Лекции
.pdf7. Сумма бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности.
17 января 2014 г. |
21:35 |
Теорема Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность. Б.И.
сумма двух бесконечно малых последовательностей - это бесконечно малая последовательность
Ш.И.
предположение:
Теорема Произведение двух последовательностей, одна из которых бесконечно малая, а другая
ограниченная, является бесконечно малой последовательностью. доказательство
МА1 Стр.11
8. Теорема о пределе суммы двух последовательностей.
18 января 2014 г. |
13:32 |
Теорема
тогда
доказательство
Замеч.
1)если оба предела бесконечные и одного знака, то предел суммы бесконечен и такого же знака.
2)если оба предела бесконечные и разного знака, то предел суммы не определён (зависит от скорости стремления последовательностей к бесконечностям)
МА1 Стр.12
9. Теорема о пределе произведения двух последовательностей.
18 января 2014 г. |
13:51 |
Теорема
тогда
доказательство
Замеч.
1) если оба предела бесконечны, или один бесконечен, а другой |
, то предел |
произведения бесконечен, с соответствующим знаком |
|
2)если один бесконечен, а другой равен 0, то результат не определён (зависит от скорости стремления последовательностей к нулю и бесконечности)
МА1 Стр.13
10. Теорема о пределе частного двух последовательностей.
18 января 2014 г. |
14:28 |
Теорема
тогда
доказательство
МА1 Стр.14
11. Предел монотонной последовательности, число e.
18 января 2014 г. |
14:54 |
Опр.
- возрастает, если |
, строго возрастает, если |
Опр.
убывание.
Опр.
последовательность монотонная(строго монотонная), если она убывает или возрастает.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности - монотонная
тогда
1)
2)
доказательство
Бином Ньютона
Теорема
доказательство
МА1 Стр.15
по теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел
МА1 Стр.16
12. Понятие подпоследовательности, частичного предела. Критерий сходимости на языке частичных пределов.
18 января 2014 г. |
22:46 |
Опр.
- подпоследовательность последовательности .
1)
2)
Опр.
-частичный предел последовательности, если
-подпоследовательность
Теорема
доказательство
о/п
и т.д.
МА1 Стр.17
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
19 января 2014 г. |
15:59 |
Теорема Больцано-Вейерштрасса в любой ограниченной последовательности содержится сходящаяся подпоследовательность.
доказательство
1) множество значений конечно
2)множество значений бесконечно Б.И.
П.И
Ш.И.
ш.и. доказан
по теореме о двух милиционерах
МА1 Стр.18
14. Критерий Коши существования конечного предела последовательности.
19 января 2014 г. |
16:00 |
Опр. условие Коши - фундаментальна, если
Теорема критерий Коши последовательность фундаментальна она сходится доказательство
достаточность
необходимость
1)
зафиксируем такое
1)
2)
2)
3)
1)
2)
МА1 Стр.19
15. Два определения предела функции и их эквивалентность.
19 января 2014 г. |
16:01 |
Опр. предела в смысле Коши
- предел функции в точке , если
Обозн. перефразировка
Опр. предела в смысле Гейне
- предел функции в точке , если
Теорема определения эквивалентны
тогда
доказательство
необходимость
достаточность о\п
МА1 Стр.20