Марченко_Высшая математика

О

Окружность 184 Определитель 154

П

Парабола 184 Первообразная 106 Пересечение множеств 8 Плоскость 187 Правило Лопиталя 75 Предел 24 Приращение функции 51 Проекции вектора 168

Произведение векторов векторное 173

–– скалярное 171

–– смешанное 175 Производная 63

–обратной функции 65

–сложной функции 65

–параметрически заданной функции 68 Производные высших порядков 66

–функций, заданных неявно 68

Пространство \n 9 Прямая в пространстве 190

– на плоскости 180

С

Сложение векторов 166

– матриц 152

Т

Таблица производных 66

– простейших интегралов 109

Теорема Вейерштрасса 54

–– вторая 54

–Коши 75

–Лагранжа 75

–Ролля 75

Точка минимума 87

– перегиба 92

У

Угол между векторами 171

–– плоскостями 189

–– прямыми 181 Умножение матриц 153

Ф

Функция возрастающая 17

–монотонная 19

–невозрастающая 18

–неубывающая 18

–нечетная 15

–обратная 14

–периодическая 16

–показательная 19

–степенная 19

–тригонометрическая 19

–убывающая 17

–четная 15

Э

Эксцентриситетгиперболы186

– эллипса 185 Эллипс 185

201

	ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ......................................................................................		3
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ........		5
1.1.	Множества и функции...............................................................	5
	Теоретический минимум...........................................................	5
	Понятие множества. Основные числовые множества. Логи-
	ческая символика.......................................................................	5
	Операции над множествами.....................................................	8
	Грани числовых множеств. Символы +∞, −∞, ∞ и их свой-
	ства .............................................................................................	9
	Понятие отображения. Функция как отображение числовых
	множеств...................................................................................	10
	Способы задания функций одной переменной.....................	12
	Свойства функций одной переменной...................................	15
	Элементарные функции..........................................................	19
1.2.	Теория пределов.......................................................................	23
1.2.1. Теоретический минимум.........................................................		23
	Окрестность конечной и бесконечно удаленной точек.......	23
	Понятие предела функции. Односторонние пределы..........	24
	Бесконечно малые и бесконечно большие функции............	29
	Основные теоремы о пределах...............................................	31
	Замечательные пределы..........................................................	33
	Вычисление пределов..............................................................	35
	Раскрытие некоторых видов неопределенностей.................	38
1.2.2. Вопросы для самоконтроля.....................................................		46
1.2.3. Практический минимум..........................................................		47
	Минимум для аудиторной работы.........................................	50
1.2.4. Ответы .....................................................................................		50
1.3.	Непрерывность функции.........................................................	51
1.3.1. Теоретический минимум.........................................................		51
	Непрерывность функции в точке. Свойства функций, не-
	прерывных в точке...................................................................	51
	Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций,
	непрерывных на отрезке .........................................................	54
	Точки разрыва функции и их классификация.......................	55
1.3.2. Вопросы для самоконтроля.....................................................		60
1.3.3. Практический минимум..........................................................		60

202

Минимум для аудиторной работы.........................................	61
1.3.4. Ответы .....................................................................................	62
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЯ...............................................................................	63
2.1. Основные понятия и техника дифференцирования.............	63
2.1.1. Теоретический минимум.........................................................	63
Определение производной. Дифференцируемость функции 63
Техника дифференцирования.................................................	65
Производные функций, заданных параметрически.............	68
Производные функций, заданных неявно.............................	68
Логарифмическое дифференцирование ................................	69
Геометрический и физический смысл производной............	70
Дифференциал функции .........................................................	72
Теоремы о дифференцируемых функциях............................	75
Правило Лопиталя ...................................................................	75
2.1.2. Вопросы для самоконтроля.....................................................	78
2.1.3. Практический минимум...........................................................	79
Минимум для аудиторной работы.........................................	84
2.1.4. Ответы .....................................................................................	84
2.2. Исследование функций и построение графиков...................	86
2.2.1. Теоретический минимум.........................................................	86
Возрастание и убывание функции.........................................	86
Максимум и минимум функции.............................................	87
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 91
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба ..........	92
Асимптоты графика функции.................................................	94
Общая схема исследования функции и построения графика	96
2.2.2. Вопросы для самоконтроля...................................................	100
2.2.3. Практический минимум........................................................	101
Минимум для аудиторной работы.......................................	102
2.2.4. Ответы ...................................................................................	103
Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ...........................	106
3.1. Теоретический минимум.......................................................	106
Первообразная, ее общий вид и существование, опреде-
ление неопределенного интеграла......................................	106
Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица
простейших интегралов ........................................................	108

