Лекции

1. Точные границы. Теорема о существовании точных границ ограниченного множества.

7 января 2014 г.

1:01

Опр.
Множество	называется ограниченным сверху, если	.
называется верхней границей множества .
Опр.
Множество	называется ограниченным снизу, если	.
называется нижней границей множества .
Опр.
Множество	называется ограниченным, если оно ограниченно и снизу, и сверху.
или
Опр.
Множество	ограниченно сверху. Наименьшая среди всех верхних границ
называется точной верхней границей. Обозначается		.
	.
Опр.
Множество	ограниченно сверху. Наибольшая среди всех нижних границ
называется точной нижней границей. Обозначается		.
	.

Теорема Любое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу.

.

Доказательство

- множество верхних границ множества X.

по аксиоме полноты:

найдется число, лежащее между двумя

неравными числами.

1) с - верхняя граница Х.

2)

3)

.

Теорема Любое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

МА1 Стр.1

Промежуточный материал

16 января 2014 г.

15:30

Опр. Принцип Архимеда

доказательство

Утв.

Утв.

целая часть числа

Опр.

- заданное множество называется последовательностью .

последовательность

Обозн.

если , то это числовая последовательность.

Опр.

- последовательность вложенных отрезков, если

Принцип вложенных отрезков (принцип Кантора)

Теорема для любой последовательности вложенных отрезков

доказательство

по аксиоме полноты

Опр.

- последовательность вложенных отрезков с длинами, которые стремятся к нулю, если

Следст.

- последовательность вложенных отрезков с длинами, которые

МА1 Стр.2

стремятся к нулю cуществует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

доказательство о/п

невозможно

МА1 Стр.3

2. Предельная точка. Критерий предельной точки. Теорема Вейерштрасса о существовании предельной точки.

16 января 2014 г.

15:13

Опр.
- предельная точка множества , если	содержит хотябы одну
точку из множества , отличную от .
перефразировка
- проколотая окрестность
перефразировка
Теорема критерий предельной точки
доказательство

о/п

Теорема Больцано-Вейерштрасса любое бесконечное, ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку доказательство

разделим отрезок		пополам
1)	если	содержит бесконечное число точек, то обозначим его
2)	если	содержит бесконечное число точек, то обозначим его
	и т.д.
Б.И.

содержит бесконечное число элементов содержит бесконечное число элементов

Ш.И.

1) содержит бесконечно много элементов

2)

3)

МА1 Стр.4

- содержит бесконечное число элементов

1) содержит бесконечное число элементов

2)

3)

докажем, что - предельная точка

МА1 Стр.5

3. Единственность предела последовательности

16 января 2014 г.

22:36

Опр.

- числовая последовательность называется пределом последовательности , если

Обозн.

Теорема предел числовой последовательности - единственен

доказательство о/п

модуль суммы не превосходит сумму модулей

МА1 Стр.6

4. Ограниченность сходящейся последовательности.

17 января 2014 г.

13:05

Опр.

Если последовательность имеет предел (число a), то она сходящаяся и сходится к числу a. А если она не имеет предела, то она расходящаяся.

Опр.

- числовая последовательность называется ограниченной, если множество значений ограниченно.

Теорема Если - сходящаяся, то она ограниченна.

доказательство

- ограничена

т.к. - число, то максимум и минимум ищется среди конечного количества элементов. Все элементы за будут входить в границы по определению предела

- ограниченна

МА1 Стр.7

5. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами.

17 января 2014 г.

14:32

Теорема 1

- сходится

тогда

доказательство о/п

возьмём окрестность

Замечание

- сходится, , тогда

Теорема

- сходится

тогда

доказательство аналогично

Теорема 2

- сходится

тогда

доказательство

Теорема

- сходится

тогда доказательство аналогично

Следст.

- сходится

тогда

Теорема 3

- сходится - сходится

тогда

доказательство

о/п

МА1 Стр.8

Теорема о двух милиционерах

1)

2) - сходящиеся

3)

тогда

доказательство

МА1 Стр.9

6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.

17 января 2014 г.

17:29

Опр.

- бесконечно малая последовательность, если

Опр.

- бесконечно большая последовательность, если

Теорема

- бесконечно малая последовательность

тогда

- бесконечно большая

доказательство

т.к. - б.м., то предположим, что

Теорема аналогично, обратная по умножению к бесконечно большой - бесконечно малая

МА1 Стр.10