Марченко_Высшая математика

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРЫ

4.1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

4.1.1.Теоретический минимум

1.Определение матрицы, виды матриц.

2.Действия над матрицами.

3.Определители.

4.Обратная матрица.

5.Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

6.Решение систем методом Гаусса.

Определение матрицы, виды матриц

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел (или других математических объектов) – элементов матрицы, расположенных в m строках и n столбцах:

a11

a21

…am1

a12	… a1n
a22	… a2n		,
…	…
		…
am2	…	amn

aij – элемент, принадлежащий i-й строке и j-му столбцу матрицы; числа i, j называются индексами элемента.

Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C и т. д. или A = aij = aij m×n, если указываются элементы

и размер матрицы.

Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы:

A = B aij = bij , i =1, m, j =1, n .

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Она обозначается Om×n .

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. В квадратной матрице элементы a11, a22 , …, ann образу-

ют главную диагональ.

151

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Обозначается In или En . Например,

	1	0	0
E	= 0	1	0	– единичная матрица 3-го порядка.
3
		0
	0		1

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к матрице

A = aij m×n, обозначают AT = bij n×m, гдеbij = aji; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Если исходная матрица имеет размер m×n, то транспонированная к ней будет иметь размер n×m. Например, если

= −4 0 5

−4

1

B

,

то

BT

=

0

3 ;

2×3

1

3

3×2

−2

5

−2

4 6 −2

4 3

8

A =

0

, то

T

=

6 1

3 1

A

−5 .

−5 1

−2 0

1

8

Действия над матрицами			(C = A − B) двух матриц
Суммой	(разностью)	C = A + B
		называется	такая матрица		,
A = aij m×n и	B = bij m×n			C = cij m×n

элементы которой равны сумме (разности) соответствующих эле-

ментов матриц A и B, т. е. cij = aij +bij	(cij = aij −bij ), i =			, j =		.
			1, m		1, n
Отметим, что складываются матрицы одинаковых размеров.
		на число λ (или числа λ
Произведением матрицы A = aij m×n

на матрицу A ) называется матрица C = cij m×n , элементы которой

равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на λ,

т. е. cij = λ aij , i =1, m, j =1, n .

Записывают C = λ A или C = A λ .

152

Операции сложения, вычитания и умножения на число называют линейными операциями над матрицами. Выражение αA + βB

называется линейной комбинацией матриц A и B .

Пример.

	5 6 7		1 −1 3				A − B, A + 3B.
A =	и B =			. Найти A + B, 3B,
−1 2 3			2 0 7
Решение.
	5 +1 6 −1 7 +3 6 5 10					3B =	3 −3 9		;
A + B =			+ 0 3 +	=	;
	−1 + 2 2			7 1 2 10			6 0 21
	4 7 4	;	A + 3B =	5 + 3 6 − 3 7 + 9 8 3 16
A − B =					+ 0 3	=			.
−3 2 −4				−1 + 6 2		+ 21 5 2 24

Произведением матрицы A размера m×s на матрицу B раз-

мера s×n называется матрица C размера m×n, элементы которой

равны cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aisbsj, т. е. чтобы получить cij, нужно элементы i-й строки A умножить на соответствующие элементы j-го столбца B и полученные произведения сложить.

Согласно этому определению, произведение матриц существует, если число столбцов первой из них равно числу строк второй.

Например,

3	2		−1 3 1 1		5 13
C = A B =				=	.
1	4		2 −2 5	7	−5 21

Элемент c11 получаем, умножив элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B и сложив эти произведения, т. е.

c11 = 3 (−1) + 2 2 = −3 + 4 =1.

Аналогично

c12 = 3 3 + 2 (−2) = 5; c13 = 3 1 + 2 5 =13; c21 =1 (−1) + 4 2 = 7; c22 =1 3 + 4 (−2) = −5; c23 =1 1 + 4 5 = 21.

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно перемножить. Например, произведение

−1		3	1	3	2
B A =	2	−2
			5	1	4

не существует, т. к. строка матрицы B2×3 содержит 3 элемента, а столбец матрицы A2×2 только 2 элемента.

153

Для квадратных матриц одного порядка оба произведения A B и B A существуют, но в общем случае A B ≠ B A .

Например,

	−3 4 2				−1		6 19		2		−1			−3 4			−11 7
	5 1			3	4		=		, а	3	4			5 1		=	.
							13	−1									11 16

Определители

Определитель – это числовая характеристика (функция) квадратной матрицы.

Определитель матрицы обозначают символами det A, A или буквами D, и др. Записывают определитель в виде такой же таблицы, как и матрицу, используя вместо скобок вертикальные линии.

Определитель матрицы вычисляется по следующему правилу.

Определитель

квадратной

матрицы

1-го

порядка:

det A = det

[a11 ]= a11 .

