Марченко_Высшая математика

Окончание табл. 3.1

Этапы

Пример для дроби

x2 +1

(x −1)2 (x2

+ 2x + 3)

3. Приравняем

числи-

x2 +1 = A(x −1)(x2 + 2x +3)+ B (x2 + 2x +3)+

тели получившихся дро-

+(Cx + D)(x −1)2 ;

бей с одинаковыми зна-

менателями, раскроем

x2 +1 = A(x3 + x2 + x −3)+ B (x2 + 2x +3)+

скобки и приведем по-

+ C

(

x3 −2x2 + x

)

+ D

(

x2

−2x +1

добные члены

)

4. Приравнивая

коэф-

x3

0 = A + C

фициенты при

одина-

x2

1 = A + B − 2C + D

3A + 2D =1

ковых степенях x, по-

x

0 = A + 2B + C − 2D

B = D

лучаем систему

урав-

нений для нахождения

x0

1 = −3A + 3B + D

−3A + 4D =1

неопределенных

коэф-

1

B = 1

и

1

1

фициентов A, B, C, D.

D =

A =

C = −

Решаем эту систему

3

3

9

9

5. Запишем разложение

x2 +1

1

1

+ −

1

x

+

1

данной дроби на про-

=

+

9

3

9

3

стейшие

(x −1)2 (x2 + 2x +3)

x

−1

(x

−1)2

x2

+ 2x +3

Для нахождения неопределенных коэффициентов A1, A2, ..., Lδ в равенстве (3.3) применяют также метод частных значений аргумента: после получения тождества (3.4) аргументу x придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов в формуле (обычно полагают вместо x значения действительных корней многочлена Qm (x)). Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом частных значений приведена в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Метод частных значений

Этапы

Пример для дроби

x2

+ x −1

x3 − x2 − 2x

1. Знаменатель дроби раз-

x3 − x2

− 2x = x (x2 − x − 2)

= x (x − 2)(x +1)

ложим на неприводимые

множители

2. Запишем соответствующее

x2 + x −1

=

x2 + x −1

=

A

+

B

+

C

разложение этой правильной

x3 − x2

− 2x

x(x − 2)(x +1)

x

x − 2

x +1

дроби на простейшие

121

Окончание табл. 3.2

	Этапы	Пример для дроби	x2		+ x −1
			x3	− x2 − 2x

3. Правую часть

получив-

x

+ x −1

(

)(

)

(

)

(

)

2

=

A x −2 x +1 + Bx x +1 +Cx x −2

шегося равенства приведем

x3 − x2 −2x

x(x −2)(x +1)

к общему знаменателю

4. Приравняем

числители

x2 + x −1 = A(x −2)(x +1)+ Bx(x +1)+Cx(x −2)

получившихся дробей

5. Для определения коэф-

x = 0

−1 = A(−2)

A =

1

фициентов A, B, C придаем

неизвестной x частные зна-

2

5

чения, например значения,

x = 2

4 + 2 −1 = B 2

3

B =

совпадающие

с

действи-

6

тельными корнями знаме-

x = −1

1−1−1 = C (−1)(−3)

C = −

1

нателя дроби

3

6. Запишем

разложение

1

5

1

данной дроби на простей-

x

2

+ x −1

=

−

+

−

−

−

2

6

3

шие

x3 − x2 −2x

x

x −2

x +1

Формула (3) справедлива для любого конечного числа линейных и квадратичных множителей, входящих в разложение знаменателя правильной дроби, и называется разложением правильной

рациональной дроби Pn ((x)) на сумму простейших дробей с веще-

Qm x

ственными коэффициентами.

Алгоритм интегрирования рациональной функции

1.Представляем рациональную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции (если она неправильная). Для этого числитель делим на знаменатель (например, «уголком»).

2.Раскладываем знаменатель полученной правильной рациональной функции на неприводимые множители (линейные и квадратичные, не имеющие действительных корней).

3.Записываем теоретическое разложение полученной правильной рациональной функции на простейшие.

4.Находим неопределенные коэффициенты.

5. Интегрируем рациональную функцию, представленную в виде суммы многочлена и простейших рациональных функций, по стандартным правилам интегрирования.

122

Пример 1. Найти ∫ 2x +3 dx .

(x − 2)(x +5)

Решение. Подынтегральная дробь правильная. Записываем теоретическое разложение подынтегральной дроби на простейшие:

2x + 3	=	A		+	B	=	A(x − 2)+ B(x + 5)	.
(x + 5)(x − 2)		x +	5		x − 2
							(x + 5)(x − 2)

Приравниваем числители: 2x + 3 = A(x − 2)+ B(x + 5). Придавая x частные значения, равные корням знаменателя, получаем:

x = −5

−7 = A (−7),

A =1;

x = 2

7 = 7B ,

B =1.

