statistika_проц_22

χ2 = (n −1)S2 .

σ02

3) Вычислим χ2íàáë						= (20 −1)42			= 8,44.
						36
4) По таблице приложения 2 найдем χêð2										(1−α=0,95;Kñâ=19) =10,1.
5)
				00				, ò.å.	χíàá2 ë < χêð2
		01
			χ	2	= 10,1
								Ответ: Нулевая гипотеза должна быть
				êð
								отклонена, что означает, что выборочный
χ2
	= 8,44
íàáë						результат статистически значим, т.е. новая

система более удобна для клиентов банка.

8.10. Проверка гипотез о дисперсиях двух нормальных генеральных совокупностей

Рассмотрим две генеральные совокупности X1 è X2, распределенные нормально, т.е. X1 → N (a1;σ1 ) è X2 → N (a2 ;σ2 ) . Из них извлекаются две независимые случайные выборки с объемами n1 è n2 и находятся исправленные выборочные дисперсии

S12 = σâûá2	n1	è S22 = σâûá2	n2	.
	n1 −1		n2 −1

Требуется проверить нулевую гипотезу			H0 : σ12 = σ22 . В качестве
критерия проверки этой гипотезы применяется статистика
2
F =	S1	,	(8.8)
	2
	S
2

которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы K1 = n1 −1 è

K2 = n2 −1.

Предполагается, что S12 > S22 . Рассмотрим критические области в зависимости от вида альтернативной гипотезы H1

а) Пусть H0 : σ12 = σ22

H1 : σ12 > σ22.

В этом случае строим правостороннюю критическую область.

291

Критическая точка Fïðàâ	ïðàâ
	определяется из условия P (F ≥ Fïðàâ ) = α .
êð(α)	êð

По таблице приложения 4 находится граница правосторонней критической области Fêðïðàâ(α;K1 =n1 −1;K2 =n2 −1) .

б) Пусть H0 : σ12 = σ22

H1 : σ12 ≠ σ22 .

В этом случае строим двустороннюю критическую область. Fêðïðàâ(α 2;K1;K2 ) — находится по таблице приложения 4, но левосто-

ронних критических точек эта таблица не содержит. Но можно доказать, что левая критическая точка F — распределения соот-

	ветствует правой критической точке распределения		F′ =	1	. Таким
				F
	образом, можно находить только правые точки для		F è		F ′ , ÷òî-
	бы определить Fëåâ	è Fïðàâ, и поэтому левосторонняя критическая
	êð	êð			α .
	точка Fëåâêð(1–α/2;K1;K2) также находится по уровню значимости
					2

Åñëè Fíàáë < Fêðïðàâ — нет оснований отклонить H0; åñëè Fíàáë ≥ Fêðïðàâ — H0 отклоняется.

Таблица 8.6

Алгоритм построения критических областей при проверке гипотезы о равенстве двух дисперсий

	Íóëü-гипотеза	H0 : σ12				= σ22
	Альтернативная	à) H1 :				2	2
	гипотеза				σ1 > σ		2
		á) H1 :			σ12 ≠ σ22
		Замечание: гипотеза H1 : σ12 < σ22 заменяется гипотезой
		H1 : σ12 > σ22 .
	Уровень	α (часто α = 0,05 èëèα = 0,01 )
	значимости для	Для промежуточных значений уровней значимости
	критерия
		критические точки можно получить из таблицы приложения
		6, применяя интерполирование.
	Критерий			2
		F =	S1			, ãäå S 2		è S 2 — исправленные выборочные
	(критериальная
			S	2			1	2
	статистика)			2
		дисперсии и S 2 > S 2
							1	2

292

								Окончание табл. 8.6
Критические	Зависят отα . Ýòî:
точки	а) граница F ïðàâ			2 )		, разделяющая правостороннюю
	(	1	;K
	êð α	;K
	критическую область от области принятия H0 , где числа
	степеней свободы K1						= n1 −1 è K2 = n2 − 1 находятся по
	таблице критических точек распределения — Фишера-
	Снедекора (приложение 4)
	б) граница F ïðàâ				1		2 )	находится по таблице приложения 4, а
		(	2;K			;K
	2êð α
	граница F ïðàâ	находится как правосторонняя по уровню
	1êð
	значимости α .
	2
Правило	Нулевая гипотеза H0						отклоняется, если:
принятия	à) Fíàáë ≥ Fêð(α;K1 ;K2 )
решения
	á) Fíàáë ≥ Fêð(α 2;K1 ;K2 )

8.11. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормальных генеральных совокупностей

с известными дисперсиями

Постановка задачи.

