8.3. Принцип инвариантности

Инвариант(неизменяющийся – фр.) – выражение, остающееся неизменным при определенном преобразовании входящих в него переменных. В теории автоматического управления подинвариантнымипонимают системы, в которых выходная величина инвариантна к возмущающим воздействиям.

Примером инвариантной системы может служить мостовая схема, применяемая в системах измерения (рис.8.10). Здесь при условии соблюдения балансаток в одной из диагоналейiне зависит от напряженияU, подводимого к другой диагонали.

Для достижения полной инвариантности некоторой координаты y_j(t) относительно значения возмущающего воздействияf_i(t) необходимо и достаточно, чтобы передаточная функцияW_fy(p) между внешним воздействиемf_i(t) и входом измерительного устройстваy_j(t) была тождественно равна нулю при отсутствии прочих воздействий и нулевых начальных условиях. При ненулевых начальных условиях ставится цель сделать тождественно равной нулю вынужденную составляющую решения дифференциального уравнения, причем собственная (переходная) составляющая, обусловленная ненулевыми начальными условиями, может быть отличной от нулевого значения.

Рассмотрим схему системы управления по отклонению (рис.8.11). Известно, что, где для данного случая

,

где ,,– передаточные функции объекта управления, измерительного элемента и обратной связи;y^*,y,y₁– заданное, текущее и измеренное значения выходной величины;– отклонение измеренного значения выходной величиныy₁от заданногоy^*;f– возмущающее воздействие.

Посколькуизаданы, достигнуть абсолютной инвариантности можно только при, т.е. при очень большом коэффициенте усиления в составе обратной связи, который обратитв ноль.

Передаточная функция по каналу управления y^*может и не быть равной нулю:

;

при

.

К такому результату и стремятся при создании абсолютно инвариантных систем, так как необходимо достичь инвариантности выходной координаты и не потерять возможность передавать информационные сигналы.

Для получения применяют внутреннюю положительную обратную связь. При этом

, (8.16)

где W₁(p),W₂(p) – передаточные функции звеньев, являющихся составными частями обратной связи объекта, представленной в виде внутренней положительной обратной связи(звено с передаточной функциейW₁(p) в составе обратной связи объекта охвачено положительной обратной связью с передаточной функциейW₂(p)).

Условие инвариантности сводится к равенству нулю знаменателя (8.16):

.

Заметим, что для выполнения условия инвариантности требуются устройства, выполняющие операцию идеального дифференцирования. Небольшая ошибка при этом может привести к появлению в дифференциальном уравнении отрицательных членов и, следовательно, неустойчивости. Такие системы, по определению академика Андронова, являются «негрубыми».

Таким образом, требования инвариантности и устойчивости противоречивы, и это противоречие появляется вследствие того, что, приближаясь к абсолютно инвариантной, система может стать «негрубой».

Рассмотрим вопрос о физической осуществимости абсолютно инвариантных систем. Условие реализуемости заключается в требовании обеспечения состояния абсолютной инвариантности как в замкнутом, так и в разомкнутом состояниях системы.

Действительно, для замкнутой системы имеем

(8.17)

или

Для разомкнутой системы

(8.18)

или

.

В обоих случаях абсолютная инвариантность достигается при .

Выражения (8.17) и (8.18) могут отличаться только потому, что для выполнения условия инвариантности необходимо иметь и. Первое условие всегда выполняется при. Следовательно, условиеявляется необходимым для физически осуществимой инвариантной системы. Кроме того, необходимо, чтобы передаточная функция корректирующего устройства

удовлетворяла условию

. (8.19)

Как уже отмечалось, для достижения инвариантности относительнонеобходимо и достаточно, чтобы. Этого можно добиться и в системах, работающих по возмущению, для чегонужно представить в виде разности двух передаточных функций, одна из которых является корректирующей:.

Тогда критерий реализуемости абсолютно инвариантной системы можно интерпретировать следующим образом: необходимым (но недостаточным) признаком физической реализуемости и абсолютной инвариантности системы является наличие в схеме по меньшей мере двух каналов передачи возмущающего воздействия между начальным приложением возмущения и той точкой, относительно которой стремятся достичь инвариантности. Принцип двухканальности является основной идеей при выборе рациональной структуры абсолютно инвариантных систем, но не заменяет условий физической реализуемости, приведенных выше.