Таким образом,

2x + 3

=

1

+

1

. Имеем:

(x − 2)(x +5)

x + 5

x − 2

2x +3

1

1

dx

dx

dx =

+

dx

=

+

= ln

x − 2

+

∫(x − 2)(x +

5)

∫

∫x −

∫x +

x +5

x

− 2

2

5

+ ln

x + 5

+ C = ln

(x − 2)(x + 5)

+ C .

Пример 2. Найти ∫

dx

.

(x

2

− 4x + 4)(x

2

− 4x + 5)

Решение. Подынтегральная дробь правильная, раскладываем ее на простейшие:

1	=	A	+	B	+	Cx + D .
(x − 2)2 (x2 − 4x + 5)		x − 2		(x − 2)2		x2 − 4x + 5

Приравниваем числители:

1 = A(x − 2)(x2 − 4x + 5)+ B(x2 − 4x + 5)+ (Cx + D)(x − 2)2

или

1 = A(x3 − 6x2 +13x −10)+ B(x2 − 4x + 5)+ C (x3 − 4x2 + 4x)+ +D(x2 − 4x + 4).

Так как знаменатель дроби имеет один действительный корень x = 2, то находим B:

1 = B(4 −8 + 5) B =1 .

Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

123

x2

0 = −6A + B − 4C + D

x

0 =13A − 4B + 4C − 4D 0 = −11A −12C = 0

,

A = 0

x0

1 = −10A + 5B + 4D

1 = 3A + B + 4C

и

.

C = 0

D = −1

Разложение дроби на простейшие имеет вид

1

=

1

−

1

.

(x − 2)2 (x2 − 4x +5)

(x − 2)2

x2 − 4x +5

Интегрируем:

∫

dx

1

1

=

−

dx =

(x

2

−

4x + 4)(x

2

− 4x

+5)

(x −

2)

2

x

2

− 4x + 5

∫

=

∫

(x − 2)−2

d (x − 2)

−

∫

d (x + 2)

=

(x + 2)2 +

x2 +4 x+5=x2 +2 2 x+4+1=(x+2)2 +1

1

= −

1

−arctg (x + 2)+C .

x − 2

Метод рационализации: интегрирование функций, рацио-

нально зависящих от тригонометрических

Рациональной функцией R(u; v)

двух переменных u и v на-

зывается отношение

P(u; v)

многочленов P(u; v)

и Q(u; v) двух

Q(u; v)

переменных u и v .

Согласно методу рационализации, ищется подходящая замена переменных, которая приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональных функций. О таких заменах говорят, что они рационализуют интеграл.

Рассмотрим интеграл ∫R(sin x; cos x)dx . Он рационализуется

с помощью так называемой универсальной тригонометрической

подстановки

t = tg 2x .

	Тогда sin x =			2t	, cos x =	1 −t2		, dx =	2dt	.
		1		+t2		1	+t2		1+t2

124

Таким образом,

∫

R

(sin x; cos x)dx =

R

2t

;

1 − t

2

2

dt =

∫

R

(t )dt ,

2

2

2

tg

x

=t ∫

1

+ t

1 + t

1 + t

2

где R(t ) – рациональная функция переменной t .

С помощью указанного приема удобно находить интегралы

вида ∫

dx

.

acos x +bsin x

+ c

dx

Пример 1. Найти интеграл ∫

.

4

+ cos x + 4sin x

Решение. Используя универсальную тригонометрическую

подстановку tg

x

= t,

при этом sin x =

2t

,

cos x

= 1 −t2 , dx =

2dt

,

1 +t2

получаем:

2

1 +t2

1+t2

2dt

dx

2dt

∫

= ∫

1 +t2

= ∫

=

4 + cos x + 4sin x

4 +

1

−t2

+

4 2t

4

+ 4t2 +1 −t2 +8t

1

+t2

1 + t2

2dt

2

dt

2

8

5

4 2

1

=

=

=

t

+

t +

= t

+

−

=

∫

3t

2

+8t +

5

3

∫

2

8

5

3

3

9

3

t

+ 3 t

+

3

4

1

x

2

dt

2 1

t +

−

t +1

tg

+1

∫

ln

3

3

+C =ln

+C =ln

2

+C.

=

= 3

3

4 2

1

2

1

t +

4

+

1

t +

5

tg

x

+

5

t +

−

3

3

3

3

2

3

3

9

Метод

интегрирования

функций R(sin x; cos x)

с

помощью

универсальной подстановки

u = tg

x

всегда приводит к интегри-

2

рованию рациональной функции, но именно в силу своей общности он часто является не наилучшим.