Пусть X1 è X1 — нормальные генеральные совокупности с изве-

стными дисперсиями σ2 è σ2 и неизвестными генеральными сред-

ними и (математическими ожиданиями), причем

X X 1 2 X → (X ;σ2 )

1( 2 ) 1 1 1 è X2 → X2;σ22 .

Из генеральных совокупностей извлечены две независимые вы-

%	,	%	è σ	2
борки с объемами n1 è n2. В результате получены X1		X2		1âûá,

σ22âûá — средние арифметические и дисперсии выборочных сово-

купностей. Известно, что

%

σ12

%

;

σ22

X1

→ X1;

è X2

→ X2

.

n1

n2

Требуется на уровне значимости

α

проверить нулевую гипотезу

H0 :

1 =

2 .

X

X

%

%

Так как выборки независимы, то независимы и X

и Y . Поэтому

%

%

%

%

σ12

σ22

D (X1

− X2 ) = D (X1 ) + D (X2 ) =

+

.

n

n

1

2

293

Если справедлива нулевая гипотеза H0, òî
M (X1	− X2 ) = M (X1 )− M (X2 ) = 0
%	%		%		%
Тогда случайная величина (статистика)
	%		%
	Z =	X1	− X2	→ N	(0;12 )
		σ12	+ σ22		(8.9)
		n1	n2

и применяется в качестве критерия для проверки нулевой гипотезы H0 : X1 = X2 .

Таблица 8.7

Алгоритм построения критических областей при проверке гипотезы о равенстве средних с известными дисперсиями

Íóëü-гипотеза

H0 : X

1 = X 2

Альтернативная

à) H1

: X1

≠ X 2

гипотеза

á) H1

: X1

> X

2

2

â) H1 : X1

< X

Уровень

α (часто α = 0,05

èëè α = 0,01 )

значимости для

критерия

Критерий

Z =

X%1 − X%2

(предполагается, что генеральные дисперсии

(критериальная

σ12

+ σ22

статистика)

n1

n2

σ12 è σ22 известны)

Критические

Зависят отα . Ýòî:

точки

а) границы ±Z êð(α 2) , разделяющие двустороннюю критиче-

скую область от области принятия H0 , находятся как

−1

α

±Z êð(α 2) = ±Φ0

0,5 −

по таблице приложения 1

2

(когдаα = 0,05 , критические точки ±1,96 ; когда α = 0,01 ,

критические точки ±2,575 )

294

Окончание табл. 8.7

	Критические				ïðàâ
	точки	б) граница Z êð;α , разделяющая правостороннюю
		критическую область от области принятия H0 , находится как
		Φ0−1 (0,5 −α)
		(когдаα = 0,05 , критическая точка Zα						= 1,645 );
		когдаα = 0,01 , критическая точка Zα						= 2,325 )
		в) граница −Z êð;ëåâα , разделяющая левостороннюю критическую
		область от области принятия H0 , находится как
		−Zα = −Φ0−1 (0,5 −α)
		(когдаα = 0,05 , критическая точка −Zα = −1,645 ;
		когдаα = 0,01 , критическая точка −Zα = −2,325 )
	Правило	Нулевая гипотеза H0 отклоняется, если:
	принятия	à)		Z íàáë			≥ Z êð
	решения
		á)		Z íàáë			≥ Z êð
		â)		Z íàáë			≤ −Z êð

8.12. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей

при неизвестных равных генеральных дисперсиях (малые неизвестные выборки)

Постановка задачи.
Имеются две генеральные совокупности X1 → N (								1;σ12 ) è
						X
X2 → N (		2;σ22 ), из которых известны выборки с объемами n
	X						1		è n	1	ñ
%			2	%	2						2
параметрами X1 ,			S1 è	X2 ,	S2 . Пусть генеральные дисперсии σ						1

