Лекции

6. Компактность, ε-расширение компактного множества. Оценка модуля криволинейного интеграла 2 рода.

26 января 2015 г.

1:33

Опр.

Пусть - множество

Утв.

Пусть - компакт в	и	, тогда - компакт
Проверка
Доказать, что

Метрика всегда непрерывна - вывод

Доказали замкнутость Докажем ограниченность

Замечание Если лежит не в конечном метрическом пространстве, то ограничено и замкнуто, но

не компакт.

Утв.

Пусть - компакт, - замкнуто, Тогда

Доказательство о/п

Построим последовательности:

Поскольку - компакт, то

МА3Ч2 Стр.141

МА3Ч2 Стр.142

7. Интеграл второго рода по кусочно-гладкой кривой как предел интегралов по ломаным, вписанным в неё.

26 января 2015 г.

1:37

Теорема - область кусочно-гладкая кривая

- непрерывна в Тогда

Доказательство Из теоремы о связи криволинейного интеграла 2 рода с определённым вытекает

то, что интеграл 2 рода от непрерывной вектор-функции по гладкой (кусочногладкой) кривой существует.

Если - всё пространство, то ломаная будет лежать в .

- замкнуто Покажем, что если

Возьмём возьмем -тый отрезок ломаной и точку на нём

Любая точка ломаной

- равномерно непрерывна из-за компактности

- равномерно непрерывна на		из-за компактности
Возьмём	, найдем по нему из условия равномерной непрерывности

Положим

Теперь ломаная:

МА3Ч2 Стр.143

Первый модуль:

Второй модуль:

Переходим к сумме по всем дугам разбиения:

МА3Ч2 Стр.144

8. Мера Жордана плоских множеств, связь с супремумом площадей замкнутых вписанных многоугольных множеств и инфимумом площадей описанных открытых многоугольных множеств.

26 января 2015 г.

1:39

Опр.

-множество

-совокупность всех многоугольных множеств, содержащихся в множестве

-совокупность всех многоугольных множеств, содержащих

-внутренняя площадь

	- внутренняя площадь
Если	, то - квадрируемое и имеет меру жордана

Граница множества - это множество точек, окрестность которых содержит как точки множества, так и точки его дополнения.

-замыкание - множество и все его предельные точки

-внутренность - все точки, входящие с окрестностью в множество

Утв.

-ограничено

-квадрируемо

Утв.

- квадрируемо

Утв.

- квадрируемое множество Тогда

Доказательство Из определения меры выберем:

состоит из	треугольников. Каждый из этих треугольников сузим на число
, где - это периметр каждого треугольника. И мы получим
многоугольник	такой, что

В этом выражении - треугольники множества , а - их -сужения. Так же поступим с множеством и найдем для него

МА3Ч2 Стр.145

9. Существенная ограниченность интегрируемой функции. Интеграл по множеству меры Жордана ноль.

26 января 2015 г.

1:44

Опр.

Разбиением квадрируемого множества называется множество каких-либо его подмножеств, попарно не пересекающихся, дающее в объединении подмножеств само это множество.

Диаметр разбиения - это максимум диаметров каждого множества.

Это интегральная сумма с разбиением и выбором точек

Если предел есть, то функция называется интегрируемой по Риману, а - это интеграл от функции.

Опр.

определена на называется существенно ограниченной, если

Теорема необходимое условие интегрируемости по Риману

Тогда

- существенно ограничена на Доказательство

произвольное разбиение занумерованы так, чтобы последние были

Докажем, что ограничена на
о/п
не ограничена на	не ограничена на (для определённости не
ограничена сверху)

- произвольное вещественное число может быть больше любого числа не может иметь конечный предел при

- противоречие

МА3Ч2 Стр.146

10. Свойства сумм Дарбу ограниченной функции на квадрируемом множестве.

26 января 2015 г.

1:45

МА3Ч2 Стр.147

11. Лемма о сумме мер Жордана множеств разбиения, имеющих общие точки с множеством, мера Жордана которого имеет заданную оценку.

26 января 2015 г.

1:46

Утв.

Пусть и - квадрируемы. Тогда

Доказательство Случаи:

1)- многоугольное множество

При приближении квадрируемого множества описанными открытыми многоугольниками и вписанными замкнутыми многоугольниками доказали, что

Если множество не целиком лежит в , то

- неверно

2)- произвольное квадрируемое множество

Идем по первому случаю и получаем доказываемое.

МА3Ч2 Стр.148

12. Леммы о расстоянии между компактными и замкнутыми непересекающимися множествами и множестве, лежащем в объединении множеств.

26 января 2015 г.

1:52

Лемма

Тогда

Доказательство О/п

- противоречие

Сюда можно приписать последнее утверждение из 6-го вопроса.

МА3Ч2 Стр.149

13. Эквивалентность интегрируемости ограниченной функции возможности сделать колебательную сумму произвольно малой.

26 января 2015 г.

1:53

Теорема Пусть - определена и ограничена на квадрируемом множестве

Тогда следующие условия эквивалентны

1)

2)

Доказательство

лежит во внутренности,

- ограниченное и замкнутое Поскольку лежат во внутренностях множеств , а внутренности этих множеств

попарно не пересекаются, то - компактные

Из утверждения

Получилось:

МА3Ч2 Стр.150