На практике применяют и другие, более эффективные в конкретных случаях подстановки. В частности,

1)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна sin x , т. е. R(−u; v)=−R(u; v), топодстановка cos x =t рационализируетинтеграл;

2)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна cos x , т. е. R(u; −v)=−R(u; v), топодстановка sin x =t рационализируетинтеграл;

125

3) если функция R(sin x; cos x) удовлетворяет свойству R(−u; − v) = R(u; v), то применима подстановка tgx = t , при этом

sin x =		t	, cos x =		1	, dx =			dt	;
		+t2			+t2		1		+t2
1			1

такаяжеподстановкаприменяется, еслиинтегралимеетвид ∫R(tgx)dx.

Пример 2. Найти интеграл ∫

dx

.

4 + cos2 x

Решение. Поскольку подынтегральная функция не меняется

при замене cos x на

(

−cos x), то используем подстановку tg x = t ,

при этом cos2 x =

1

,

dx =

dt

, тогда

1 + t2

1 + t2

∫

dx

= ∫

dt

= ∫

dt

= ∫

dt

= ∫

dt

=

4

+

cos

2

x

1

4

+

4t

2

+

1

4t

2 +

5

(2t)

2

(1+t2 )

4 +

+5

1+t

2

1

d(2t)

1

2t

1

2tgx

+C .

=

2 ∫

=

arctg

+C =

arctg

(2t )2 +(

5 )2

2

5

5

2

5

5

Пример 3. Найти ∫tg3 xdx .

Решение. ∫tg3 xdx =		tgx = t, x = arctgt					= ∫	t3dt	– подынтеграль-
				dt
		dx =						1 + t2
			1	+t2

ная функция представляет собой неправильную дробь. Поэтому разделим числитель на знаменатель:

_ t3

t2 +1

t3

= t −

t

.

t3 +t

t

t2 +1

t2

+1

−t

Тогда

d (t2

+1)

t3

t

tdt

t2

1

1

2

dt =

t

−

dt

=

tdt −

=

−

=

t

−

∫t

2

+1

∫

t

2

+1

∫

∫t

2

+

1

2

2

∫

t

2

+1

2

1

ln (t

2

+1)+C =

1

2

1

ln (tg

2

x +1)

2

1

−

tg

x −

+ C = tg

x

+1 =

=

2

2

2

cos

2

x

=

1 tg2 x −

1 ln

1

+C =

1 tg2 x + ln

cos x

+C .

cos2

x

2

2

2

126

Для нахождения интегралов вида ∫sinm x cosn xdx , где m и n – целые числа, используются следующие приемы:

1)подстановка sin x = t , если n – нечетное число;

2)подстановка cos x = t , если m – нечетное число;

3)	формулы понижения					порядка:			sin2 x = 1 (1 − cos 2x)	,
									2
							, еслиm иn – четные числа;
cos2 x = 1 (1 + cos 2x)		,		sin xcos x =		1 sin 2x
	2					2
4)	подстановка				, если m + n –			четное отрицательное
			tgx =t
число.
Пример 4. Найти ∫sin5 xdx .

Решение. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x , поэтому применяем подстановку cos x = t , тогда sin xdx = −dt

и ∫sin5 xdx = ∫sin4 xsin xdx = ∫(sin2 x)2 sin xdx = ∫(1 − cos2 x)2 sin xdx =

	= −∫(1 − t2 )2 dt = −∫												(1 − 2t2 + t4 )dt = −t +																			2 t3 −				1 t5			+ C =
									2 cos3				1 cos5 x +C.																			3				5
	= −cos x +									x −
									3				5
				Пример 5. Найти ∫cos4 xsin4 xdx .
				Решение. Под										интегралом									стоит									произведение											четных				сте-
							sin x и			cos x . Тогда													4						4					1						4				1		4
	пеней																				sin			xcos							x =					sin 2x							=		sin		2x	и
																																		2										16
												1											1
	∫cos4 xsin4 xdx =													∫sin4 2xdx =											∫(sin2 2x)2											dx =
											16
														2							16
		1					1													1																		1
	=							(1 − cos 4x)								dx =					x		−		2	∫		cos 4xdx								+			∫	(1	+ cos8x)dx							=
		16					2											64																				2
					∫
		1						2			1				1													1				3			1								1
	=				x		−		sin 4x	+			x +				sin8x				+ C				=								x −				sin 4x +							sin8x			+ C =
		64						4			2				16											64						2			2						16
	=	1				3x − sin 4x +								1 sin8x						+ C .
		128												8

При нахождении интегралов ∫sin(kx)cos(lx)dx, ∫cos(kx)cos(lx)dx, ∫sin (kx)sin (lx)dx используют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

127

sin αcosβ = 12 (sin (α −β)+ sin (α + β)), cos αcosβ = 12 (cos(α −β)+ cos(α + β)), sin αsin β = 12 (cos(α −β)− cos(α + β)).

Пример 6. Найти ∫sin 5xcos3xdx .

