statistika_проц_22

максимально непохожи друг на друга, тогда как единицы совокупности внутри групп — максимально друг на друга похожи (группы должны быть максимально разнородными «снаружи» и максимально однородными — «внутри»). В основу группировки закладывается признак (или совокупность признаков), по которому единицы совокупности существенно отличаются друг от друга. Наиболее удач- ными, как правило, оказываются группировки, в основе которых лежит качественный признак.

Например, при изучении отношения к приватизации можно предположить, что тип предприятия, на котором работают респонденты (государственное или частное), будет существенно сказываться на их отношении к приватизации. В таком случае все предприятия разделяются на группы в зависимости от формы собственности, а потом из каждого типа отбираются респонденты, например, пропорционально численности данного контингента в генеральной совокупности.

Типический отбор организовать сложнее, чем собственно слу- чайный, так как необходимы определенные знания о составе и свойствах генеральной совокупности, но зато он дает более точ- ные результаты.

Отбор единиц из типических групп производится двумя методами:

■пропорционально объему (численности единиц) типических групп;

■непропорционально объему (численности единиц) типических групп, в том числе — пропорционально колеблемости признака в типических группах (оптимальное размещение).

Для осуществления пропорционального отбора единиц из типи- ческих групп необходимо заранее знать объем генеральной совокупности N, а также объем типических групп Nj. Такую информацию удается получить далеко не всегда. Однако, если эти величи- ны известны, то объем выборки из каждой типической группы рассчитывается по формуле:

	nj = n	Nj	,	(7.51)
		N
ãäå nj	— объем выборки из j-й типической группы,
n	— объем выборочной совокупности,
Nj	— объем j-й типической группы,
N	— объем генеральной совокупности.

251

Если объемы генеральной совокупности N или типических групп Nj — неизвестны, то приходится прибегать к непропорциональному отбору.

Наиболее точные оценки дает так называемое оптимальное размещение. Его используют тогда, когда удается оценить вариацию изучаемого признака внутри групп, т. е. — групповые дисперсии (средние квадратические отклонения).

Тогда объем выборки из каждой типической группы рассчитывается по формулам:

■ для средней

nj = n	σjNj	,	(7.52)
	∑σjNj

ãäå σj — среднее квадратическое отклонение изучаемого признака

âj-é группе.

■äëÿ äîëè

nj = n	Nj	wj(1 − wj )	,	(7.53)
	∑Nj
		wj(1 − wj )

ãäå wj — выборочная доля в j-й типической группе.

Оптимальное размещение позволяет минимизировать стандартную (среднюю) ошибку выборки. Собственно говоря, принято счи- тать, что хорошо организованный типический отбор дает наименьшую погрешность в оценках параметров генеральной совокупности, чем другие способы отбора, так как случайную колеблемость будет определять только часть общей дисперсии — средняя из групповых дисперсий, которая теоретически должна быть меньше, чем межгрупповая дисперсия при серийном отборе. Впервые оптимальное размещение было предложено в 1920 г. А.А. Чупровым и независимо от него в 1934 г. Е. Нейманом.

Величина стандартной ошибки средней арифметической при типическом повторном отборе, пропорциональном объему групп может быть определена по формуле:

µx	=	σx2	,	(7.54)
		n

ãäå σx2 — средняя из групповых дисперсий признака; n — объем выборки.

252

При бесповторном отборе с каждой отобранной единицей вероятность отбора оставшихся единиц повышается, при этом стандартная ошибка выборочной средней уменьшается по сравнению с повторным отбором и имеет для типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп следующий вид:

µx	=	σx2		N − n	=%	σx2			−	n
								1			.
		n N − 1				n
										N

где N — объем генеральной совокупности.

Средняя из выборочных дисперсий типических групп σx2 ляются следующим образом:

			k
		=	∑σxj2 nj
	σx		k	,
2			j=1
			∑nj
			j=1

ãäå σxj2 — дисперсия признака x в j-й типической группе; nj — число единиц в j-й типической группе.

(7.55)

вычис-

(7.56)

Таблица 7.5

Формулы расчета стандартной (средней) ошибки выборки при типическом отборе, пропорциональном объему групп

µ

Типический отбор, пропор-

Типический отбор, пропор-

циональный объему групп

циональный объему групп

повторный отбор

бесповторный отбор

n

σ

2

2

Для средней

µx

=

σx

µx

=

x

1 −

n

n

N

n

σ

2

2

Äëÿ äîëè

µw

=

σw

µw

=

w

1 −

n

n

N

Величина стандартной ошибки доли при типическом повторном отборе, пропорциональном объему групп может быть определена по формуле:

µw	= σw2		,	(7.57)
		n

ãäå σw2 — средняя из групповых дисперсий выборочной доли.

253

Величина стандартной ошибки доли при типическом бесповторном отборе, пропорциональном объему групп может быть определена по формуле:

µw

=

σw2

N − n

σw2

−

n

n

1

.

