Марченко_Высшая математика

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением a b векто-

	ров	a и b	называется число (скаляр), рав-	b
	ное	произведению модулей этих векторов

на косинус угла a b = ϕ между ними:

a b = a b cos a b.

ϕ

a

Если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат координатами a ={xa ; ya ; za}, b ={xb ; yb ; zb}, то

a b = xa xb + ya yb + za zb .

Свойства скалярного произведения

1.a b = b a .

2.a (b + c) = a b + a c .

3.a a = a 2 .

4.a b = a npab = b npb a.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) условие ортогональности (перпендикулярности) ненулевых векторов:

ab a b = 0 xa xb + ya yb + za zb = 0 ;

2)косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен:

cos a b=	a b		xa xb + ya yb + za zb						;
	a b =
		x2	+ y2 + z2		x2	+ y2 + z2
		a	a	a	b	b	b
3) работа A постоянной по величине и направлению силы F
по перемещению материальной точки на вектор s							равна A = F s
(физический смысл скалярного произведения).
Пример 1. Две силы F1 ={4; 1; 3}				и F2 ={3; −1; 2}					приложены

в точке M (1; 4; 7) . Вычислить работу их равнодействующей R по перемещению материальной точки из M в N (3; 8; 5) .

Решение. Найдем координаты равнодействующей сил R и вектора перемещения s = MN :

171

R = F1 + F2 ={4 +3; 1−1; 3 + 2} ={7; 0; 5},

s = MN ={3 −1; 8 − 4; 5 − 7} ={2; 4; − 2}.

Тогда работа равна

A = R s = 7 2 + 0 4 + 5 (−2) =14 −10 = 4 .

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника ABC :

A(1; − 2; −1), B(5; 2; −3), C(4; − 2; 3) .

β

C

Найти: а) длину стороны AB ; б) проекцию

α

B

стороны AB на

AC , т. е. AD ; в) внутрен-

D

ний угол при вершине A ; г) внешний угол

A

при вершине B .

Решение. Найдем координаты векторов AB ={4;4;−2},

AC ={3;0; 4}, BC ={−1;−4;6} :

а) длина стороны AB равна

AB

= 42 + 42 + (−2)2 = 6 ;

б) находя длину вектора AC :

AC

=

32 + 02 + 42 = 5, получаем:

np

AC

AB

= AB AC = 4 3 + 4 0 − 2 4 = 12 −8 = 0,8;

AC

5

5

в) для угла α = AB AC имеем:

cos α =

AB AC

4

2

, α = arccos

2

;

=

=

AB

AC

6 5

15

15

г) для угла β = AB BC имеем:

AB BC

4 (−1) +4 (−4) −2 6

−32

16

cosβ=

=

=

, β=π−arccos

.

AB

BC

6

53

6 (−1)2 +(−4)2 +62

3 53

Пример 3. Найти проекцию вектора

a ={4; 2; −6}

на ось

l ,

образующую с осью Ox угол α =120°, с осью Oy – угол β =45° и тупой угол с осью Oz .

Решение. Введем вектор el ={cos α; cosβ; cos γ} – единичный вектор направления l .

Из условия cos2 α + cos2 β+ cos2 γ =1 находим cos γ:

172

cos	2	γ =1 − cos	2	α − cos		2	β =1							1 2				2	2		1	, т. е. cos γ = ±	1	.
												−	−			−				=			2
																		2			4
														2								1
		Так как γ
				– тупой угол, нужно взять cos γ = −2 .
								1				2
														1
Следовательно, el = −									;				; −	.
								2			2
														2
		Находим проекцию:
np a = np a = a			el = a e = 4									−	1	+2	2		−6			−1		= −2 + 2 +3 =1+ 2.
l		el	el			l										2				2
													2
		Векторное произведение двух векторов
		Три некомпланарных,										упорядоченных вектора a, b, c , приве-

денные к общему началу, называют правой тройкой векторов, если кратчайший поворот от a к b виден из конца вектора c против хода часовой стрелки.

