Лекции
.pdf26. Определение и непрерывность простейших элементарных функций. Замечательные пределы.
21 января 2014 г. |
2:34 |
МА1 Стр.31
27. Компактность. Критерий компактности.
21 января 2014 г. |
2:36 |
Опр.
|
|
называется покрытием , если |
если |
|
- открыто, то покрытие называется открытым (открытое множество - |
множество, каждый элемент которого входит в него с какой либо окрестностью) |
||
если |
и |
- является покрытием, тогда оно называется подпокрытием |
если - конечно, подпокрытие называется конечным подпокрытием
Теорема Бореля Лебега из любого открытого покрытия отрезка можно выделить конечное подпокрытие.
- открытое покрытие
тогда
- покрытие доказательство о/п
- открытое покрытие
разделим отрезок бесконечное количество раз на две части, принимая за новый отрезок ту часть, для которой мы не можем подобрать конечное покрытие(множ.
- конечно), в итоге получим последовательность отрезков с длинами, стремящимися к нулю, с единственной точкой, которая принадлежит всем отрезкам. Она покрывается конечным покрытием(она же точка, можно подобрать для нее покрытие, состоящее всего из одного множества ) - противоречие условию(знак ).
Опр. Компакт
- компакт, если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие
Теорема критерий замкнутости
доказательство
Теорема
тогда
доказательство пусть - открытое покрытие множ.
- открытое покрытие X?
МА1 Стр.32
1)
2)
Теорема критерий компактности
доказательство
-компакт
-замкнуто?
- открытое покрытие |
существует конечное подпокрытие |
- покрытие |
|
-замкнуто
-ограниченно? о/п
МА1 Стр.33
28. Теоремы Вейерштрасса.
21 января 2014 г. |
2:36 |
МА1 Стр.34
29. Теорема Коши о нуле функции, промежуточном значении.
21 января 2014 г. |
2:36 |
МА1 Стр.35
30. Равномерная непрерывность. Теорема Контора.
21 января 2014 г. |
2:37 |
МА1 Стр.36
31. Теорема о равномерной непрерывности функции, определённой на конечном интервале.
21 января 2014 г. |
2:38 |
МА1 Стр.37
24 января 2015 г. |
14:45 |
Отдельно рассмотрим предел
Продолжим
Это подтверждает ограниченность функции во всех точках (кроме нуля) так как она непрерывна.
Что, если Тогда получится предел от двух монотонно возрастающих функций, стремящийся к
бесконечности при
МА1 Стр.38
1. Понятие матрицы. Линейные операции. Умножение матриц и его свойства.
7 января 2014 г. |
15:31 |
Опр. |
|
Матрицей на множестве M называется прямоугольная таблица размером |
с |
элементами из M. |
|
Пример |
|
Матрица имеет m строк и n столбцов. |
|
Опр.
Квадратной матрицей называют матрицу, у которой количество строк и столбцов одинаково.
Опр.
A - матрица. Запишем B с элементами, стоящими на пересечении строк и столбцов матрицы A. Тогда B - подматрица A.
У матрицы существует главная диагональ и побочная.
Опр.
А - верхнетреугольная, если все элементы ниже главной диагонали = 0.
Опр.
А - нижнетреугольная, если все элементы выше главной диагонали = 0.
Опр.
А - диагональная, если она одновременно и верхнетреугольная, и нижнетреугольная.
Опр.
А - скалярная, если она диагональная и все числа на диагонали одинаковы.
Опр.
А - единичная, если она скалярная и диагональные элементы = 1. Обозначается .
Опр.
- все нули (нулевая матрица).
Опр.
F - поле. |
- множество всех матриц размера |
над полем F. |
Линейные операции над матрицами:
1.Сумма двух матриц с одинаковыми размерами. Результат - поэлементное сложение. свойства такие же, как при сложении чисел.
2.Умножение матрицы на число. Все так же, как с обычными числами.
3.Матричное произведение. Опр.
Размеры матриц и согласованные, если . Опр.
С - произведение А и В, если размеры согласованны и
Свойства произведения:
1.Ассоциативность: доказательство:
Алгебра 1 Стр.39
2. Дистрибутивность:
3.
4.
4.Транспонирование матрицы: Опр.
-матрица, тогда - матрица, у которой поменяли столбцы со строками.
Пример.
Свойства транспонирования:
1.
2.
3.
4.
Алгебра 1 Стр.40