Определитель квадратной матрицы 2-го порядка:

det A = det

a11

a12

=

a11

a12

= a11

a22

− a12 a21 .

a

a

a

a

21

22

21

22

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка:

a11

a12

a13

det A = det

a

a

a

=

21

22

23

a32

a31

a33

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

=

a

a

a

= a

− a

+ a

.

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

Определитель квадратной матрицы n-го порядка:

det a

=

a A

+

+ a A +

+ a

A

=

ij

n×n

разложение

i1 i1

ij

ij

i n i n

по i-й строке

=

a1 j A1 j +

+ aij Aij +

+ anj Anj ,

разложение

по j-му столбцу

где A = (−1)i+ j

M

ij

– алгебраическое дополнение к элементу aij

ij

определителя; Mij – определитель (минор) матрицы, получающийся из исходной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

154

Например,

		4	2		= 4 9 − 2 7 = 22 ;								−1 3			= −1 5 −		3 2 = −11;
		7	9										2	5
	2		1			3		0	−2					4 −2				4 0
	4		0			−2	= 2				−1						+ 3		=
		−1 3				4		3	4					−1	4			−1 3

= 2 (0 + 6)−1 (16 − 2)+ 3 (12 + 0)=12 −14 + 36 = 34.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю ( det A ≠ 0 ). В противном случае ( det A = 0 ) матрица A называется вырожденной.

Обратная матрица

Матрица A−1 называется обратной для квадратной матрицы A , если A A−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица того же порядка, что и A .

	Всякая невырожденная матрица A = a						имеет (единствен-
						ij
ную) обратную к ней матрицу A−1 , определяемую соотношением
A−1 =				1	A	T , где элемент Aij матрицы	Aij	является алгеб-
			det A		ij
раическим дополнением к элементу aij матрицы A.
	Пример. Найти матрицу A−1 , обратную для матрицы
		2		1	3
A =		4		0
					−2 .
				3	4
	−1

Решение.

1.Вычислим определитель det A = 34 ≠ 0 .

2.Находим алгебраические дополнения:

A =(−1)1+1						0		−2					=6,		A		=(−1)2+1				1				3		=5, A						=(−1)3+1			1	3							=−2,
11						3			4						21						3				4							31				0					−2
A	=(−1)1+2						4 −2							=−14,		A		=(−1)2+2						2				3			=11,		A	=(−1)3+2				2 3							=16,
12				−1					4							22								−1				4					32					4			−2
A	=(−1)1+3						4 0						=12,		A		=(−1)2+3					2 1							=−7,				A	=(−1)3+3						2 1				=−4.
13							−1		3						23							−1			3								33							4	0

155

		3. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:
				6			5		−2
		T		−14		11
Aij			=						16 .
				12
						−7 −4
		4. Вычисляем обратную матрицу:
			1						1		6	5	−2
A	−1						T
										−14		11	16 .
								= 34
		= det A Aij
											12	−7
													−4

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

Система n уравнений с n неизвестными называется линейной, если она имеет вид

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,
a21x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2 ,
				…
a	x	+ a	x	+…+ a x	= b ,
	n1 1		n2 2	nn n	n

где aij – коэффициенты при неизвестных и bi – свободные члены (i =1, n ; j =1, n ) – заданные числа.

Упорядоченный набор чисел ( c1; c2 ; …; cn ) называется реше-

нием системы, если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо x1 , x2 , ..., xn соответ-

ственно чисел c1 , c2 , …, cn .

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения,

называется несовместной.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т. к. она всегда имеет нулевое решение.

156

	a11	a12	… a1n
Определитель =	a21	a22	… a2n	,
	…	… … …
	an1	an2	… ann

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется

определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по форму-

лам Крамера

			x =	1 ,	x = 2	, ...,	x = n ,
			1		2		n
где j ( j =									заменой j-го
		) – определитель,				полученный из
	1, n

столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 1. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.

x + 2x

+ 3x

= 2,

1

2

3

3x1 + 4x2 − x3 = 0,

7x +10x

−5x

= −4.

1

2

3

Решение. Вычислим определитель системы

1

2

3

4 −1

3

−1

3 4

=

3 4 −1

=1

− 2

+ 3

=12 .

7

10

−5

10

−5

7

−5

7

10

Так как

=12 ≠ 0 , система совместна и имеет единственное

решение.

1,

2,

3.

Вычислим определители

Определитель

1

получим

из

, заменив

первый столбец

столбцом свободных членов системы, т. е.

2

2

3

4

−1

0 −1

0 4

1 =

0

4 −1

= 2

− 2

+3

= 36 .

−4 10 −5

10

−5

−4

−5

−4

10

x

=

1 = 36

=3.

Следовательно,

1

12

157

Определитель					2 получится из				заменой 2-го столбца столб-
цом свободных членов, а						3 – заменой 3-го столбца столбцом сво-
бодных членов. Вычислим их:
	1	2	3				1	2	2
2 =	3	0	−1	= −24,		3 =	3	4	0	=12.
	7	−4	−5				7	10	−4
	Следовательно			,
x = 2		= −24 = −2 ,			x = 3 = 12			=1.
2		12			3	12

Решение системы имеет вид (3; − 2;1).

