3.3. Частотные характеристики линейных систем

Пусть ДУ системы имеет вид

. (3.14)

Воспользуемся прямым преобразованием Фурье, которое можно получить из преобразования Лапласа при p = j:

. (3.15)

Тогда (3.14) запишется в виде

.

Отсюда

. (3.16)

Выражение (3.16) представляет собой частотную функцию или амплитудно-фазочастотную характеристику системы (АФЧХ),

,

где W(j) = A() – амплитудно-частотная характеристика системы (АЧХ), а argW(j) = () – фазочастотная характеристика системы (ФЧХ).

Частотная функция системы (3.16) может быть представлена в алгебраическом виде:

W(j) = A()e^j() = P() + jQ(),

где

В данном случае P() называютвещественной частотной характеристикой, аQ() –мнимой частотной характеристикой. Ее также можно представить в логарифмическом виде:

lgW(j) = lgA() + j()lge,

где lge = 0,434.

В случае подачи на вход системы гармонического сигнала x = asintили, частное решение уравнения (3.14) отыскивается в том же виде, что и входной сигналx(t):

y(t) = A₀ sin(t + ) или y*(t) = A₀ e^{j( + t)}.

Подставивx*(t) иy*(t) в (3.14) и сократив e^jt, получим

A(j)A₀e^j = B(j)a,

. (3.17)

Из сопоставления уравнения (3.16) с уравнением (3.17) при  = const получим

.

Если – переменная величина ( = var), то величинаA₀будет функцией частоты, тогдагдеA() –амплитудно-частотная характеристика(рис.3.6, а), которая характеризует усиление периодического сигнала на различных частотах. При измененииизменяется и фаза выходного сигналаyпо отношению к входномуx, т.е. имеем() – фазочастотная характеристика (рис.3.6, б). Здесь_р– резонансная частота.

Геометрическое место концов вектора частотной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности называется годографом вектора W(j) (рис.3.6, в).

Заметим, что для нахождения функции действительного переменного tпри известной функцииY(j) необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье:

.

3.4. Условия однозначной связи между частотными характеристиками

Из соотношенияW(j) = A()e^j() = P() + jQ() следует, что частотная характеристика полностью определена, если задана любая из пар:A() и() илиP() иQ(). Однако при определенных условиях существует однозначная связь междуA() и(), а такжеP() иQ(). Это позволяет упростить исследования систем, ограничиваясь, например, рассмотрениемA() илиP(). В теории интегралов Фурье доказывается, что условие существования однозначной связи заключается в том, чтобы частотная функцияне имела ни нулей, ни полюсов в нижней полуплоскости корней полиномов числителя и знаменателя (нули – корни полиномаB(j) = 0, следовательно,W(j) = 0, а полюса – корни полиномаA(j) = 0, следовательно,W(j) = –рис.3.7).

Системы, которые удовлетворяют этим условиям, называются минимально фазовыми. Из всех возможных систем с одной и той же АЧХ они дают наименьший сдвиг фазпри любой частоте.

➢   Пример 5. ПустьW₁(j) = 1 (линия передачи сигнала). Следовательно,A₁() = 1, а₁() = 0. Пусть

,

где a = const.

Тогда

;.

Поскольку корень числителя W₂(j) лежит в нижней полуплоскости (₁ = –ja), эта система принадлежит к классу неминимально-фазовых, а₂() отлична от нуля при0 и зависит ота.

Таким образом, системы имеют одинаковые амплитудно-частотные характеристики A₁() = A₂() = 1, но разные фазо-частотные. Последнее свидетельствует о неоднозначности связи междуA₂() и₂() и необходимости рассматривать эти характеристики совместно.