è σ22 неизвестны, например, по той причине, что нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий по выборкам малого объема. Но если предположить, что генеральные дисперсии равны, то примем без доказательства, что можно построить критерий проверки нулевой гипотезы, представляющий собой статистику

				1 −		2
T =			X		X			n1n2		,
	(n1	−1)S12 + (n2 −1)S22
								n1	+ n2		(8.10)
		n1 + n2 − 2

295

которая при справедливости нулевой гипотезы имеет t-распреде- ление Стьюдента с числом степеней свободы Kñâ = n1 + n2 − 2 .

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы.

Правила построения критических областей и принятия решений сформулируем при помощи табл. 8.9.

Таблица 8.8

Алгоритм проверки гипотезы о равенстве двух средних неизвестных равных генеральных дисперсиях

Íóëü-гипотеза

H0 : X

1 = X 2

Альтернативная

à) H1

: X1

≠ X 2

гипотеза

á) H1

: X1

> X

2

2

â) H1 : X1

< X

Уровень

α (часто α = 0,05 èëè α = 0,01 )

значимости для

критерия

Критерий

T =

X1 − X 2

, ãäå S12 è S22 неисправленные

(критическая

1

статистика)

n1S12 + n2S22

1

n1 + n2 − 2

+

n1

n2

выборочные дисперсии (предполагается, что генеральные

дисперсии σ12 è σ22 неизвестны, но равны)

Критические

Зависят от α . Ýòî:

точки

а) границы

±tдвуст.кр(α;Kñâ =n1 +n2 −2) , разделяющие двустороннюю

критическую область от области принятия H0 , находятся по

таблице критических точек распределения Стьюдента

(приложение 3) по уровню значимости α , помещенному в

верхней строке таблицы и числу степеней свободы

Kñâ = n1 + n2 − 2

Критические

б) граница

ïðàâ

точки

têð(α;Kñâ =n1 +n2 −2) , разделяющая правостороннюю

критическую область от области принятия H0 , определяется по уровню значимости α , помещенному в нижней строке таблицы приложения 10 и числу степеней свободы

Kñâ = n1 + n2 − 2

296

Окончание табл. 8.8

Критические

â)

граница

ëåâ

=n +n −2

, разделяющая

левостороннюю

точки

têð α;K

(

ñâ 1 2

)

критическую область от области принятия H0 , определяется

сначала t ïðàâ

=n

+n −2

)

и затем полагается t ëåâ

= −t ïðàâ

êð α;K

ñâ

êð

êð

(

1

2

Правило

H

0 отклоняется, если:

принятия

à)

tíàáë

≥ tдвучт.кр

решения

á) tíàáë ≥ têðïðàâ

â) tíàáë ≤ −têðëåâ

Пример 8.4. Менеджер предприятия, работающего в две смены, решил выяснить, существует ли разница в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены. Случайно организованная выборка 10 рабочих дневной смены показала, что средний выпуск продукции составил 74,3 ед./ч, а исправленная дисперсия оказалась равной S2 = 16 ед/ч. Выборка же 10 рабочих вечерней смены выявила, что средний выпуск продукции равнялся 69,7 ед/ч, а S2 = 18 ед/ч. На 1%-ом уровне значимости определите, существует ли разница в производительности труда рабочих вечерней и дневной смены.

Решение

Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу H0 : σ12 = σ22 о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора.

	S2	= 16		10		≈ 17,8,
			10 −1
	S2	= 18		10		≈ 20.
			10 −1

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Fíàáë = 17,820 = 1,12.

Дисперсия 20 больше дисперсии 17,8; дисперсия 18 больше дисперсии 16. Поэтому в качестве альтернативной примем гипотезу H : σ12 > σ22 . В этом случае критическая область правосторонняя. По

297

таблице приложения 4, по уроню значимости α = 0,01 и числам

степеней свободы к1 = 9 è ê2 = 9 находим Fïðàâêð(0,01;9;9) = 5,35.

Òàê êàê Fíàáë < Fêð (1,12 < 5,35) — нет оснований отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Поскольку пред-

положение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние.

