7.2. Косвенные методы

Эти методы обычно используют связь между параметрами системы и показателями качества. К ним относят корневые методы, интегральные оценки и частотные критерии качества.

1. Корневые методы.Уравнение переходного процесса в общем случае имеет вид

,

гдеk = y();p_i – корни характеристического уравнения, лежащие в левой полуплоскости.

О характере переходного процесса можно судить по расположению корней на комплексной плоскости (рис.7.4, а).

Наиболее медленно затухают те составляющие y(t), которые имеют наибольшую постоянную времениT_i,т.е. корень с наименьшей вещественной частью по абсолютной величине, напримерp_min = p₁. Чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения, тем дальше от границы устойчивости находится система и тем выше быстродействие системы. Для оценки быстродействия используют понятиестепени устойчивостисистемы, под которым понимают расстояние от мнимой оси до ближайшего корня.

Величина p_minможет служить для оценки скорости затухания переходного процесса, так как составляющая переходного процесса, обусловленная этим корнем, затухает медленнее других. Тогда можно записать:

.

Всеми остальными составляющими переходного процесса можно пренебречь, так как они затухают быстрее.

Положив  = 0,05y_ = 0,05k, можно найтиt_p(рис.7.4,б). Имеемили. Откуда

,

где .

В общем случае .

Наличие комплексных сопряженных корней характеристического уравнения p_k = –_kj_kсвидетельствует о существовании колебательной составляющей в уравнении движения системы (рис.7.4,в):

.

Для оценки скорости затухания колебательного процесса используют логарифмический декремент(убавление– лат.)затуханияd:

.

Введем обозначение , тогда.

Таким образом, чем меньше , тем большеd, и, следовательно, тем скорее затухает переходный процесс. При_k = 0 получим = 0,d = , и, следовательно, колебания отсутствуют; при_k = 0 имеем = ,d = 0, и, следовательно, колебания не затухают.

2. Интегральные оценки.Они имеют целью дать общую оценку скорости затухания и размера отклонения управляемой координаты без определения того или другого в отдельности.

Простейшей интегральной оценкой может служить площадь между новым значением выходной величины y_и его текущим значениемy(t)

. (7.5)

При этом (t) = y_y(t) является текущей динамической ошибкой системы (рис.7.5, а).

Для вычисления интеграла (7.5) можно воспользоваться преобразованием Лапласа для ошибки системы. Имеем , откуда

. (7.6)

В нашем случае при y^*(t) = 1(t);имеем

.

Учтя, что Y(p) = W(p)Y^*(p) и, получим, а затем, воспользовавшись (7.6), найдемI₁.

Недостаток интегральной оценки вида (7.5) состоит в том, что она годится только для монотонных процессов (рис.7.5, б). Если же имеют место колебания (рис.7.5,в), то алгебраическое сложение площадей может привести к ситуации, когда при больших колебанияхI₁ = min.

В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего применяют квадратичный интегральный критерий вида

. (7.7)

Этот критерий не зависит от знака (t) и, следовательно, может быть применен как для монотонных, так и для колебательных процессов.

Критерии I₁иI₂являются функциями параметров системы, изменяя которые можно минимизировать интегральные оценки.

Существуют методы, позволяющие вычислить критерий I₂, не решая ДУ системы. В частности, учитывая, что(j)² = (j)(–j) и, и взяв следующий табулированный интеграл, получим

.

Здесь .

Поскольку частотная функция системы W(j) зависит от параметров системы (коэффициентов усиленияk_iи постоянных времениT_jдинамических звеньев), можно записать. Исследуя полученную зависимость на экстремум, можно найти значения изменяемых параметровk_i иT_j, при которых удовлетворяется условиеI₂ = min.

Заметим, что минимизация интегральной квадратичной ошибки вида (7.7) приводит к большим перерегулированиям переходного процесса (до 20 % от установившегося значения y_). В связи с этим применяют и иные критерии, учитывающие не только размер ошибки, но и скорость ее изменения

, (7.8)

где – весовой коэффициент, который определяет значимость второго слагаемого подынтегральной функции.

В данном случае помимо ограничения на размер ошибки (t) налагается ограничение на скорость ее изменения. В результате чего мы получаем достаточно быстрые и достаточно плавные переходные процессы.

Иногда кроме указанных ограничений учитывают также ограничение на ускорение. Тогда критерий принимает вид

. (7.9)

Подчеркнем, что все рассмотренные интегральные оценки являются функцией параметров системы, следовательно, их можно минимизировать, изменяя параметры системы и прежде всего устройства управления.

3. Частотные критерии качества.Эти критерии базируются на некоторых свойствах частотной функции и, в силу ее связи с временными характеристиками, позволяют судить о качестве переходного процесса.

Например, оценка качества переходного процесса по АФЧХ разомкнутой системы производится следующим образом. Пусть структурная схема системы имеет вид, показанный на рис.7.6, а.Тогда частотная функция разомкнутой системы.

Годограф вектора W_p(j) для устойчивой системы представлен на рис.7.6,б. В хорошо демпфированных системах (при< 5 %)p₁ = 0,10,5;₁3060^о.

Оценка качества переходного процесса может быть также произведена по АЧХ замкнутой системы (рис.7.6, в).

Максимальное значение АЧХ – M_max, соответствующее резонансной (собственной) частоте_p, может служить показателем колебательности. Чем большеM_max, тем выше склонность системы к колебаниям. В хорошо демпфированных системахM_max1,11,5.

Частота, при которой A(_c)/A(0) = 1, определяет частоту среза_с,которая характеризует полосу пропускания частот. Чем шире полоса пропускания частот, т.е. чем больше_с, тем быстрее протекают переходные процессы, поэтому эта частота может служить мерой быстродействия системы.

Существуют и другие методы оценки качества переходных процессов в системе по ее частотным характеристикам. Например, учитывая, что для минимально-фазовых систем существует однозначная связь между переходной функцией h(t) и вещественной частотной характеристикойP(), можно, анализируя последнюю, получить ряд оценок качества переходного процесса. В частности, еслиP() представляет собой положительную невозрастающую функцию, то перерегулированиене превышает 18 %, еслиотрицательная, убывающая по модулю, непрерывная функция, то имеет место монотонный переходный процесс.