Если же этот поворот виден по ходу часовой стрелки, то тройка векторов называется левой.

		c						c
				b					a
						a			b
	Декартов базис i , j, k
								образует правую тройку.

Векторным произведением вектора a на b называется вектор

c= a ×b , обладающий свойствами:

1)c a, c b ;

2)a, b, c образуют правую тройку;

3)c = a b sin a b .

Свойства векторного произведения

1. Если a ={xa ; ya ; za}, b ={xb ; yb ; zb}, то

i

j

k

ya

za

xa

za

xa

ya

a ×b =

x

y

a

z

a

= i

− j

+ k

.

a

yb

zb

xb

zb

xb

yb

xb

yb

zb

173

2.a ×b = −b ×a .

3.a ×(b + c) = a ×b + a ×c .

4. a ×b = 0 a || b при a ≠ 0, b ≠ 0 .

5. Площади параллелограмма и треугольника							b
			1
S =	a ×b	S =			a ×b	.
			2				a

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1; –1; 2), B(5; –6; 2), С(1; 3; –1). Найти его площадь и высоту BK.

Решение.

BПлощадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на век-

C

торах AB и AC , т. е. S =

1 S

= 1

AB × AC

.

A

K

2

2

Найдем координаты векторов AB и AC и их векторное про-

изведение:

AC ={0; 4; −3},

AB ={4; − 5; 0},

AB × AC =

i

j

k

=i

−5 0

− j

4 0

+ k

4

−5

=15i +12 j +16k.

4

−5 0

0

4

−3

4

−3

0

−3

0

4

1

1

Следовательно, S

1

25 =12,5 (ед2.).

= 2

225 +144 + 256 = 2

625

= 2

С другой стороны, S =

1 AC BK

, отсюда

2 S

12,5 2

2

BK =

=

= 25 = 5 (лин. ед.).

AC

0 +16 +

9

5

Пример 2. Найти

единичный

вектор

x ,

перпендикулярный

векторам a ={4; 1; 3} и b ={4; 0; 2}.

Решение. Вектор c = a ×b будет перпендикулярен векторам a

и b. Найдем его:

c =

i

j

k

= i

1

3

− j

4

3

+ k

4

1

={2; 4; − 4}.

4 1 3

0 2

4 2

4 0

174

4

0

2

Модуль вектора c равен c = 22 + 42 + (−4)2 = 6.

Следовательно, единичные векторы, перпендикулярные a и b, будут иметь вид

e1	=	1	1	;	2	; −	2		,	e2 = −	1		1	; −	2	;	2
		6	c =		3		3				6	c = −	3		3		.
			3														3

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением abc трех векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора a ×b и вектора c .

По определению abc = (a ×b) c .

Свойства смешанного произведения

1.abc = (a ×b) c = a (b ×c) = bca = cab = −acb = −cba .

2.Если a ={xa ; ya ; za}, b ={xb ; yb ; zb}, c ={xc ; yc ; zc}, то

xa

ya

za

yb

zb

xb

zb

xb

yb

abc =

x

y

z

= x

− y

+ z

.

b

b

b

a

y

c

z

c

a

x

z

c

a

x

y

c

xc

yc

zc

c

c

3. Объем параллелепипеда, тре- 4. Объем пирамиды угольной призмы

c

c

b

b

a

Vпир = 1

a

V

,

Vпризмы = 1

abc

abc

.

=

abc

.

пap

2

6

5. abc = 0 a , b , c – компланарны.

Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={−5; 3; 2}, b ={−6; 3; 4}, c ={−8; 6; −5}.

Решение. Объем параллелепипеда равен V = abc . Найдем смешанное произведение векторов a, b, c :

175

n×1 .

abc =		−5	3	2
		−6	3	4	= −5 (−15 − 24) −3 (30 + 32) + 2 (−36 + 24) = −15.
		−8	6	−5

Следовательно, V = −15 =15 (куб. ед.).

