statistika_проц_22

Если два ряда динамики описывают темпы роста различных статистических показателей за один и тот же период времени, то с помощью коэффициентов опережения можно проанализировать, во сколько раз быстрее растет (отстает) уровень одного ряда динамики по сравнению с другим. В этом случае коэффициенты опережения темпов роста рассчитываются как отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Например, превышение темпов роста объема вложений банка в ценные бумаги над темпами роста активов банка свидетельствует о высоком уровне инвестиционной активности банка и может служить одним из показателей, характеризующим надежность банка.

Пункты роста представляют собой разность базисных темпов роста двух смежных периодов или моментов времени. Они показывают, на сколько процентных пунктов увеличился или уменьшился рост i-го уровня ряда по сравнению с ростом (i – 1)-го уровня ряда по отношению к базисному периоду. Пункты роста рассчитываются по формуле:

y

y

y

− y

i−1

∆ö

P

= T

á − Tá

=

i

100 % −

i−1

100 % =

i

100 % =

i 100 %.

i

i

i−1

y0

y0

y0

y0

(9.14)

Особенность пунктов роста состоит в том, что они рассчитываются по отношению к одной и той же базе (базисный уровень ряда). Это позволяет суммировать пункты роста, получая в результате базисный темп прироста соответствующего периода.

Кроме относительных показателей любой динамический процесс можно описать таким показателем, как абсолютное значение одного процента прироста. Этот показатель дополняет анализ динами- ческого ряда и рассчитывается как отношение абсолютного прироста i-го уровня ряда и темпа прироста этого уровня ряда.

á

Ƈi

yi − y0

Базисный

1%∆i

= TƇi

=

= 0,01y0 .

(9.15)

yi − y0

100%

y0

ö

∆öi

yi − yi−1

Цепной

1%∆i

= Tö

=

= 0,01yi−1 .

(9.16)

yi

− yi−1

∆i

100%

yi−1

331

Абсолютное значение одного процента прироста показывает, сколько составляет 1 % прироста в единицах измерения уровней ряда. Например, если у рассматриваемых предприятий темп прироста доходов составляет 5 % за анализируемый период, но у первого предприятия величина абсолютного прироста доходов за этот период составляет 100 тыс. руб., а у второго — 10 тыс. руб., тогда абсолютное значение одного процента прироста для первого предприятия равно 20 тыс. руб., а для второго — 2 тыс. руб. Из примера видно, что, несмотря на одинаковые темпы роста доходов, у этих предприятий имеются существенные различия, которые могут проявляться в масштабе деятельности предприятия, занимаемой доли рынка и прочих характеристиках.

Обобщающим показателем ряда динамики является средний уровень ряда. Он показывает среднее значение статистического показателя, сложившееся в анализируемом периоде, и имеет те же единицы изменения, что и уровни динамического ряда. Формула для расчета среднего уровня ряда динамики определяется видом ряда.

Для интервального ряда динамики средний уровень ряда рассчи- тывается по формулам средней арифметической простой и взвешенной (таблица 9.15). Формула средней арифметической простой (формула 9.17) используется в рядах динамики с равноотстоящими уровнями. Применение формулы средней арифметической взвешенной (формула 9.18) для расчета среднего уровня динамического ряда с неравноотстоящими уровнями связана с выбором весовых показателей. В качестве весов здесь выступают промежутки времени между наблюдениями, кратные периодам, за которые собраны значения признака в ряду.

Для моментного ряда динамики средний уровень ряда рассчитывается по формулам средней хронологической простой и взвешенной (таблица 9.15). Формула средней хронологической простой (формула 9.19) применяется в случае ряда динамики с равноотстоящими уровнями, формула средней хронологической взвешенной (формула 9.20) — при неравноотстоящих уровнях ряда, причем весами выступает продолжительность промежутка времени между моментами наблюдений. Например, если динамический ряд представляет собой информацию об остатках денежных средств на счете клиента банка на различные моменты времени (дни) 2007 года, то при рас- чете среднего уровня ряда весами выступают количество дней между уровнями ряда.

