∞

если c ≠ 0

c

0

0

0

0

Неопределен-

0

ность

0

b

0

b

0

b

= ∞ ,

0

если b ≠ 0

0

∞

∞

Неопределен-

0

= 0

ность [0 ∞]

∞

∞

0

∞

Неопределен-

∞

= ∞

ность [∞0]

0

±∞

±∞

Неопределенность

−∞

Неопределен-

[∞ − ∞]

ность

∞

∞

38

Неопределенность вида 00

1. Использование первого замечательного предела. При вычислении предела дроби, содержащей тригонометрические функции, в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, можно использовать первый замечательный предел или экви-

валентные бесконечно малые.

Пример. Найти пределы функций:

1) lim sin 7x

; 2) lim arcsin 7x ; 3) lim1 −cos6x .

x→0 sin 5x

x→0

tg3x

x→0

sin2 8x

Решение.

1) первый способ:

1

sin 7x

sin 7x

0

7x

7x

7

lim

=

= lim

7x

= lim

=

.

sin 5x

0

sin 5x

5x

5

x→0

x→0

5x

x→0

5x

1

(При решении разделили каждый синус на аргумент и домножи-

ли на него и использовали

первый

замечательный

предел:

lim sin 7x

=1, lim sin 5x =1).

x→0

7x

x→0

5x

Второй способ:

lim

sin 7x

=

0

= lim

7x

=

7

, т. к.

sin 7x ~ 7x ,

sin 5x ~ 5x при x →0;

sin 5x

0

5x

5

x→0

x→0

2) lim

arcsin 7x

=

0

= lim

7x

=

7

,

т. к.

arcsin 7x ~ 7x при

tg3x

3x

3

x→0

0

x→0

x →0 , tg3x ~ 3x ;

1

2

sin2 3x

(3x)2

1

− cos6x

0

2sin

2 3x

3) lim

=

= lim

= lim

(3x)2

=

2

2

sin

8x

sin

8x

sin

2

8x

x→0

0

x→0

x→0

(8x)2

(8x)2

2 9x2

9

1

= lim

64x2

=

(при вычислении предела использовали формулу

32

x→0

1−cosα = 2sin2 α2 ).

39

Аналогично,

используя

эквивалентные

при x →0 бмф

1−cos6x ~

1 (6x)2, sin8x ~ 8x, получим:

2

1 (6x)2

1

1 −cos6x =

0

36

9

lim

= lim

2

=

2

=

.

2

x→0

sin

2

8x

0

x→0

(8x)

64

32

2. При нахождении

lim

P(x)

отношения двух многочленов

Q(x)

x→a

P(x) и Q(x), если P(a)= Q(a)= 0, следует числитель и знамена-

тель дроби разделить на разность (x − a)

один или несколько раз,

пока не исчезнет неопределенность.

Пример. Вычислить lim

x3

+ x2

− 2

.

4x

2 −5x +1

x→1

Решение. Подставляя вместо x предельное значение x =1, по-

лучим неопределенность

0

. Выделим в числителе и знаменате-

0

ле множитель x −1, для чего числитель разделим на x −1:

x3 + x2 − 2

x −1

x3 − x2

x2 + 2x + 2

2x2 − 2

2x2 − 2x

2x − 2

2x − 2

0

Тогда x3 + x2 − 2= (x −1)(x2 + 2x + 2).

Знаменатель разложим на множители, используя формулу

ax2 +bx + c = a(x − x )(x − x

),

1

2

где

x и

x

– корни уравнения ax2

+bx +c =0, которые находятся

1

2

по следующим формулам:

x1,2

= −b ± D

;

D =b2 −4ac.

2a

40