Пример 2. Доказать, что точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),

D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Решение. Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, если векторы AB , AC , AD компланарны, т. е. если смешанное произведе-

ние AB AC AD = 0. Найдем координаты этих векторов и их смешанное произведение:

AB ={−1; −1; 6}, AC ={−2; 0; 2}, AD ={1; −1; 4},

	−1 −1	6
AB AC AD =	−2 0	2		= −1 (0 + 2) +1 (−8 − 2) + 6 (2 −0) = 0 .
	1 −1	4
Следовательно, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.
Пространство		n

Множество векторов на плоскости и в пространстве, заданных своими координатами, с линейными операциями покоординатного сложения и умножения на числа допускает естественное обобщение на случай n координат, когда векторы рассматриваются как

элементы n-мерного (числового) пространства	n . Обычно про-
странство n отождествляется с множеством	матриц-столбцов

размера n×1 со стандартными операциями сложения матриц и умножения их на числа: n =

4.2.2.Вопросы для самоконтроля

1.Дан ABC . Чему равна сумма AB + BC + CA ?

2.	Какие		из векторов a , 2 a ,				( −3a )		имеют а) одинаковое;
б) противоположное направление?
3.	Дано b = 4a . Как выразится					b	через		a	?
4.	Дано		a		= 3. Как выразится		через		a единичный вектор
а) имеющий			то		же направление, что и a ;			б) имеющий направле-
ние, противоположное a ?

176

5.Какому условию удовлетворяют координаты коллинеарных векторов?

6.Когда проекция ненулевого вектора на ось равна нулю?

7.Когдаскалярноепроизведениененулевыхвекторовравнонулю?

8.Какие углы (острые или тупые) образует вектор a ={−4; 3; 2}

скоординатными осями? Чему равна npOxa ?

9.Как найти площадь треугольника, построенного на задан-

ных векторах a и b ?

10. Как найти объем параллелепипеда, построенного на трех

заданных векторах a, b, c ?
11. Будет	ли справедливым равенство		AB = CD ,		если
A(2; −1; 4), B(0; 5; 9), C(−1; 0; − 2), D(−3; 6; 3) ?
12. Как определяется пространство		n ?
	4.2.3. Практический минимум
1. Даны векторы с координатами a ={1; −3; 5},				b ={2; 0; −1},
c ={−4; 6; − 2}. Найти координаты векторов 2a ,			−3b , 2a −3b + c
и проекции npOya, npOxb .
2. Найти	координаты и модуль	вектора		AB ,	если
A(2; 4; −3), B(5; 0; 9) .

3. Даны координаты вектора AB ={4; −5; 7} и координаты точки

A(2; 1; −8). Найти координаты точки B и проекцию AB на ось Oz. 4. Найти значения α и β, при которых векторы a и c колли-

неарны, если a ={−3; α; 2}, c ={β; 12; −6}. Установить, будут ли

эти векторы иметь одинаковое направление.									если a ={3; − 4; 5},
5.	Найти значение λ, при котором a b ,
b ={λ; 1; − 4}.
6.	Дано		a		= 3,		b	=5 . Найти значение	λ, при котором
(a + λb) (a −λb) .
7.	Найти единичные векторы e1 и e2 , если e1 имеет то же на-
правление, что AB ,						e2 имеет направление, противоположное на-
правлению AB и A(5; −3; 4) , B(−7; 1; 1) .

177

8. Даны векторы a ={−4; 2; 4} и b ={0; −3; 4}. Найти a b и косинус угла a b между ними.

9. Даны	вершины четырехугольника A(1; 4; 0), B(−4; 1; 1),
C(−5; −5; 3),	D(1; − 2; 2) . Доказать, что его диагонали AC и BD

перпендикулярны.

10. Даны координаты вершин треугольника A(1; 2; 4), B(−3; 2; 1), C(4; 2; 0) . Найти внутренний угол α при вершине A и внешний угол γ при вершине C.