Èòàê:

1) H0 : X1 = X 2

H1 : X1 > X 2 (так как 75,3 > 69,7) — имеем правостороннюю критическую область.

2)

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем слу-

чайную величину

1 −

2

n1n2 (n1 + n2

− 2)

T =

X

X

.

(n1 −1)S12 + (n2 −1)S22

n1 + n2

3)

tíàáë =

74,3 − 69,7

9 9(9 + 9 − 2)

≈

4,6

8,4853 ≈ 2,12.

9 17,8 + 9 20

9 + 9

18,44

4) Находим têð по таблице приложения 3. têð(0,01;Kcâ=16)=2,58.

01 00

têð=2,58

tíàáë=2,12

Нет оснований отклонить гипотезу H0.

Ответ: Нет, не существует разницы, а имеющие место разли- чия случайны, незначимы.

8.13. Проверка гипотезы о равенстве долей двух нормально распределенных генеральных совокупностей

Постановка задачи.

Пусть имеются две генеральные совокупности, имеющие распределения Бернулли с параметрами p1 è p2 (p1 è p2 — доли элементов генеральных совокупностей, обладающих качественным признаком). Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки

298

объема n

è n

( n1,2 ≥ 100 ) и вычислены выборочные доли W

=

m1

1

2

1

n1

m12

è

W2 =

. На уровне значимости α

надо проверить гипотезу

n

2

H0 : p1 = p2 .

Известно, что при большом числе испытаний

p1q1

W

→ N p

;

,

1

1

n1

p2q2

W

→ N p

;

.

2

2

n2

Нам известно, что если испытания независимы в пределах каждой выборки и между выборками, то величины m1 è m2 независимы и тогда W1 è W2 — независимы.

					p1q1		p2q2
Значит, W	− W	→ N p		− p ;		+			в силу центральной пре-
1	2		1	2 n1			n2

дельной теоремы (ЦПТ). Итак,

(W1 − W2 ) − (p1 − p2 ) → N (0;12 ).

p1q1 + p2q2 n1 n2

Поэтому проверка нулевой гипотезы осуществляется при помощи критерия

m1

−

m2

Z =

n1

n2

n,

(8.11)

pq

ãäå n =

n1n2

;

=

m1

+ m2

;

= 1 −

.

p

q

p

n1 + n2

n1

+ n2

Если нулевая гипотеза верна, то эта выборочная статистика (8.11) Z → N (0;12 ).

299

Таблица 8.9

Процедура построения критических областей, при проверке гипотезы о равенстве двух долей

Íóëü-гипотеза

H0 :

p1 = p2

Альтернативная

à) H1

: p1 ≠ p2

гипотеза

á) H1 : p1 > p2

â) H1 : p1 < p2

Уровень

α (часто α = 0,05

èëèα = 0,01 )

значимости для

критерия

Критерий

m1

− m2

(критериальная

m1 + m2

Z =

n1

n2

n , ãäå n =

n1n2

;

=

;

статистика)

p

pq

n1 + n2

n1 + n2

= 1 −

q

p

Критические

Зависят отα . Ýòî:

точки

а) границы ±Z êð(α 2) , разделяющие критические области от

области принятия H0 , могут быть получены по таблице

приложения 1 как

±Z êð;α 2

−1

α

= ±Φ0

0,5 −

2

(когдаα = 0,05 , критические точки равны ±1,96 ;

когдаα = 0,01 , критические точки равны ±2,575 )

Критические

ïðàâ

, разделяющая правостороннюю критическую

точки

б) граница Z êð;α

область от области принятия H0 , определяется как

Z êð;α

= ±Φ0−1 (0,5 −α) по таблице приложения 1

(когда α = 0,05 , то критическая точка

Z êðïðàâ

= Φ0−1 (0,5 − 0,05) = 1,645 ;

когда α = 0,01 , то критическая точка

Z êðïðàâ

= Φ0−1 (0,5 − 0,01) = 2,325 )

в) граница Z êð;ëåâα , разделяющая левостороннюю критическую

область от области принятия H0 , определяется сначала Z êð;ïðàâα

и затем полагается

Z ëåâ

= – Z ïðàâ

êð;α

êð;α

300