203

	Непосредственное интегрирование.....................................	110
	Замена переменной в неопределенном интеграле..............	112
	Интегрирование по частям в неопределенном интеграле 115
	Интегрирование рациональных функций ...........................	117
	Метод рационализации: интегрирование функций, рацио-
	нально зависящих от тригонометрических.........................	124
	Метод рационализации: интегрирование простейших ир-
	рациональностей....................................................................	128
3.2.	Вопросы для самоконтроля...................................................	133
3.3.	Практический минимум........................................................	135
	Минимум для аудиторной работы.......................................	142
3.4.	Ответы ...................................................................................	142
Глава 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРЫ.........................		151
4.1.	Линейная алгебра...................................................................	151
4.1.1. Теоретический минимум.......................................................		151
	Определение матрицы, виды матриц...................................	151
	Действия над матрицами.......................................................	152
	Определители.........................................................................	154
	Обратная матрица .................................................................	155
	Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы
	Крамера...................................................................................	156
	Решение систем методом Гаусса..........................................	159
4.1.2. Вопросы для самоконтроля...................................................		162
4.1.3. Практический минимум........................................................		163
	Минимум для аудиторной работы.......................................	165
4.1.4. Ответы ...................................................................................		165
4.2.	Векторы...................................................................................	165
4.2.1. Теоретический минимум.......................................................		165
	Понятие вектора.....................................................................	166
	Линейные операции над векторами.....................................	166
	Векторный базис, координаты вектора...............................	167
	Скалярное произведение двух векторов..............................	171
	Векторное произведение двух векторов..............................	173
	Смешанное произведение трех векторов............................	175
	Пространство \n ...................................................................	176
4.2.2. Вопросы для самоконтроля...................................................		176
4.2.3. Практический минимум........................................................		177
	Минимум для аудиторной работы.......................................	178
4.2.4. Ответы ...................................................................................		179

204

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 180
5.1.	Теоретический минимум.......................................................	180
	Прямая на плоскости.............................................................	180
	Кривые второго порядка.......................................................	184
	Плоскость в пространстве.....................................................	187
	Прямая в пространстве..........................................................	190
5.2.	Вопросы для самоконтроля...................................................	193
5.3.	Практический минимум........................................................	195
	Минимум для аудиторной работы.......................................	197
5.4.	Ответы ...................................................................................	197
ЛИТЕРАТУРА................................................................................		199
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ...................................................		200

205

Учебное издание

Марченко Владимир Матвеевич Асмыкович Иван Кузьмич Борковская Инна Мечиславовна и др.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Â2-õ частях Часть 1

Учебное пособие

Редакторы О. А. Готовчик, М. В. Лобач

Компьютерная верстка П. В. Прохоровская

Подписано в печать 24.12.2010. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 12,0. Уч.-изд. л. 12,4.

Тираж 1200 экз. Заказ .

Отпечатано в Центре издательско-полиграфических и информационных технологий учреждения образования

«Белорусский государственный технологический университет». 220006. Минск, Свердлова, 13а.

ЛИ № 02330/0549423 от 08.04.2009. ЛП № 02330/0150477 от 16.01.2009.

Переплетно-брошюровочные процессы произведены в ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа».

220600. Минск, Красная, 23. Заказ .

206