Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

50

3. Внешние силы не скомпенсированы

	dP
		dt

F	e

0

, но проекция главного век-

тора внешних сил на какое-либо направление равна нулю:

F	e	0
x

dPx dt

0

Px const

– проекция импульса механической системы на это направление (ось x) остаётся неизменной с течением времени.

ПРИМЕР

Пружинная пушка

Пушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальном направлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v (РИС. 5.3). Найти скорость пушки после выстрела.

m				Рассмотрим механическую систему пушка-
				снаряд. Будем работать в лабораторной
M
			x	системе отсчёта.
				Считаем, что в момент выстрела сохраня-
Рис. 5.3				ется проекция импульса системы на гори-
				зонтальное направление (Px = const); из-

менением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось x:

0

получим

	mv Mu
	u	mv	.
		M

;

Чем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, на которое она откатится после выстрела. Проверим это экспериментально.

Демонстрация: Пружинная пушка

1.7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

1.7.1. Момент импульса

Момент импульса – векторная величина (псевдовектор), характеризующая инертность тела в движении.

1. Момент импульса материальной точки относительно точки

Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса) ра-

вен векторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс

(РИС. 5.4):

Lrp .

2.Момент импульса материальной точки относительно оси

Момент импульса материальной точки относительно оси:

L rp z k .

51

Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;

направление определяется по правилу правого винта. (На РИС. 5.5		p	лежит не в
плоскости чертежа.)
	z
m
	O	m
O
Рис. 5.4	Рис. 5.5

3. Момент импульса механической системы

Момент импульса механической системы равен сумме моментов импульсов тел (материальных точек), составляющих эту систему:

L	i
	L

.

(5.5)

4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

z		Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоро-
		стью ω (РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты масса-
	,
		ми mi, отстоящие от оси z соответственно на расстояния ri и
		имеющие скорости vi и импульсы	pi Момент импульса i-го
		фрагмента

Oi mi

Рис. 5.6

Li

ri ,Δpi

.

Момент импульса тела по определению (5.5)

L

L

r ,Δp

r ,Δm v

r ,Δm

ωr

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2

m ωr

r

ωr

ω

m r

Iω.

0

I

vi

ωri

Здесь учтено, что

.

Мы получили результат,

совпа-

дающий с определением (5.4).

5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движение

L r		P L		,
	C		C

где rC – радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; LC IC ω – момент им-

пульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения, IC – момент инерции тела относительно этой оси.

Доказательство

Разобьём тело на малые фрагменты массами mi. По определению (5.5)

52

L

Li

		r ,Δp
		i	i

		r ,Δm v
		i	i	i

,

где ri	– радиус-вектор i-го фрагмента,	vi – его скорость,
ставим (ср. РИС. 3.4)
	ri rC ρi	vi vC ui ,

pi

– его импульс. Пред-

где rC

– радиус-вектор центра масс тела,

ρi

– радиус-вектор, проведённый из цен-

ui

dρ

тра масс к i-му фрагменту,

vC

– скорость центра масс,

i

ωρi

– скорость i-

dt

го фрагмента относительно центра масс,

ω

– угловая скорость тела. Таким обра-

зом,

L

r

ρ

,

m

v

u

m

r v

r u

ρ v

ρ u

C

i

i

C

i

i

C

C

C

i

i

C

i

i

r v

m r

,

m u

m ρ

,v

ρ ,Δm u

C

C

i

C

i

i

i

i

C

i

i

i

dρ

0, т. к. точка C – центр масс

r

,Mv

r

,

m

m ρ ,

ωρ

i

C

C

C

i

dt

i

i

i

r P				r	,	d
C				C		dt

(здесь M – масса тела).

i

2

C

i

2

i i

i

i

m ρ

m ωρ

r P

ω

m ρ

0

r P

I

ω, ч. т.

д.

C

C

IC

1.7.2. Закон сохранения момента импульса

Основное уравнение динамики вращательного движения

dL	e	,
dt	M

где Me – главный вектор моментов внешних сил. Если механическая система замкнута, то

Me 0

	dL	0
	dt

L const .

Момент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени.

Если система не является замкнутой, но Me 0 относительно некоторой оси – моменты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени.

ПРИМЕР

Скамья Жуковского

Скамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси – оси симметрии – почти без трения. На скамье может стоять (или сидеть) человек и выполнять различные действия. Рассмотрим два опыта.

Демонстрация: Скамья Жуковского

53

Опыт 1

Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоро-

стью

ω1

(РИС. 5.7А). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит ган-

тели. Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до оси уменьшается (РИС. 5.7Б). Как изменится угловая скорость системы?

z	z

а

б

Рис. 5.7

На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты:

Земля с силой тяжести Fт и опорная поверхность с силой реакции

лы имеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z: M тельно, момент импульса рассматриваемой механической системы

этой оси сохраняется: L const .

N . Обе эти си-
e	0	. Следова-

относительно

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1 I1ω1 ,

где I1 – момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (с разведёнными руками и гантелями).

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I2ω2 ,

где I2 – момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (со

сведёнными руками и гантелями),

ω2

– конечная угловая скорость.

Так как L1 L2 L ,

I	ω
1	1

В проекции на ось z

I	ω
2	2

.

I1ω1 I2ω2 ω2 I1Iω1 . 2

54

Так как I2 < I1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловая скорость системы увеличивается.

Опыт 2

Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского. Ему в руки дают ось колеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх (РИС. 5.8А). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз (РИС. 5.8Б).С какой угловой скоростью начнёт вращаться скамья?

z

z

а

б

Рис. 5.8

Момент импульса системы человек-скамья-гантели относительно вертикальной оси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ.

