Лекции
.pdfНемного понятий
5 декабря 2014 г. |
0:24 |
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции только по одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции y(x) называется уравнение
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка относительно неизвестной функции y(x) называется уравнение
Кривая |
называется интегральной кривой |
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной
|
- определена в области |
|
Функция |
называется решением этого уравнения на отрезке |
, если |
1)дифференцируема на
2)
При интегрировании уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной, могут появиться решения, зависящие от параметра Из этих решений такие интегральные кривые, которые не касаются ни в одной точке других
интегральных кривых (выполняется условие единственности), называются частными решениями, а те решения, интегральная кривая которых в каждой точке касается других интегральных кривых, называются особыми.
Дифференциальное уравнение в симметричном виде:
Пара функций |
, определённых на |
называется решением этого уравнения, |
если |
|
|
1)Функции непрерывно дифференцируемы и их производные одновременно не равны нулю
2) |
|
|
|
3) При подстановке функций вместо |
в уравнение получается тождество |
||
Уравнение |
называется интегралом уравнения в области |
, если при любом |
|
оно неявно задаёт решение уравнения. |
|
|
|
Интеграл называется общим, если для любого решения уравнения |
, |
||
интегральная кривая которого лежит в |
, найдется постоянная такая, что |
||
ДУ3 Стр.161
1. Уравнения первого порядка в полных дифференциалах (УПД). Критерий УПД и общий интеграл УПД.
3 декабря 2014 г. |
22:57 |
Опр.
Дифференциальное уравнение вида
Называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных с непрерывными частными производными, что справедливо выражение
При этом общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой
Где - произвольная постоянная
Теорема Имеется уравнение, указанное выше
Пусть имеют непрерывные частные производные в некоторой области
Это уравнение будет являться УПД тогда и только тогда, когда
Доказательство
Получилось, что - такая функция, что
ДУ3 Стр.162
2. Интегрирующий множитель и его свойства.
3 декабря 2014 г. |
23:52 |
Опр. |
|
|
|
Непрерывно дифференцируемая в области функция |
называется |
|
|
интегрирующим множителем, если уравнение |
|
|
|
Является уравнением в полных дифференциалах. |
|
|
|
Теорема |
|
|
|
Пусть уравнение |
имеет в области общий интеграл |
, |
|
причем функция |
непрерывно дифференцируема в |
и выполнено |
|
неравенство |
|
|
|
Тогда
Доказательство
ДУ3 Стр.163
3. Линейные ДУ n-ого порядка и их свойства. Сохранение линейности уравнения при заменах переменных.
3 декабря 2014 г. |
23:52 |
ДУ3 Стр.164
4. Линейные ДУ n-ого порядка и их свойства. Линейная структура множества решений.
3 декабря 2014 г. |
23:53 |
ДУ3 Стр.165
5. Определитель Вронского. Критерии линейной зависимости решений линейного однородного ЛО ДУ.
3 декабря 2014 г. |
23:53 |
ДУ3 Стр.166
6. Определитель Вронского. Критерии линейной независимости решений линейного однородного ЛО ДУ.
3 декабря 2014 г. |
23:54 |
ДУ3 Стр.167
7. Понятие фундаментальной системы решений. Построение фундаментальной системы решений для заданного ЛО ДУ.
3 декабря 2014 г. |
23:54 |
ДУ3 Стр.168
8. Формула общего решения ЛО ДУ на базе фундаментальной системы решений.
3 декабря 2014 г. |
23:54 |
ДУ3 Стр.169
9. Единственность ЛО ДУ, соответствующего заданной фундаментальной системе решений.
3 декабря 2014 г. |
23:54 |
ДУ3 Стр.170