statistika_проц_22

Пример 7.10. Для выявления причин простоев 1000 рабочих предприятия необходимо провести типическую выборку по различным цехам.

Определить количество рабочих, которое необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0,99 предельная ошибка выборки при оценивании доли целодневных простоев не превысила 5 %, если на основе предыдущих исследований известно, что средняя из групповых дисперсий доли целодневных простоев составляет 0,16.

Решение

Äàíî: ∆w = 0,05; σw2 = 0,16; ã = 0,99; N = 1000.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп:

nw =	z2σ2 N					.
		w
	∆2wN + z2
				σw2

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,99;

Ô0(z) = 0,99 / 2 = 0,495.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем при каком z Ф0(z) = 0,495.

Ô0(2,58) = 0,495. Следовательно, z = 2,58.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

		2,582 0,16 1000		÷åë.
	nw =	0,052 1000 + 2,582 0,16 = 298,7

Так как n — целое число, а также учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, n ≈ 299.

Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0,99 и предельной ошибкой 0,05 с помощью типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп, определить искомую долю целодневных простоев, необходимо обследовать не менее 299 чел.

261

´Контрольные вопросы к главе 7

1.В чем состоит преимущество выборочного метода перед другими видами статистического наблюдения?

2.В чем состоит принцип случайности отбора?

3.Каковы причины и условия применения выборочного наблюдения?

4.Опишите ошибки регистрации и репрезентативности (систематические и случайные).

5.В чем состоят требования, предъявляемые к статистическим оценкам?

6.Является ли исправленная выборочная дисперсия несмещенной оценкой генеральной дисперсии?

7.Какими параметрами определяется интервальная оценка?

8.Что такое стандартная ошибка выборки? От чего зависит алгоритм ее расчета?

9.Чем определяется кратность ошибки?

10.Чем отличаются большая и малая выборки?

11.Из каких формул выводятся формулы расчета необходимой численности выборки?

12.В чем отличия повторного и бесповторного отбора?

13.Опишите особенности организации собственно-случайного (простого случайного) отбора.

14.В чем состоят преимущества серийной выборки перед соб- ственно-случайной?

15.В чем состоят преимущества типического отбора перед соб- ственно-случайным?

þТесты для самопроверки к главе 7

1. Фундаментальным принципом выборочного метода является:

1)изучение всех элементов, попавших в выборку;

2)случайность отбора элементов из генеральной совокупности в выборочную;

3)изучение некоторой части элементов, попавших в выборку;

4)направленность отбора элементов из генеральной совокупности в выборочную.

262

2.Если элементы из генеральной совокупности в выборочную отбираются с помощью жребия, то имеет место:

1) серийный отбор;

2) механический отбор;

3) типический отбор;

4) собственно-случайный отбор.

3.Систематические ошибки репрезентативности возникают вследствие:

1) искажения сигналов в каналах связи;

2) нарушения научных принципов отбора;

3) ошибок в вычислении предельной ошибки выборки;

4) слишком большого объ¸ма выборки.

4.Стандартная ошибка выборки для средней при собственнослучайном повторном отборе определяется по формуле:

1)µ = σ ; n

2)µ = z2 σ ; n

3)µ = σ ; m

4) µ = w(1 − w)2 . n

5. Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

1)∆ = z + µ;

2)∆ = µz ;

3)∆ = z µ;

4)∆ = zµ2 .

6. Найдите значение предельной ошибки выборки (∆) при заданных значениях z = 2; n = 100; σ = 5:

1)10;

2)2;

263

3)3,5;

4)1.

7. Найдите границы доверительного интервала неизвестного значения генеральной средней, если ∆ = 2, à x% = 10:

1)8 ≤ X ≤ 12;

2)5 ≤ X ≤ 8;

3)10 ≤ X ≤ 12;

4)8 ≤ X ≤ 10.

8. Найдите границы доверительного интервала неизвестной генеральной доли, если выборочная доля составляет 0,5; z = 1; n = 100:

1)0,400 ≤ ρ ≤ 0,425;

2)0,250 ≤ ρ ≤ 0,500;

3)0,000 ≤ ρ ≤ 0,250;

4)0,495 ≤ ρ ≤ 0,505.

9. Статистическая оценка является несмещенной, если:

1)ее дисперсия достаточно велика;

2)ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности;

3)ее ожидаемое значение стремится к параметру генеральной совокупности;

4)она содержит всю информацию об оцениваемом параметре.

10.Генеральная дисперсия имеет:

1) две точечных оценки;

2) только одну точечную оценку;

3) множество точечных оценок;

4) три точечных оценки.

11.Малая выборка — это выборка объемом:

1) 50 единиц;

2) до 30 единиц;

3) до 100 единиц;

4) не более 50 единиц.

264

12. В условиях малых выборок стандартная ошибка выборки для средней при собственно-случайном повторном отборе определяется по формуле:

1)	µ = t2 σ ;
					n
2)	µ =		w(1 − w)2				;
					n
3)	µ = t2				σ	;
					n
4)	µ =	s			.
			n

13.В каких границах будет находиться неизвестное значение генеральной средней при построении 95 %-го доверительного интервала?

1) Χ% ± 3µ;

2) Χ% ± 1,96µ;

3) Χ% ± 2,58µ;

4) Χ% ± 1,65µ.

14.Как определяются границы доверительного интервала при

оценке неизвестной генеральной доли, при условии, что n ≥ 30 ?

1)w − t µ ≤ p ≤ w + t µ;

2)w − µ ≤ p ≤ w + µ;

3)w − µt ≤ p ≤ w + µt ;

4)w − t ≤ p ≤ w + t.