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1 I1ω1

,

где I1 – момент инерции колеса относительно его оси; ловой скорости колеса, ω1 = ω.

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I1ω2 I2ω ,

ω1

– вектор начальной уг-

где I2 – момент инерции человека и скамьи относительно оси z,

ω2

– вектор ко-

нечной угловой скорости колеса, ω2 = ω, ω – конечная угловая скорость скамьи. Так как L1 L2 ,

I1ω1 I1ω2 I2ω .

В проекции на ось z

I1ω I1ω I2ω ω 2II1ω .

2

55

Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлением вращения колеса.

56

Лекция 6

1.8. Работа и энергия

1.8.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия – энергетическая характеристика движения;

[Wк] = Дж.

1. Кинетическая энергия материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки равна произведению массы мате-

риальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам:

		mv	2
W				.
к		2

2. Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия механической системы равна сумме энергий тел (материальных точек), составляющих эту систему:

		W	W	;
		к	кi
W	Mv2
	C (M – масса системы, vC – скорость центра масс)!
к	2
Кинетическая энергия поступательного движения тела: Wк					mv	2
					2

тела, v – модуль его скорости.

3. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела

кинетических

(6.1)

, где m – масса

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости, делённый пополам:

		2
W		Iω
к		2

.

Доказательство

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси (РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массой

скую энергию по определению (6.1) (с учётом того, что vi

z с mi.

угловой скоростью

ω

Вычислим кинетиче-

	ωri		):

							2		1						2
к			кi			m v					i	i	2		ω
						i	i
W			W								m ω r
											2
						2			2						2

			2
mr	2		Iω
i i			2

, ч. т. д.

4. Кинетическая энергия плоского25 движения твёрдого тела

Теорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела, движущегося со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения

25 Можно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматривать второе слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс.

57

тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения:

	mv	2		I	2
W					ω
	C			C
к	2			2

Доказательство

.

Пусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение. Разобьём тело на малые фрагменты массой mi. Вычислим кинетическую энергию тела по определе-

нию (6.1):

							2		1
к			кi			m v
						i	i
W			W
						2			2

mi vC

i
u	2

,

где скорость i-го фрагмента vi vC ui , ui – скорость этого фрагмента относи-

тельно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ). Продолжим преобразования:

W	1
к	2

2

dρ

1

i C

i C i

i i

v

i C

i

C

i

2

2

m v u

2

m v

m

m v

mu

2

dt

2

2	2
m ω ρ
i	i

,

здесь ρi – радиус-вектор i-го фрагмента, проведённый из центра масс, и

ω – угловая скорость тела. Очевидно, mi m – массе тела. Далее:

	u	dρ
		i
	i	dt

;

2

d

i i

2

2

I

2

к

mv

C

ω

i i

mv

ω

W

C

v

m ρ

m ρ

C

C

2

2

dt

2

2

2

0, т. к. точка C – центр масс

IC

1.8.2. Работа и мощность

Работа – энергетическая характеристика взаимодействия26; [A] = Дж.

, ч. т. д.

1. Элементарная работа

Элементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное (бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы (РИС. 6.1):

dA Fdl Fdlcos				l
		F ,dl		F dl

.

Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траектории; Fl – проекция вектора силы на это направление.

2. Работа

Работа равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки приложения силы:

A dA Fdl Fldl .

l

l

l

26 Так как работа – это характеристика взаимодействия, допустимо говорить «работа такого-то объекта», т. е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаимодействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или «работа силы тяжести».

58

Здесь l – траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС. 6.1); Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы силы

F

по траектории l (РИС. 6.2).

Fl

A

B	α	l

1	2	0	1	2 l
	Рис. 6.1			Рис. 6.2

3. Работа при вращательном движении твёрдого тела

Пусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r от оси вращения z (РИС. 6.3А). Элементарная работа, которую совершает эта сила, ко-

гда тело совершает элементарное угловое перемещение

dφ

dA Fdl Fdlcosα

(см. РИС. 6.3Б).

z

O			z
	r	B
			r dφ

α

B

а			б
	Рис. 6.3
Модуль линейного перемещения точки B – длина малой дуги
	dl r dφ;
	π		dφ Mzdφ ;
dA Fr cosα dφ Fr sin		α
	2
	dA Mdφ	.

4. Мощность

Мощность – энергетическая характеристика взаимодействия, равная скорости совершения работы;

[N] = Вт.

59

Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершена:

N

A t

.

Мгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы – производной работы по времени

N dAdt .

Преобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы:

	N	dA			Fdl
		dt			dt
			N F v

где v – скорость точки приложения силы.

,

F v

;

1.8.3. Теорема об изменении кинетической энергии

Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ внешних и внутренних сил:

e	i
W A	A	.
к

Доказательство

Рассмотрим материальную точку массы m, которая испытывает воздействие, описываемое силой

F . Точка движется по кривой 1-2 (РИС. 6.4). Элементарная работа на перемещении dl

dA Fdl .

С учётом того, что dl vdt , где v – скорость материальной точки, работа по перемещению точки по траектории 1-2

	2		t2
A		Fdl		F vdt ,
	1		t
			1

m

t1

1 t2

2

Рис. 6.4

где t1 и t2 – моменты времени, в которые материальная точка проходит соответственно положения 1 и 2.

По II закону Ньютона F ma , а ускорение a

dv

, поэтому

dt

t

t

v

v

2

2

2

2

dv

mv

2

2

mv

mv

2

A

mavdt m

v

dt m

vdv

к2

к1

к

2

1

t

1

t

1

dt

v

2

v

2

2

1

1

(здесь v1, v2 – модули скорости материальной точки соответственно в положениях

1 и 2).

Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки, входящей в эту систему,

Ai Wк2i Wк1i .