(7.58)

N − 1

n

N

Средняя из групповых дисперсий для доли σw2 рассчитывается по следующей формуле:

					k
					∑wj (1 − wj )nj
	σw2	=		=	j=1
			w(1 − w)				,	(7.59)
						k
						∑nj

j=1

ãäå wj — выборочная доля в j-й типической группе; nj — число единиц в j-й типической группе;

k — число типических групп.

Формулы расчета стандартных (средних) ошибок выборки при типическом способе отбора, пропорциональном колеблемости признака в группе (оптимальное размещение) приведены в таблице 7.6.

Таблица 7.6

Формулы расчета стандартной (средней) ошибки выборки при типическом отборе, пропорциональном колеблемости признака в группах (оптимальное размещение)

Типический отбор,

Типический отбор,

µ

пропорциональный

пропорциональный

колеблемости признака

колеблемости признака

в группах, повторный отбор

в группах, бесповторный отбор

Äëÿ

1

∑

σ2 N 2j

1

∑

σ 2 N

2j

−

n

j

xj

xj

1

средней

N

nj

N

nj

N j

Äëÿ

1

∑

w

(1 − w

j

)N 2j

1

∑

w

(1

− w

j

)N

2j

−

n

j

j

j

1

äîëè

N

nj

N

nj

N j

ãäå N

— объем генеральной совокупности;

Nj

— число единиц в j-й типической группе;

254

nj — число отобранных единиц в j-й типической группе;

σxj2 — выборочная дисперсия признака x в j-й типической группе

(дисперсия признака в выборке из j-й типической группы); wj — выборочная доля в j-й типической группе.

Таблица 7.7

Формулы расчета необходимой численности выборки при типическом отборе, пропорциональном объему групп

Типический отбор,

Типический отбор,

n

пропорциональный объему

пропорциональный объему групп,

групп, повторный отбор

бесповторный отбор

Äëÿ

n

=

z2

σx2

nx

=

z2

σx2N

2

средней

x

2

2

2

∆x

+ z

∆x N

σx

Äëÿ äîëè

n

=

z2

σw2

nw

=

z2

σw2N

∆w2

∆w2 N

+ z2σw2

w

Таблица 7.8

Формулы расчета необходимой численности выборки при типическом отборе, пропорциональном колеблемости признака в группах

Типический отбор,

Типический отбор,

n

пропорциональный

пропорциональный

колеблемости признака в

колеблемости признака в

группах, повторный отбор

группах, бесповторный отбор

Äëÿ

nj = n

N jσ j

nj = n

N jσ j

средней

∑N jσ j

∑N jσ j

Äëÿ

nj

= n

N j

w j (1 − wj )

nj = n

N j

w j (1 − wj )

äîëè

∑N j

w j (1 − wj )

∑N j

w j (1 − wj )

Пример 7.7. В трех районах 30 тыс. семей. В первом районе — 15 тыс.; во втором — 12 тыс. и в третьем — 3 тыс. семей. Для определения числа детей в семье была проведена 10 %-я типи- ческая выборка с отбором единиц пропорционально объему типических групп. Внутри групп семьи отбирались с помощью слу- чайного бесповторного отбора. Результаты выборочного обследования семей в трех районах представлены в таблице.

255

Номер	Число семей	Среднее число	Среднее квадратическое
района	в районе	детей в семье	отклонение
1	15000	1,3	1,2
2	12000	1,8	2,5
3	3000	0,8	0,5

С вероятностью 0,95 определите границы доверительного интервала среднего числа детей в семье в трех районах.

Решение

По условию выборочное обследование проведено с помощью типического пропорционального отбора. Объем выборки n = 3000 семей, т.е. выборка — большая.

Найдем границы доверительного интервала среднего числа детей в семье в трех районах, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию: n = 3000; N = 30000; ã = 0,95. Используем формулу:

P X% − z

σx2			n
							%
	1	−			< X < X + z
n			N

		1
2
σx			−	n		= 2Φ		(z) = γ,
							0
	n			N

ãäå σx2	—	средняя из групповых дисперсий выборочной средней;
n	—	объем выборочной совокупности по всем типическим
группам (районам);
N —		численность генеральной совокупности (число семей во
всех районах).
Объем выборки в каждой типической группе (районе) nj:

nj = n Nj , N

ãäå Nj — число семей в j-м районе;

Найдем число семей, выбранных для обследования в каждом районе при условии, что объем выборочной совокупности n по трем районам составляет 3000 семей:

n	= n	N1	= 3000	15000	= 1500 семей;
1		N	30000

256

n2 = 30001200030000 = 1200 семей;

n3 = 3000 300003000 = 300 семей.

Найдем среднее число детей в семье по трем районам в выборочной совокупности (выборочная средняя) с учетом численности отобранных групп:

%

∑ xjnj

1,3 1500 +1,8 1200 + 0,8 300

x =

%

=

= 1,45 ÷åë.