332

Таблица 9.15

Формулы расчета среднего уровня ряда

Âèä ðÿäà

Формула расчета среднего уровня ряда

динамики

È

n

í

С равноот-

∑ yi

ò

(9.17)

стоящими

i =1

å

y =

,

уровнями

n

ð

ãäå n — количество уровней ряда

â

à

ë

n

ü

∑ yi ki

í

= i =0

(9.18)

С неравноот-

y

,

û

n

é

стоящими

∑ki

уровнями

i =1

ãäå ki

— продолжительность периода времени, в течение

которого уровень не изменялся

y1

+ y2 +K + yn−1 +

yn

=

2

=

2

С равноот-

y

n −1

стоящими

yn−1 + yn

(9.19)

Ì

y1 + y2

y2 + y3

уровнями

+

+

+

K

ì

=

2

2

2

î

å

n −1

í

n−1

ò

∑(yi + yi +1 ) ki

í

=

i =1

=

y

û

С неравноот-

n−1

2∑ki

é

стоящими

(9.20)

уровнями

i =1

(y1 + y2 ) k1 + (y2 + y3 ) k2 +K + (yn−1 + yn ) kn−1

=

2 (k1 + k2 +K + kn−1 )

Таблица 9.16

Динамика остатка денежных средств на счете клиента банка

в 2007 году, тыс. рублей

Äàòà

01.01.

15.02.

5.03.0

10.05.

27.07.

09.09.

01.11.

01.01.

(начало

07

07

7

07

07

07

07

08

äíÿ)

Остаток

денежных

160,0

155,0

172,8

136,5

170,7

190,2

210,0

170,6

средств

333

Средний остаток на счете клиента банка в 2007 году (средний уровень ряда) находится по формуле средней хронологической взвешенной и составляет:

			=		1	[(160,0 +155,0) 45 + (155,0 +172,8) 18 +
		y
					365
	2

+(172,8 +136,5) 66 + (136,5 +170,7) 78 +

+(170,7 + 190,2) 44 + (190,2 + 210,0) 53 +

+(210,0 + 170,6) 61] = 170,9 òûñ. ðóá.

Расчет среднего уровня моментного динамического ряда с неравноотстоящими уровнями по формуле средней хронологической взвешенной можно производить в том случае, когда в периоды времени, за который нет информации, значение изучаемого признака не менялось.

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления в целом за анализируемый период определяют средние показатели изменения уровней ряда: средний абсолютный прирост, средние коэффициенты (или темпы) роста и прироста, среднее абсолютное значение одного процента прироста. Средние показатели изменения уровней ряда рассчитываются как на основе цепных, так и на основе базисных показателей изменения уровней ряда.

Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая из цепных абсолютных приростов ряда:

			n−1
			∑ ∆i		∆n			yn − y1
			i=1							(9.21)
	∆ =		n −1	= n −1			=	n −1	.

Для динамического ряда численности населения РФ за 2003– 2007 годы, приведенного в таблице 9.11, средний абсолютный прирост численности населения равен

∆ = −0,8 − 0,7 − 0,7 − 0,6 − 0,2 = −3,0 = −0,6 млн человек в год.

5

5

Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста ряда:

		= n−1 K1ö K2ö K Knö−1	= n−1 Kná = n−1	yn	.
	K					(9.22)
				y1

334

Средний коэффициент роста показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменялись уровни динамического ряда.

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах.

T

=

K

100 %.

(9.23)

Средние коэффициент и темп роста являются обобщенными показателями интенсивности развития явления за длительный период времени, поэтому имеют важное значение при выявлении и описании долговременной тенденции развития.

По данным о динамике среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работающих в РФ за 2002–2007 годы, приведенные в таблице 9.12, средний коэффициент роста среднемесячной

зарплаты в год равен K = 5 1,261 1,226 1,269 1,243 1,272 = 1,254 ,

а средний темп роста составляет 125,4 % в год.

Средние коэффициент и темп прироста рассчитываются на основе средних коэффициента и темпа роста:

			K∆		=		K	−1.	(9.24)
		=				−100 %.
	T∆			T					(9.25)

Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем за единицу времени изменялись уровни динамического ряда.

Средний коэффициент прироста среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работающих в год в течение анализируемого периода составил K∆ = 0,254, а средний темп прироста составляет 25,4 % в год.

Среднее абсолютное значение одного процента прироста можно рассчитать по формуле:

			=		∆		.
		1%∆						(9.26)
				T∆

На практике применение средних показателей изменения уровней ряда позволяет получить хорошие результаты в случае более или менее постоянного изменения уровней. В случае сильной колеблемости уровней ряда использование средних показателей может дать искаженное представление о средней интенсивности изменения уровней ряда. В таких случаях предлагается рассчитывать

335

средние коэффициенты роста и прироста после некоторого предварительного преобразования динамического ряда (например, выравнивание уровней).