Решение. ∫sin 5xcos3xdx = 12 ∫(sin 2x + sin8x)dx = 12 (∫sin 2xdx +

	+∫sin8xdx)=	1			1		1			1		1
				−		cos 2x −		cos8x	+ C = −		cos 2x −			cos8x + C .
		2			2		8			4		16

Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей

			ax + b n1			ax + b nk
					m1			mk
1. Интегралы типа	∫	R x;				; ...;			dx , где
			cx + d			cx + d
m1 , ..., mk – целые; n1, ..., nk – натуральные; a, b, c, d							– действи-
тельные числа, причем c2 + d 2 ≠ 0 ,				сводятся к интегралам от ра-

циональной функции путем подстановки (заменой переменной):

							ax +b	=tν .
Тогда							cx + d
			x = dtν −b			и dx =		ad −bc			ν tν−1dt ,
								(a −ctν )2
				a −ctν
где ν = НОК{n1			, ..., nk } – наименьшее общее кратное знаменате-
лей дробей	m1	,	...,	mk	.
	n			n
	1			k						x; ...; m x )dx , где подын-
В частности, интегралы вида ∫R(x; k
тегральная	функция R(x; k x; ...;							m x ) –		рациональная функция

своих аргументов, рационализуются заменой переменной x =tν, dx = νtν−1dt ,

где ν = НОК{k, ..., m} .

128

Пример 1. Найти интеграл ∫	dx			.
	x + 2	3	x

Решение. Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция корней второй и третьей степеней, наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Тогда данный интеграл

может быть рационализован с помощью замены 6

x =t . Имеем:

dx

6

x =t, x =t6

6t5

6t3

t3

+8 −8

5

∫

=

dx =6t

dt

= ∫

dt = ∫

dt =6∫

t + 2

dt =

x + 23 x

t3 + 2t2

t + 2

x =t3 , 3

x =t2

= 6∫(t + 2)(t2

−2t + 4)dt −48

∫

dt

= 6∫(t2 −2t + 4)dt −48∫

d (t + 2)

=

t

+

2

=6t3

−12t2

t + 2

t + 2

+24t −48ln

t +2

+C =2

x −63 x +246 x −48ln(6 x +2)+C.

3

2

x −1

Пример 2. Найти ∫

dx .

x +1

Решение. Выполним замену переменной:

1 + t2

4t

x −1

= t,

x =

,

dx =

dt.

1 − t2

(

)

2

x +1

2

1 − t

∫

∫

x +1

4t

2

Тогда исходный интеграл примет вид

x −1

dx =

t

dt.

(

)

2

1 − t

Подынтегральная дробь правильная, раскладываем ее на

простейшие:

4t2

=

A

+

B

+

C

+

D

.

(1−t )2 (1+t )2

1

−t

(1

−t)2

1

+t

(1

+t)2

Приравниваем числители:

4t2

= A(1−t )(1+t )2 + B(1+t )2 +C (1+t )(1−t )2 + D(1−t )2

или

4t2 =t3 (−A+C)+t2 (−A+B −C +D)+t(A+2B −C −2D)+(A+B −C + D).

Так как знаменатель дроби имеет два действительных корня t = 1, t = –1, то находим B и D:

при t = 1 4 = 4B B = 1, при t = –1 4 = 4D D = 1.

129

Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся

методом неопределенных коэффициентов:

t3

0 =− A + C

t2

4 = −A + B −C + D

A = C = –1.

(

Получаем:

−1

1

1

dt

1

∫

)

dt + ∫

dt − ∫

dt + ∫

= ln

t −1

+

−ln

1+t

−

1−t

(1−t )2

1+t

(1+t )2

1−t

1

1−t

2t

1−

x −1

2

x −1

+C = ln

−

+C = ln

+

x +1

+

x +1

+C =

1

+t

1+t

1

−t2

1+

x −1

1−

x −1

x +1

x +1

x +1 − x −1

=

x2 −1 + ln

+C

= x2

−1 −ln

x + x2 −1

+ C .

x +1 +

x −1

ax2 + bx + c )dx, где a, b, c – дей-

2. Интегралы типа ∫R(x;

ствительные числа, причем a ≠ 0 ,

R(u; v)

– рациональная функция

переменных u, v. Подстановка x +

b

= u

позволяет выделить пол-

2a

ный квадрат под знаком корня. В результате исходный интеграл преобразуется к одному из следующих трех типов, которые с помощью дальнейших подстановок сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций:

∫R(x; ax2 + bx + c )dx = x + 2ba = u =

∫ (

R u;

= ∫R(u;∫R(u;

a2

− u2

)du =

u = asin t

= ∫R(sin t; cost )dt =... ,

a2

+ u2

)du =

u = atgt

= ∫R(sin t; cost )dt =... ,

u2

− a2

)du =

u =

a

= ∫R(sin t; cost )dt =... .

sin t

Пример. Найти ∫x2 25dx− x2 .

130