Лекции
.pdf3. Правила вычисления производных(производная суммы, произведения, частного и сложной функции).
15 марта 2014 г. |
20:11 |
Производная суммы равна сумме производных (если обе производные существуют) - доказывается через определение производной с применением арифметических преобразований пределов.
Производная произведения
Производная частного
Производная сложной функции
тогда
доказательство
1)
2)
3) т. к. |
, то |
МА2Ч1 Стр.91
4. Инвариантность формулы первого дифференциала.
15 марта 2014 г. |
20:13 |
Эксперимент: попробуем продифференцировать сложную функцию один раз.
различий в формах дифференциала сложной функции и функции от простой переменной(см. билет 1) не найдено - это и есть инвариантность формы первого дифференциала
МА2Ч1 Стр.92
5. Производная обратной функции.
15 марта 2014 г. |
20:13 |
Теорема
1.
2.
3.
тогда
доказательство
т.к. - строго монотон., то т.к. - непрерыв., то
МА2Ч1 Стр.93
6. Производная параметрически заданной функции.
15 марта 2014 г. |
20:14 |
Функция задана формулой
Найдём её производную: для этого надо посчитать предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
запишем эти приращения, как дифференциалы функций и , ведь дифференциал функции - это её приращение, зависящее от приращения ее аргумента
видим следующие зависимости:
составляем предел:
Производная второго порядка:
Производная остальных порядков по индукции
МА2Ч1 Стр.94
7. Производные и дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы дифференциалов высших порядков.
15 марта 2014 г. |
20:15 |
Опр.
тогда
1)- независимая переменная -зафиксируем
-обозн. за дифференциал
уфункц. сущ. производная 2 порядка, тогда
-второй дифференциал
2)- функция, т.е.
В зависимости от того, что представляет из себя : функцию или переменную, меняется формула второго дифференциала (и не только второго, по индукции), что является нарушением инвариантности формы дифференциалов высших порядков.
МА2Ч1 Стр.95
8. Теорема Ферма.
15 марта 2014 г. |
20:16 |
Опр.
тогда
-точка локального максимума, если
-точка строгого локального максимума, если
-точка локального минимума, если
-точка строгого локального минимума, если
Опр.
тогда
- точка локального экстремума, если она является точкой локального максимума или точкой локального минимума.
Теорема Ферма
тогда |
|
если существует |
, то |
доказательство - точка локального максимума (один из 2 случаев, другой случай похож на этот)
-возможны 3 случая:
1)невозможно
a.
по определению производной, как предела разностного отношения: если производная положительна, то и имеют один и тот же
знак
b. по определению локального максимума:
c.
противоречие
2)невозможно
так же, только с другими знаками
3)- единственный, оставшийся вариант
МА2Ч1 Стр.96
9. Теорема Ролля.
15 марта 2014 г. |
20:16 |
Теорема
1)
2)
3)
тогда
доказательство
2 случая |
|
|
1) |
оба |
являются концами отрезка |
|
тогда функция константа, и её производная во всех точках равна нулю |
|
2) |
хотя бы один из |
не является концом отрезка он является точкой |
|
локального экстремума |
|
МА2Ч1 Стр.97
10. Теорема Лагранжа.
15 марта 2014 г. |
20:17 |
Теорема
1)
2)
тогда
доказательство
вспомогательная функция
1)
2)
3)
удовлетворяет теореме Ролля
МА2Ч1 Стр.98
11. Теорема Коши.
15 марта 2014 г. |
20:17 |
Теорема о конечных приращениях
1)непрерывны на
2)дифференцируемы на
тогда
доказательство
вспомогательная функция:
свойства функции:
1)- непрерывна
2)- дифференцируема
удовлетворяет условиям теоремы Ролля
МА2Ч1 Стр.99
12. Правила Лопеталя.
15 марта 2014 г. |
20:18 |
МА2Ч1 Стр.100