- •Введение
- •1. Общие положения
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Принцип управления по возмущению
- •1.3. Принцип управления по отклонению
- •1.4. Классификация асу
- •2. Составление и линеаризация уравнений движения элементов системы
- •3. Методы решения линейных дифференциальных уравнений
- •3.1. Классический метод
- •3.2. Решение ду с помощью преобразования Лапласа
- •3.3. Частотные характеристики линейных систем
- •3.4. Условия однозначной связи между частотными характеристиками
- •3.5. Связь между операторами преобразования сигналов линейной системы
- •4. Типовые динамические звенья асу
- •4.1. Усилительное звено
- •4.2. Апериодическое звено первого порядка
- •4.3. Апериодическое звено второго порядка
- •4.4. Колебательное звено
- •4.5. Интегрирующее звено
- •4.6. Дифференцирующее звено
- •4.7. Звено с запаздыванием
- •4.8. Полуинерционное звено
- •5. Структурные схемы асу
- •5.1. Обозначения в структурных схемах линейных систем
- •5.2. Передаточная функция замкнутой асу
- •5.3. Правила структурных преобразований
- •5.4. Использование графов для преобразования структурных схем
- •5.5. Формула Мезона
- •5.6. Многомерные системы управления
- •5.7. Управляемость и наблюдаемость
- •6. Устойчивость асу
- •6.1. Переходные процессы в асу
- •6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •6.3. Частотные критерии устойчивости
- •7. Анализ качества процесса управления
- •7.1. Прямые методы
- •7.2. Косвенные методы
- •8. Методы синтеза асу
- •8.1. Законы регулирования в линейных асу
- •8.2. Коррекция линейных асу
- •8.3. Принцип инвариантности
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
3. Методы решения линейных дифференциальных уравнений
3.1. Классический метод
Классическим оператором преобразования, связывающим входной и выходной сигналы линейной системы, является линейное ДУ с постоянными коэффициентами (рис.3.1).
Переменная, стоящая в правой части уравнения, является входным воздействием, а в левой – выходной величиной.
В общем случае линейное неоднородное ДУ записывается в виде
. (3.1)
,
где – общее решение однородного ДУ, характеризует свободное движение системы (без внешних воздействий);– частное решение неоднородного ДУ, характеризует вынужденное движение системы.
Общее решение однородного ДУ обычно отыскивается в виде экспоненты
. (3.2)
Взяв от (3.2) производные и подставив в (3.1), получим
,
или, сократив на e–pt, имеем
. (3.3)
Уравнение (3.3) является характеристическим уравнением ДУ (3.1), имеющим nкорней и, следовательно,nнезависимых решений. Известно, что если имеетсяnнезависимых решений уравнения, то их сумма также является решением этого уравнения, т.е.
,
где pi– корни характеристического уравнения;Ci– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Частное решение неоднородного ДУ обычно отыскивается в том же виде, в каком дана правая часть, т.е. зависит от вида функции x(t) на входе.
В реальных системах входной сигнал чаще всего бывает случайной функцией времени. Поэтому, чтобы сопоставить переходные процессы в различных системах, рассматривают динамику систем при так называемых типовых входных воздействиях, в качестве которых чаще всего применяются единичные ступенчатая и импульсная функции.
Единичная ступенчатая функция(рис.3.2, а) описывает мгновенное изменение входного сигнала и обозначается,
Единичная импульсная функция(рис.3.2, б) описывается выражением
.
Очевидно, что функции 1(t) и(t) связаны между собой соотношением. При подаче на вход системы типового входного воздействия видаиливыходная величина системы будет изменяться во времени тем или иным образом. Это изменение и является реакцией системы на определенное воздействие.
Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяпереходной функциейилипереходной характеристикой.
Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяимпульсной переходной характеристикойилифункцией веса.
Функции иназываютсявременными характеристикамисистемы иликривыми разгона, и для линейных звеньев связаны соотношением
.
➢ Пример 2. Пусть система управления описывается ДУ первого порядка
,
Найти временные характеристики системы.
Характеристическое уравнение имеет корень. Общее решение однородного ДУ имеет вид. Предположим, что, тогда частное решение ДУ. Подставив его в ДУ, получимC2 = k. Тогда общее решение неоднородного ДУ.
➢ Пример 3. Если на вход системы (пример 2) подается линейно изменяющийся сигнал (рис.3.4, а), имеем
,
при этом ;.
Подставивy2(t) в ДУ, получимC2T + C2t + C3 = kt, откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменнойt, имеемC2 = k,C2T + C3 = 0, и, следовательно,C3 = –kT. Тогда общее решение неоднородного ДУ (рис.3.4, б)
При начальных условиях y(0) = 0 найдемC1 = Tk. Окончательно получим
.