Лекции

2. Теоремы о равенстве непрерывных смешанных производных второго порядка и произвольного порядка.

6 ноября 2014 г.

15:39

Теорема

Тогда

Доказательство

Таким образом, одна и та же	при	имеет пределы	и	,
пределы равны (функция одна и та же)
Теорема
Пусть 2 смешанные производные n-ого порядка различаются только
последовательностью переменных, существуют в и непрерывны в
Тогда
Смешанные производные в	равны

Уточнение (количество m-переменных функции произвольно)

МА3Ч1 Стр.111

3. Теоремы о равенстве смешанных производных дважды дифференцируемой функции (с доказательством) и n раз дифференцируемой функции (без доказательства)

7 ноября 2014 г.	1:28
Теорема
Пусть	2 раза дифференцируема в
Тогда
Доказательство
т.к. - два раза дифференцируема в		определена в окрестности

- радиус окресности для , в которой определена функция

Так как - дважды дифференцируемая функция в	, то и дифференцируемы
в
- дифф. в
, где

Вторая дробь:

Если перегруппировать слагаемые у

по другому, то получим

при

Функция одна и та же а пределы её в одной и той же точке равны двум числам, значит эти числа равны.

МА3Ч1 Стр.112

4. n-кратная дифференцируемость линейной комбинации, произведения, частного, степеннопоказательной функции, сложной функции, составленных из n раз дифференцируемых функций.

1 декабря 2014 г.

1:46

Теорема

Тогда

Следующие функции дифференцируемы в

1.

2.

3.

4.
5.
Доказательство
1.	по дифференцируемости	производной по индукции

2.Тоже по индукции

3.Так же, только надо учесть, что

4.

5.

МА3Ч1 Стр.113

5. Выражение дифференциала n-ого порядка. Инвариантность формы дифференциалов относительно линейной замены переменных и неинвариантность формы относительно произвольной замены в общем случае.

1 декабря 2014 г.

1:48

Опр. Первый дифференциал

Опр. Дифференциал n-ого порядка Определён индуктивно

Теорема n-ный дифференциал инвариантен относительно линейной замены переменных Доказательство

- поэтому в формах дифференциалов высших порядков

будут стоять только в первой

степени.

МА3Ч1 Стр.114

6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Об отсутствии остаточного члена формулы Тейлора для многочлена.

1 декабря 2014 г.

1:50

Oпр.

Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функций многих переменных

Тогда

При условии, что Доказательство

Докажем по индукции по числу количества переменных m. - получаем формулу первого семестра

Для одной переменной формулу переписали
Видим сложную функцию. Внутренняя вектор-функция	непрерывно

дифференцируема бесконечное число раз, внешняя функция непрерывно дифференцируема n раз и дифференцируема n+1 раз в этой области определения.

Значит		дифференцируема такое же число раз.
К	можно применить формулу Тейлора первого семестра

Дифференциал инвариантен относительно линейной замены переменных.

Переписываем формулу, переходя от g к f

В формулах дифференциалов

Формула доказана

МА3Ч1 Стр.115

7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

1 декабря 2014 г.

1:51

Чтобы формула была справедлива нужно доказать, что

При n=1 это превращается в определение дифференцируемости функции. По теореме существования остаточного члена в форме Лагранжа

Необходимо доказать, что Замечаем, что при

МА3Ч1 Стр.116

8. Теорема единственности для формулы Тейлора.

1 декабря 2014 г.

1:52

Теорема

Тогда

Доказательство

Перейдём к пределу Многочлены непрерывны

МА3Ч1 Стр.117

9. Необходимые условия экстремума.

1 декабря 2014 г.

1:53

Опр.

вимеет минимум(максимум)(локальный), если

вимеет строгий экстремум, если неравенство строгое Локальный экстремум (безусловный)

Теорема необходимое условие экстремума

Тогда

Производная по

Если	имеет частные производные

Доказательство

Для определённости будем считать, что

0 - точка минимума функции

Теорема Пусть имеет экстремум в и дифференцируема в

Тогда

Доказательство элементарное,

МА3Ч1 Стр.118

10. Достаточные условия строгого экстремума и отсутствия экстремума.

1 декабря 2014 г.

1:53

Теорема - дважды дифференцируемая функция в

Тогда

Если второй дифференциал является положительно определённой квадратичной формой относительно , то в точке минимум.

Если второй дифференциал является отрицательно определённой квадратичной формой относительно , то в точке максимум.

Если второй дифференциал является знакопеременной квадратичной формой относительно , то в точке экстремума нет.

Доказательство Через формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

МА3Ч1 Стр.119

11. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции для уравнения.

1 декабря 2014 г.

1:54

Опр.

Говорят, что уравнение		задаёт неявно на множестве	функцию	,
определённую на множестве		, если
Неявно заданная функция, определённая уравнением			на множестве	- это
решение уранения		, причём это решение должно существовать и быть
единственным при	.

Теорема Дарбу о промежуточном значении производных

Тогда

Доказательство в предыдущем семестре

Следствие Если на промежутке принимает значения разных знаков, то

Лемма

Непрерывна по , дифференцируема по и

Тогда Доказательство о/п

Аналогично

По теореме Больцано-Коши

МА3Ч1 Стр.120