Пример 2. Найти решения систем 2-го порядка; дать геометрическую интерпретацию полученного результата:

1) 3x + 2 y = 5,	2) 2x −3y =1,	3)		2x −3y =1,
4x +5y = 2;	4x −6 y =8;			4x −6 y = 2.
Решение.			3	2
1) определитель системы равен		=			=15 −8 = 7 ≠ 0 . Сле-
			4	5

довательно, система имеет единственное решение.

Так как

1 =

5

2

= 25 − 4

= 21,

2 =

3

5

= −14,

2

5

4

2

то x =

1 =

21

= 3, y = 2

= −14 = −2.

7

7

Найденное

решение

(3; − 2)

–

точка

пересечения прямых

3x + 2y =5 и 4x +5y = 2;

2

−3

2) так как определитель системы

=

= 0,

решить сис-

4

−6

тему по формулам Крамера нельзя.

Однако можно легко исследовать эту систему, исходя из того, что каждое уравнение системы – это уравнение прямой. Прямые 2x −3y =1 и 4x −6 y =8 (или 2x −3y = 4 ) параллельны и не имеют общих точек. Следовательно, данная система несовместна;

	3) в этом случае определитель системы также равен нулю:
2	−3	= 0,	но в отличие от решения второй системы оба уравнения
4	−6

2x −3y =1 и 4x − 6 y = 2 определяют одну и ту же прямую (сократив

158

обе части второго уравнения на 2, получим первое). Следовательно, данная система имеет бесчисленное множество решений – ими будут все точки прямой 2x −3y =1. Эти решения можно записать

в виде				1		3
	1+3c				+		c,
y = c, x =		x =		2		2		c .
	2	, т. е.
			y = c,

Решение систем методом Гаусса

Метод Гаусса является наиболее универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система уравнений

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,
a21x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2 ,
		…
a x	+ a x	+…+ a x	= b .
m1 1	m2 2	mn n	m

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду (см. примеры 1, 2). На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной системы.

Опишем прямой ход метода Гаусса. Будем считать, что в исходной системе элемент a11 ≠ 0 . Если же a11 = 0 , то первым в сис-

теме запишем то уравнение, в котором коэффициент при x1 отли-

чен от нуля. Преобразуем исходную систему, исключив неизвестное x1 во всех уравнениях, кроме первого (см. примеры 1, 2). По-

лучим эквивалентную исходной систему в виде

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,
	*			*	*
		a22 x2		+…+ a2n xn	= b2 ,
				…
	*			*	*
		am2 x2		+…+ amn xn	= bm.
Здесь a* , b* (i, j	=		) – новые значения неизвестных и пра-
		2, m
ij i

вых частей. Затем, считая a22* ≠ 0 , исключим неизвестное x2 из всех

159

уравнений системы, кроме первого и второго. Продолжая указанный процесс, пока это возможно, мы придем к системе ступенчатого (или треугольного) вида

a11x1 + a12 x2		+ … + a1n xn = b1,
	*	+	*	*	,
	a22 x2		… + a2n xn = b2			(k ≤ n)
			…
		ckk xk +…+ ckn xn = dk ,

где a11 ≠ 0 ; a22* ≠ 0 , ..., ckk ≠ 0 .

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появляется уравнение вида 0 = 0, то его отбрасывают. Если же появляется уравнение вида 0 = bi и bi ≠ 0 , то это свидетельствует о несовместности системы.

Обратный ход метода Гаусса заключается в решении ступенчатой системы. Рассмотрим его сначала для частного случая, когда k = n и ступенчатая система имеет так называемый треугольный вид

	a11 x1 + a12 x2
	*
	a22 x2
	cn−1n xn−1

+… + a1n xn = b1 ,

+… + a2*n xn = b2* ,

… (k = n)

+… + cn−1n xn = dn−1 ,

cnn xn = dn .

Из последнего уравнения находим xn, затем, подставляя xn в предпоследнее уравнение, находим xn–1. Продолжая этот процесс, найдем единственное решение системы (x1, x2 , …, xn ) (см. пример 1).

Если в ступенчатой системе k < n , то из последнего уравнения системы выражаем xk через xk+1, xk+2, …, xn. Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение и выражаем xk–1 через xk+1, xk+2, …, xn. Продолжая этот процесс, выразим неизвестные x1, x2, …, xk через xk+1, xk+2, …, xn, которые называются свободными неизвестными. Придавая свободным неизвестным (xk+1, xk+2, …, xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы (см. пример 2).

Пример 1. Решить систему методом Гаусса:

x1 + 2 x2 + 2 x3 = 3,

2x1 + 3x2 + 5x3 =10,

3x1 + 7 x2 + 4 x3 = 3.

160