∑ n

j

3000

Найдем среднюю из групповых дисперсий:

∑σj2nj

1,22

1500 + 2,52 1200 + 0,52

300

2

σx =

∑ nj

=

= 3,245.

3000

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,95;

Ô0(z) = 0,95 / 2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком z Ф0(z) = 0,475.

Ô0(1,96) = 0,475. Следовательно, z = 1,96.

Найдем предельную ошибку выборки:

∆x	= z	σx2		−	n
		n	1				;
					N

∆x	= 1,96				3,245		−	3000		= 1,96 0,0312 = 0,0612.
						1
					3000			30000
X	− ∆x	<		< X + ∆x ;
			X
%					%

1,45 − 0,0612 < X < 1,45 + 0,0612;

1,3888 < X < 1,5112.

Ответ. С вероятностью 0,95 можно ожидать, что среднее число детей в семье в трех районах находится в интервале от 1,3888 до 1,5112 чел.

257

Пример 7.8. Для выявления причин простоев был проведен хронометраж рабочего дня 10 % рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производился с помощью собственно-случайного бесповторного отбора. В результате анализа выборочных данных была выявлена доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий:

	Номер	Число рабочих	Удельный вес простоев из-çà
			несвоевременного поступления
	öåõà	в выборке, чел.
			комплектующих изделий, %
	1	20	5
	2	36	10
	3	14	15
	4	30	2
	Итого	100	–

С вероятностью 0,95 определить границы доверительного интервала доли простоев на предприятии из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий.

Решение

По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью типического отбора пропорционального объему групп.

Объем выборки n = 100 чел., т.е. выборка — большая.

Найдем границы доверительного интервала доли простоев на предприятии из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий.

По условию: n = 100; N = 1000; ã = 0,95. Используем формулу:

Pw − z

	σw2			n
			−			< p < w + z
		1
	n			N

2
σw 1		−	n		= 2Φ		(z) = γ.
						0
n			N

ãäå σw2 — средняя из групповых дисперсий выборочной доли. Найдем среднюю выборочную долю простоев из-за несвоевре-

менного поступления комплектующих изделий в четырех цехах:

		=	∑ wjnj	=	0,05 20 + 0,1 36 + 0,15 14	+ 0,02	30	= 0,073.
	w		∑nj
					100

258

Дисперсия выборочной доли в i-й типической группе определяется по формуле

σj2 = wj (1 − wj ).

Для первого цеха она составит: σ12 = 0,05 (1 − 0,05) = 0,0475,

для второго — σ22 = 0,1 (1 − 0,1) = 0,09, для третьего — σ32 = 0,15 (1 − 0,15) = 0,1275,

для четвертого — σ42 = 0,02 (1 − 0,02) = 0,0196.

Найдем среднюю из групповых дисперсий выборочной доли:

					k
					∑σj2nj
	σw2	=		=	j=1	=
			w(1 − w)
					k
					∑ nj
					j=1

= 0,0475 20 + 0,09 36 + 0,1275 14 + 0,0196 30 = 0,0656. 100

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,95;

Ô0(z) = 0,95 / 2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком z Ф0(z) = 0,475.

Ô0(1,96) = 0,475. Следовательно, z = 1,96.

Найдем предельную ошибку выборки:

∆w

= z

σw2

1

−

n

= 1,96

0,0656

1

−

100

= 1,96 0,0243 = 0,0476.

n

100

1000

N

Предельная ошибка выборочной доли w − ∆w < p < w + ∆w;

0,073 −0,0476 < p < 0,073 + 0,0476;

0,0254 < p < 0,1206.

Ответ. С вероятностью 0,95 можно ожидать, что доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий находится в интервале от 0,0254 до 0,1206.

259

Пример 7.9. В трех населенных пунктах 10 тыс. семей. В первом — 5 тыс.; во втором — 1 тыс.; в третьем — 4 тыс. семей. Для определения среднего размера семьи в трех населенных пунктах проектируется типическая выборка, пропорциональная объему групп, со случайным бесповторным отбором внутри типических групп.

Определить объем выборки (количество семей), чтобы с вероятностью 0,987 ошибка выборки при определении среднего размера семьи не превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что средняя из групповых дисперсий размера семьи равна 9.

Решение

Äàíî: ∆x = 0,5; σx2 = 9; ã = 0,987; N =10000.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп:

	nx =	z2σx2N				.
		∆2xN + z2σx2

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,987;

Ô0(z) = 0,987 / 2 = 0,4935.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем при каком z Ф0(z) = 0,4935.

Ô0(2,48) = 0,4935. Следовательно, z = 2,48.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

= 2,482 9 10000 =

nx 0,52 10000 + 2,482 9 216,6.

Так как n — целое число, а также учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо обследовать не менее 217 семей. Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0,987 ошибка выборки

при определении среднего размера семьи не превышала 0,5 человека, необходимо обследовать не менее 217 семей.

260