2. Составление и линеаризация уравнений движения элементов системы

Поведение отдельных элементов системы под действием внешних сил и всей системы в целом обычно описывается дифференциальными уравнениями (ДУ). Первым шагом при составлении уравнений динамики исследуемого элемента системы является выявление физического закона, определяющего его поведение во времени. Таким законом прежде всего является закон сохранения материи (вещества или энергии), который постулирует невозможность мгновенного перехода любого физического объекта из одного состояния в другое, поскольку для этого потребовалась бы бесконечно большая скорость изменения состояния, что физически нереализуемо. Кроме того, законы физики постулируют невозможность исчезновения материи, она может только превращаться из одного вида в другой, причем это превращение тоже протекает во времени.

➢  Пример 1. Составим математическое описание системы двигатель – рабочая машина.

В соответствии с энергетическим балансом имеем

, (2.1)

т.е. работа движущих сил расходуется на преодоление сил сопротивленияи изменение кинетической энергии, вызванное изменением скорости движения.

Продифференцировав уравнение (2.1) по времени, получим уравнение баланса мощностей

,

где – мощность, расходуемая на преодоление сил сопротивления,;– динамическая мощность, характеризующая изменение запаса кинетической энергии системы,.

Для системы вращающихся тел имеем

где – частота вращения двигателя;– момент инерции;m_i– массаi-й частицы тела, удаленной от оси вращения на расстояниеr_i,;– приведенный радиус инерции,

Если момент инерции зависит от угла поворота , т.е.J = f(),который, в свою очередь, зависит от времени(t), то

Разделив полученное уравнение на и учтя, что, получим

.

Если J = const, то. Тогда с учетом уравнения (2.1) уравнение движения системы двигатель – рабочая машина можно записать так:

. (2.2)

Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых зависят переменные, входящие в уравнение (2.2), и формализация этих зависимостей.

Движущий момент в нашем примере зависит от поступления энергии в машину, т.е. от положения регулирующего органаxи частоты вращения. Момент сопротивленияможет состоять из ряда слагаемых: часть их может быть постоянна (сила трения), другие – зависеть от(«вентиляторная нагрузка»), третьи – от пути, времени и т.д.

Предположим, что зависит от положения регулирующего органа и частоты вращения, т.е., а момент сопротивления– только от частоты вращения, т.е.и J = const. Вид этих зависимостей определяет тип уравнения (2.2), которое может быть линейным или нелинейным. Если нелинейность гладкая, без скачков, и отклонение от номинального режима работы не очень существенно, то нелинейное уравнение можно с определенной погрешностью заменить на линейное. При этом существенно упрощается анализ динамических свойств объекта управления.

* * *

Замена нелинейного уравнения линейным называется линеаризацией. При этом все нелинейные функции переменных, входящих в уравнение движения, разлагают в ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки (установившегося значения переменных). На том основании, что отклонения малы, в разложении оставляют лишь члены, содержащие отклонения в первых степенях, после чего из полученных уравнений вычитают уравнения равновесия (статики) и получают запись линеаризованных уравнений в отклонениях.

Нелинейная функция двух переменных F(x,y) разлагается в окрестностях рабочей точки (x₀,y₀) в ряд Тейлора по формуле

Линейная часть приведенного разложения определяется лишь первыми тремя членами, остальными слагаемыми можно пренебречь в силу малости x,y. Таким образом, поверхностьF(x,y) заменяется плоскостью:

.

В рассматриваемом примере линеаризация функции ,в окрестностях состояния равновесияx = x₀, = ₀дает следующие результаты:

(2.3)

Подставив соотношения (2.3) в уравнение (2.2) и вычтя из    полученного выражения уравнение равновесия , получим

. (2.4)

Разделив (2.4) на коэффициент при и опустив знак, найдем

(2.5)

где ;.

Таким образом, уравнение машины-двигателя, описывающее поведение этой системы в переходных режимах, представляет собой линейное ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами: Т– постоянная времени иk– коэффициент усиления (передачи).

Заметим, что в данном случае мы учитывали только одну энергетическую емкость, представляющую собой вращающиеся части машины-двигателя, в которых запасается кинетическая энергия. Если таких емкостей в системах будет n, то она будет описываться ДУn-го порядка.

Системы, поведение которых описывается линейными (или линеаризованными) ДУ, относятся к классу линейных.