Особую осторожность при применении средних абсолютных приростов или средних темпов роста (прироста) следует соблюдать в тех случаях, когда в ряду наблюдается резкое изменение существующей тенденции развития признака. В этом случае средние показатели изменения уровней ряда не будут информативными.

9.4. Компоненты временных рядов

При исследовании временных рядов экономических показателей выделяют составляющие, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Основными структурообразующими элементами являются:

■тенденция (тренд) — T,

■циклические колебания — C,

■сезонные колебания — Se,

■случайные колебания — U.

Пусть временным рядом является последовательность y1, y2, ..., yi, ..., yn. Первые три составляющие часто объединяют в одну детерминированную и рассматривают модель ряда в виде yi = f + ui.

Тренд соответствует медленному долговременному изменению, обусловленному ростом популяции, технологическими процессами и другими долговременными воздействиями.

Циклическая (конъюнктурная) составляющая является результатом действия факторов, циклически изменяющихся со временем, т.е. содержащих возрастающие и убывающие фазы. Характерным примером служат циклы деловой активности, демографические, инвестиционные и т.п. Циклическое изменение не обязательно периодично.

Сезонная составляющая обусловлена действием некоторого периодически повторяющегося в определенное время года, месяца, недели или суток механизма, связанного с сезонами или ритмами человеческой активности. Период таких колебаний (в отличие от циклических) не превышает года.

Случайная составляющая не поддается учету и регистрации, образована в результате суперпозиции большого числа внешних факторов, не участвующих в формировании детерминированной составляющей.

336

Предметом анализа временного ряда является выделение и изу- чение указанных компонент ряда, как правило, в рамках одной из моделей ряда, либо аддитивной yi = T + C + Se + U, либо мультипликативной yi = T C Se U, либо смешанной yi = T C Se + U. Выбор модели ряда выполняется априорно, исходя из предварительного анализа динамики процесса: если амплитуда колебаний остается примерно постоянной, имеет место аддитивная модель; если амплитуда колебаний увеличивается (уменьшается) со временем, то имеет место мультипликативная модель.

Некоторые составляющие могут отсутствовать в тех или иных рядах. В результате анализа временного ряда необходимо определить, какие из неслучайных составляющих присутствуют в разложении ряда, построить для них хорошие оценки, подобрать модель, описывающую поведение остатков и оценить ее параметры.

Отметим, что наличие случайной составляющей предполагается во всех временных рядах, отражающих динамику экономических явлений.

9.5.Моделирование тенденции развития

èвыделение сезонных колебаний

Целью анализа временного ряда является, в первую очередь, подбор модели, которой следуют уровни ряда. Поскольку мы исходим из аддитивной или мультипликативной модели, согласно которым ряд содержит несколько компонент, то представляется адекватным изучение методов моделирования трендовой и периодической составляющих временного ряда.

Для выявления тенденции развития используется распространенный прием сглаживания временного ряда, т.е. очистки временного ряда от искажающих эту тенденцию случайных отклонений. При этом методы сглаживания можно условно разделить на две группы: аналитические, основанные на известном виде функции, описывающей неслучайную компоненту; алгоритмические — не предполагающие точного знания вида функции fi и задающие только алгоритм определения значений этой функции в заданной точке i. К первому классу относятся рассматриваемые в текущем разделе модели кривых роста, ко второму — метод скользящих средних, которому посвящен следующий раздел.

337

Простейшим приемом выявления тенденции является укрупнение интервалов, состоящее в замене данных, имеющих отношение к мелким временным периодам, данными по более крупным периодам. Например, можно заменить суточные данные недельными или декадными, декадные — месячными. Это позволит более от- четливо показать «ось развития явления».

Например, объем продажи валюты на биржах меняется изо дня в день под влиянием самых разнообразных факторов, включая и чисто случайные. Относительно меньшую колеблемость обнаруживают недельные объемы продажи валюты, еще меньшую — месяч- ные и далее квартальные. Объединив мелкие интервалы в крупные, мы погасим часть случайной колеблемости и получим возможность более отчетливо показать основное направление развития событий на валютных биржах.

Недостатком этого приема является то, что с переходом к более крупным интервалам длина ряда сильно укорачивается. Поэтому, имея очень короткий ряд, выявить с его помощью какую-либо тенденцию развития невозможно. Таким образом, применение этого приема приходится ограничить лишь теми случаями, когда исходный временной ряд достаточно длинен. Когда, например, имеются данные не за одну неделю или декаду, а за все рабочие дни месяца или квартала.

