3.5. Связь между операторами преобразования сигналов линейной системы
Как было сказано ранее, оператором преобразования называется математическое выражение, связывающее входную и выходную величины системы, т.е. y = A{x} (см. рис.3.1).
Основным оператором линейной системы является линейное дифференциальное уравнение, в правой части которого стоит входная величина, а в левой – выходная, например,
.
(3.18)
Преобразовав уравнение (3.19) по Лапласу при нулевых начальных условиях, найдем передаточную функцию, которая также является оператором преобразования:
или
,
тогда
.
(3.19)
Преобразовав выражение (3.18) по Фурье, получим частотную функцию системы:
.
(3.20)
Сопоставив (3.19) и (3.20), найдем
.
Решим ДУ (3.18) классическим методом при типовом единичном ступенчатом возмущении x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях:
.
Воспользовавшись (3.19) и учтя, что
,
получим:
,
тогда
.
(3.21)
Таким образом, выражение (3.21) связывает передаточную функцию с переходной функцией. При этом W(p) = pL{h(t)} = pH(p).
Весовую функцию w(t) находим с
учетом того, чтоx(t) = (t) = 1(t).
Так какw(t) = h(t),
то
.
Воспользовавшись (3.19) и учтя, что L{(t)} = 1, получим
Y(p) = W(p) = L{w(t)}, (3.22)
тогда
w(t) = L-1{W(p)}.
4. Типовые динамические звенья асу
Современные АСУ состоят из элементов различной физической природы, конструктивного исполнения, источников энергии и т.д. Динамические свойства этих элементов часто можно описать одним и тем же ДУ. Положив в основу классификации динамические свойства, обычно выделяют следующие звенья: усилительное, инерционные, колебательное, интегрирующее, дифференцирующее.
1. Усилительное звено. Оператор преобразования равенk:y = kx.
2. Инерционные(апериодические)звеньяпервого порядка, описывается
ДУ вида:
;
второго порядка –
при> 1, корни
характеристического уравнения
вещественные отрицательные.
3. Колебательное звено(0 << 1)
–
при 0 << 1,
корни характеристического уравнения
комплексные сопряженные.
В статическом режиме (при равенстве нулю всех производных) все приведенные звенья имеют уравнение, аналогичное усилительному звену, что свидетельствует о наличии связи между входной величиной xи выходной величинойyв статике. Поэтому все рассмотренные звенья относятся к классустатических.
4. Интегрирующее звено. Описывается выражением
или
.
Здесь выходная величина yбудет изменяться до тех пор, покаx 0.
5. Дифференцирующее звено–
.
Последние два звена не имеют связи между входнымиивыходнымивеличинами в статике,поэтому относятся к классуастатических.
Реальные звенья можно описать уравнением и выше второго порядка, но формально это описание можно заменить системой уравнений, каждое из которых имеет порядок не выше второго, и таким образом, представить реальное звено в виде звеньев 1-5. Поэтому эти звенья называются элементарнымиилитиповыми.
Предполагается, что все звенья являются звеньями направленного действия (т.е. выходная величина не оказывает влияния на входную). Каждое звено характеризуется уравнением динамики, передаточными функциями, частотными функциями, временными характеристиками.