В комбинированных системах управления выполнение условий инвариантности требует также создания противодействия, равного по значению, но противоположного по знаку возмущающему воздействию.

➢ Пример 16.Пусть имеем двухконтурную систему стабилизации, изображенную нарис.8.12.

Для удовлетворения условий инвариантности требуется, чтобы передаточная функция была равна по величине, но обратна по знаку передаточным функциям звеньев второго канала, по которому передается возмущение:

или.

При выполнении условия (8.19) компенсирующее звено физически реализуемо.

В отличие от систем стабилизации по отклонению, системы, основанные на комбинированном принципе управления, не имеют противоречия между условиями устойчивости и инвариантности.

Отметим, что инвариантность системы по отношению к внешнему неизменяющемуся воздействиюдостигается в астатической системе первого порядка. Действительно, для замкнутой астатической системы приимеем

.

Отсюда видно, что в установившемся режиме не зависит от.

Аналогично можно показать, что астатическая система второго порядка отрабатывает без статической ошибки любые постоянные сигналы и любые линейные функции времени. Эти рассуждения можно распространить на астатические системы любого порядка.

➢Пример 17. Рассмотрим систему стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока, изображенную нарис.8.13. Задание частоты вращения производится потенциометром П в виде пропорционального положению контакта напряженияU₀. Это напряжение сравнивается с напряжениемU₁, вырабатываемым датчиком частоты вращения двигателя, который представляет собой тахогенератор ТГ. РассогласованиеU₂ = U₀ – U₁поступает на вход усилителя, на выходе которого включена обмотка управления электромашинного усилителя (ЭМУ). Якорь ЭМУ соединен с якорем управляемого двигателя Д. В зависимости от знака и величины рассогласованияU₂напряжение на ЭМУ изменяется, поддерживая частоту вращения двигателя Д в заданных пределах. По принципу действия данная система является статической (закон управления пропорциональный). Для повышения точности системы вводится вспомогательная цепь управления по возмущению (моменту сопротивления, приложенному к валу двигателя). Датчик момента ДМ подает сигналU₃на вход корректирующего устройства КУ, выходной сигналU₄, с ко­торого суммируется с рас­согласованиемU₂.

Электродвигатель в данном случае имеет две степени свободы, так как его частота вращения зависит от ЭДС в главной цепи Еи от момента сопротивления, т.е.. Следовательно, для двигателя необходимо записать два уравнения: уравнение равновесия ЭДС в цепи якоря

; (8.20)

и уравнение движения привода

. (8.21)

Исключив из (8.20) и (8.21) ток , получим

или,

где Т_о– электромеханическая постоянная,.

Передаточная функция двигателя по каналу будет иметь вид

,

а по каналу

.

Передаточная функция ЭМУ с учетом инерционности обмотки управления и поперечной цепиимеет вид

.

Тахогенератор, усилитель и датчик момента можно считать безынерционными звеньями, тогда . Структурная схема системы показана нарис.8.14.

Для определения условий инвариантности запишем передаточную функцию по возмущению с учетом двухканальности в виде:

,

где .

Тогда

.

Учитывая условие инвариантности (равенство нулю числителя), имеем

. (8.22)

После подстановки в (8.22) значений соответствующих передаточных функций, имеем

или

.

В данном случае , что противоречит условию физической реализуемости (8.19). Таким образом, абсолютно инвариантная система нереализуема, однако, воспользовавшись реальными дифференцирующими звеньями, можно получить систему, достаточно близкую к инвариантной. Заметим, что даже приосуществляется полная инвариантность системы по отношению к постоянному моменту сопротивления, т.е. исключается статическая ошибка.

В данном случае условие инвариантности системы не отразилось на ее устойчивости, так как характеристическое уравнение замкнутой системы не изменилось после введения корректирующего звена. Следовательно, в комбинированных системах условия инвариантности и устойчивости не противоречат друг другу.