11.Найти проекцию вектора a ={2; − 4; 4} на ось l, составляющую с a угол ϕ = 56π .

12.Даны векторы a ={1; 2; − 2}, b ={−5; 0; 1}, c = 3i + 4 j . Найти npc (2a −b) , направляющие косинусы вектора a .

13.	Даны векторы a ={4; −5; 3}	и b ={−4; 0; 2}.	Проверить,
что a ×b = −b × a и найти площадь параллелограмма,			построенно-
го на этих векторах.		ABC A(−1; 3; 1),	B(2; −1; 1),
14.	Даны вершины треугольника

C(2; −6; 5). Найти его площадь и высоту, опущенную на сторону AB. 15. Даны векторы a ={2; − 4; −5}, b ={−4; 1; 6}, c ={5; −5; −1}.

Найти смешанные произведения abc , acb , cab .

16. Проверить компланарность векторов a ={3; − 4; 7}, b ={1; 2; −3}, c ={2; −1; 2}.

17. Доказать,	что точки A(1; 2; 0), B(4; 3; 4), C(2; −3; − 2) ,
D(3; 0; 1) лежат в	одной плоскости.

18.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах m ={5; 2; −6}, n ={0; 6; −8}, p ={−2; 4; −6}.

19.Найти объем тетраэдра, вершины которого находятся в

точках A1 (1; 6; 2), A2 (5; 0;6), A3 (5; 5; 4), S(4; 8; 9) .

20. Найти высоту треугольной призмы, вершины которой на-

ходятся в точках A1 (1; 1; 1), A2 (2; 0; 2), A3 (2; 2; 2), B1(3; 4; −3) .

Минимум для аудиторной работы

1; 2; 4; 5; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 16; 19; 20.

178

4.2.4. Ответы

1. 2a ={2; −6; 10},

−3b ={−6; 0; 3},

2a −3b + c ={−8; 0; 11};

Oy

Ox

2. AB =

{

}

,

AB

=13.

np a = −3,

np b = 2.

3; −4; 12

3. B(6; − 4; −1), npOz AB = 7 .

4. α = −4, β = 9, c = −3a ,

т. е.

a ↑↓ c .

12

4

3

12

4

3

5. λ = 8 .

6. λ = ±0,6 .

7. e1 = −

;

; −

, e2

=

; −

;

.

13

13

13

13

13

13

8. a b =10, cosϕ=1. 10. α=90°, γ=135°. 11. −3

3.

12.

np

(2a −b) =7,4;

3

Oy

cos α = 1 , cosβ = 2 , cos γ = −

2 .

13. S = 30 .

14. S =12,5; H = 5 .

3

3

3

15. abc = cab = −121, acb =121. 18. V = 60 . 19. V = 22 . 20. H = 3

2 .

179

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

5.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

1.Прямая на плоскости.

2.Кривые второго порядка.

3.Плоскость в пространстве.

4.Прямая в пространстве.

Прямая на плоскости

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy , то уравнение первой степени относительно x и y

Ax + By + C = 0, (A2 + B2 ≠ 0)

является уравнением прямой, лежащей в плоскости Oxy . Это уравнение называется общим уравнением прямой.

И наоборот, всякая прямая в плоскости Oxy определяется уравнением первой степени относительно x и y. В зависимости от особенностей (используемой информации) расположения прямой эти уравнения записываются в разной форме. Их вид и характеристика приведены ниже в табл. 5.1.

			Таблица 5.1
		Виды уравнений прямой на плоскости
	Данные, определяющие прямую		Уравнение прямой
		k = tgα –
	b	угловой	y = kx + b
		коэффициент

αпрямой

Прямая с угловым коэффициентом проходит

через точку M0 (x0 ; y0 )

y − y0 = k(x − x0 )

Прямая проходит через две заданные точки

x − x1

=

y − y1

M1 (x1; y1 ) и M2 (x2 ; y2 )

x − x

y − y

2

1

2

1

Прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b

x

+

y

=1

a

b

b

a

180