Лекции

11. Извлечение корня из комплексного числа.

12 января 2014 г.

3:57

Опр.
Корень n-ной степени из	- это такое	, что	.

для некоторого

k должно меняться от 0 до n-1, так как далее пойдут такие же числа (в силу периода	).
, если

Алгебра 1 Стр.51

12. Корни из единицы.

12 января 2014 г.

4:32

Опр.

Опр.

- первообразный корень из 1, если

Теорема

- первообразный корень n-ой степени от 1 НОД доказательство

о/п

т.к.	- не первообразный
о/п

Первообразные корни на комплексной плоскости

Замеч.

Алгебра 1 Стр.52

Лемма

Пусть - первообразный корень n-ной степени из 1, тогда

доказательство о/п

Алгебра 1 Стр.53

13. Понятие многочлена. Операции над многочленами и их свойства.

12 января 2014 г.

15:20

Опр.

- поле Многочленом над полем называется последовательность

Опр.

Кольцо многочленов

a)сложение

b)умножение

Опр.

минимальное , такое, что	называется степенью .
Обозн.

Свойства степени многочлена

Предложение

- коммутативно, ассоциативно, кольцо с единицей доказательство

a)- коммутативная группа

1)ассоциативно

2)есть нейтральный элемент - 0

3)есть обратный элемент

4)

b)- группа

1)ассоциативность

доказательство

2)коммутативность

доказательство

3)нейтральный элемент

4)дистрибутивность

Алгебра 1 Стр.54

14. Теорема о делении с остатком.

13 января 2014 г.

19:51

Пусть

тогда

доказательство существования

1)
2)
Пусть
Б.И.	, тогда		, где	. Положим	. Ясно,
что
Ш.И.
рассмотрим		.
Положим:		. Тогда	, откуда
			.
Заметим, что				и поэтому
применим к многочлену			предположение индукции:
			. Поскольку	шаг индукции
доказан.
доказательство единственности о/п
если		, то

Алгебра 1 Стр.55

15. Свойства делимости Наибольший общий делитель двух многочленов.

14 января 2014 г.

12:18

Опр.

и называются ассоциированными, если

Свойства делимости

Опр.

--старший коэф.-1

Теорема

доказательство

(*)

(**)

…

Алгебра 1 Стр.56

16. Разложение на неприводимые множители.

14 января 2014 г.

14:07

Опр.
Многочлен	называется неприводимым над полем , если			и для
любых многочленов		из равенства	следует
.
Предлож.
Пусть	- неприводимый многочлен.			.
доказательство
предположим	. Пусть	. Тогда	не ассоциирован с и	, откуда следует
,т.е.	.

Следст.

Если неприводимый многочлен делит произведение многочленов, то он хотя бы делит один из них.

Предлож.

Если неприводимый многочлен делит произведение неприводимых многочленов, то он ассоциирован хотя бы с одним из них.

Теорема

Пусть F-поле. Любой многочлен над полем F степени больше 0 либо является неприводимым, либо разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём

это разложение определяется однозначно с точностью до замены неприводимых
множителей ассоциированными многочленами и перестановки сомножителей.
доказательство
индукция по
Б.И.	, неприводимый многочлен.
Ш.И. для всех многочленов со степенью меньше, чем у f утверждение доказано.
если f-приводим, то
каждый из	неприводим или является произведением неприводимых	тоже

разлагается в произведение неприводимых многочленов.

Алгебра 1 Стр.57

1. Понятие направленного отрезка и вектора. Линейные операции над векторами.

8 января 2014 г.

0:46

Опр.

Направленным отрезком называются две точки, одна из которых считается началом, а другая концом.

Опр.

Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.

Операции над векторами

1.Сумма двух векторов (коммутативна, ассоциативна)

2.Умножение вектора на число (коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения)

при умножении вектора на число его направление не меняется, а длина увеличивается в заданное количество раз.

3.нахождение противоположного вектора

Теорема (критерий коллинеарности векторов)

доказательство по определению операции

1.

2.

Геометрия 1 Стр.58

2. Базисы на плоскости и в пространстве, координаты вектора.

9 января 2014 г.

16:30

Опр.

Базисом плоскости называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости.

Замеч.

Нулевой вектор не может входить в любой базис.

Теорема (о разложении вектора по базису плоскости)

если - базис плоскости, а из этой же плоскости, тогда

- координаты вектора в этом базисе

Опр.

- компланарные, если лежат в одной плоскости

Опр.

Базисом пространства называется произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов, находящихся в этом пространстве.

Теорема (о разложении вектора по базису пространства)

Замеч.

разложение вектора по базису - покомпонентная операция

Геометрия 1 Стр.59

3. Скалярное произведение векторов и его свойства

9 января 2014 г.

17:27

Опр.

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин, умноженное на косинус угла между векторами.

Свойства скалярного произведения

1.

2.

3.

4.

5.

Критерий ортогональности

доказательство

если , то cos=0, угол = . 6. Ослабленный закон сокращения

доказательство

Опр.

Базис ортогонален, если все его векторы попарно ортогональны.

Опр.

Базис ортонормирован, если он ортогонален и его векторы имеют длину 1.

Следствие (скалярное произведение в декартовом базисе) -базис.

Геометрия 1 Стр.60