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных, характеризующих развитие во времени исследуемого явления. Это средство удобно и для прогнозирования.

Суть метода кривых роста состоит в аппроксимации (приближении) значений наблюдаемого показателя некоторой функцией (кривой роста), содержащей неизвестные параметры, которые находятся по имеющемуся ряду значений показателя. Прогноз выполняется путем нахождения значения полученной функции в соответствующей точке.

Процесс разработки прогноза с использованием кривых роста состоит из следующих основных этапов:

■выбор типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;

■идентификация числовых значений (оценивание) параметров кривой;

338

■проверка адекватности выбранной кривой и оценка точности модели;

■расчет прогноза.

Задача выбора типа кривой является основной при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям, чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.

Для выравнивания динамических рядов наиболее часто применяются следующие группы функций, большинство из которых может быть сведено к линейным1 : I) функции, описывающие монотонный характер тенденции развития; II) кривые с пределом роста в исследуемом периоде (кривые насыщения); III) S-образные кривые, описывающие два последовательных лавинообразных процесса.

Из функций первой группы выделим класс полиномов:

y	= a	+ a	t + ... + a t p + u		,	(9.27)
t	0	1	p	t

ãäå ai (i = 0, …, p) — параметры полинома, t — здесь и далее — время.

Полином первой степени отражает равномерное во времени возрастание или убывание значений ряда. Полином второй степени может выражать тенденцию возрастания и последующего убывания значений ряда или наоборот и т.д. Обычно p мало по сравнению с n. При этом a1 представляет оценку скорости роста, a2 — ускорения роста, a3 — изменения ускорения. Обычно в экономических исследованиях порядок полинома p не превышает трех. Вопрос о степени полинома решается для каждой задачи отдельно на основе проверки гипотез о равенстве нулю коэффициентов при старших степенях в формуле (9.27) до тех пор, пока гипотеза о равенстве нулю коэффициента ap отклоняется.

Для получения оценок коэффициентов в формуле (9.27) используется метод наименьших квадратов (МНК). Обозначим yt расчетное значение. Тогда

n

∑( t − t )2 → min . y

y

t=1

Âрезультате минимизации указанного выражения получаем систему нормальных уравнений:

1 Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: Учеб. пособие. — М.: ЮНИТИ, 2003.

339

	n	n				n			n
∑ yt		= a0n + a1 ∑ t + a2				∑ t2 + ... + ap ∑tp ,
t=1		t=1				t=1			t=1
	n	n		n	2	n	3		n	p+1	,
∑ ytt = a0 ∑ t + a1				∑ t		+ a2 ∑ t		+ ... + ap ∑ t
t=1		t=1		t=1		t=1			t=1		(9.28)
...
	n	n				n		n			n
∑ yttp−1 = a0 ∑ tp			−1 + a1			∑ tp + a2		∑ tp+1 + ... + ap ∑ t2p−1,
t=1		t=1				t=1		t=1			t=1
	n	n		n			n				n
∑ yttp = a0 ∑ tp + a1 ∑ tp+1 + a2 ∑ tp+2 + ... + ap ∑ t2p .
	=	=		=			=				=
t 1		t 1		t	1		t	1		t 1

Система состоит из (p + 1) линейных уравнений. Решение системы дает оценки искомых коэффициентов.

В частности, для нахождения параметров линейного тренда

yt = a0 + a1t система (9.28) упрощается и имеет вид

∑ yt = a0n + a1		∑t,
n		n
t=1		t=1
n	n		n
∑ ytt = a0	∑t + a1		∑t2 .
t=1	t=1		t=1

Решение системы дает оценки параметров линейного тренда:

a =	n∑ ytt − ∑ yt ∑t			, a =	∑ yt	− a	∑t
	t	t	t		t		t	.
1	2		2	0	n	1 n
	n∑ t	−	∑t
	t		t

Для параболического тренда p = 2 и yt = a0+ a1t + a2t2 получаем

	n			n		n
∑ yt = a0n + a1 ∑t + a2						∑ t2,
t=1		= a	∑t	t=1	∑t2	t=1	,
∑ y t				+ a		+ a ∑ t3
	n		n		n	n
	t	0		1		2
t=1			t=1		t=1	t=1
	n		n		n	n
∑ ytt2 = a0 ∑ t2 + a1 ∑t3 + a2 ∑ t4 .
t=1			t=1		t=1	t=1

Решение системы дает оценки параметров параболы.

340