15. Как определяются границы доверительного интервала при оценке неизвестной генеральной средней, если n ≥ 30 ?

1)Χ% − zµ ≤ Χ ≤ Χ% + zµ;

2)Χ% − zx ≤ Χ ≤ Χ% + zx;

3)Χ% −z σn ≤ Χ ≤ Χ% + z σn ;

4) Χ% − z ≤ Χ ≤ Χ% + z .

nn

265

@Контрольные задания к главе 7

1.Сколько нужно обследовать с помощью собственно-случайно- го бесповторного отбора пенсионеров поселка, чтобы с надежностью 0,95 ошибка в определении их среднего возраста не превысила 1 года, если всего в поселке проживает 200 пенсионеров, а опыт аналогичных обследований показывает, что среднее квадратическое отклонение составляет 4,6 года?

2.На основе тщательного изучения собственно-случайной выборки объемом 868, извлеченной из 11013 хранящихся на складе контейнеров, обнаружено, что 30,6 % контейнеров не готовы к отгрузке. С надежностью 0,99 определите границы доверительного интервала доли контейнеров, не готовых к отгрузке во всей совокупности.

3.Из списка 729 участников круиза с помощью собственно-слу- чайного бесповторного отбора опрошено 25 человек. Из них 21 че- ловек заявили, что остались «очень довольны» предоставленным обслуживанием. С надежностью 0,95 определите границы доверительного интервала доли всех участников круиза, оставшихся «очень довольными» предоставленным обслуживанием.

4.Анализ собственно-случайной повторной выборки записей о 50 пациентах, недавно посетивших клинику, свидетельствует, что средняя стоимость одного визита к врачу составляет $53,01 со стандартным отклонением $16,48. Определите границы 95 %-ного доверительного интервала средней стоимости одного визита к врачу.

5.Сколько нужно отобрать экземпляров газеты из общего тиража в 10000 экземпляров, чтобы с надежностью 0,95 и ошибкой не более 1 % определить границы доверительного интервала доли бракованных экземпляров, если аналогичные обследования показывают, что доля брака составляет обычно 3 %?

6.Ниже приведено содержание кофеина (в мг) в механически отобранных чашках кофе: 112,8, 86,4, 45,9, 110,3, 100,3, 93,3, 101,9, 115,7, 92,5, 117,3, 105,6, 81,6.

266

С надежностью 0,90 найдите границы доверительного интервала среднего содержания кофеина в чашке кофе в генеральной совокупности.

7.Из 48 одинаковых грузовых автомобилей, каждый из которых перевозил по 800 единиц одного и того же товара, с помощью механического отбора отобрано 10 автомобилей с целью тщательной проверки целостности упаковки находящегося в них товара. Сплошной контроль качества показал, что целостность упаковки была нарушена, соответственно, на 9, 10, 10, 7, 10, 10, 5, 8,10 и 5 единицах товара. Оцените границы 95 %-ного доверительного интервала доли единиц товара с нарушенной упаковкой во всей партии поступившего товара.

8.На склад фирмы, торгующей мебелью, поступило 500 одинаковых комплектов с зеркалами по 5 зеркал в каждом. Сколько нужно отобрать комплектов, чтобы с вероятностью 0,95 и ошибкой не более 2 % определить долю битых зеркал, если межсерийная дисперсия доли равна 0,15? Стоит ли проводить выборочное обследование?

9.Фирма, торгующая строительными материалами, получила 250 упаковок керамической плитки по 50 штук в каждой. Сколько нужно отобрать упаковок, чтобы с вероятностью 0,92 и ошибкой не более 1% определить долю бракованной плитки, если межсерийная дисперсия доли равна 0,2?

10.Из партии поступившего в универсам пива, составляющей 500 упаковок по 24 банки в каждой, извлечена механическая выборка 20 упаковок. Средний срок хранения составил 58 дней с межсерийной дисперсией — 9,8 дня. С надежностью 0,95 определите границы доверительного интервала среднего срока хранения пива во всей партии.

11.Генеральная совокупность разбита на 200 серий по 30 единиц, из которых в случайном порядке отобрано 5 серий. Выбороч- ные средние составили: 7,1, 5,2, 6,3, 6,4, 6,9. Определите границы 95%-ного доверительного интервала генеральной средней.

12.Крупная торговая фирма имеет 2 магазина, продающих обыч- ные и дорогие костюмы. Руководство фирмы хотело бы знать сред-

267

ний размер покупок постоянных клиентов фирмы в текущем году. Для этого решено использовать типическую выборку с пропорциональным отбором единиц. Основа выборки — список имен и адресов клиентов, имеющих дисконтные карты двух магазинов. 9000 потенциальных покупателей имеет дисконтные карты магазина, торгующего обычными костюмами, и 1000 — магазина, торгующего дорогими костюмами.

5 %-ная пропорциональная собственно-случайная бесповторная выборка из типических групп дала следующие результаты. Средний размер средств, планируемый постоянными покупателями обыч- ных костюмов на покупку одежды в этом году, составляет $60 со средним квадратическим отклонением — $10. У постоянных покупателей дорогих костюмов эти выборочные статистики, соответственно, составили $450 и $60.

С надежностью 0,954 определите границы доверительного интервала средних затрат, планируемых постоянными покупателями одежды в этом году.

13.Из 5000 выпускников общеобразовательных школ 500 человек составляют выпускники классов с естественно-научным уклоном, 900 человек — с гуманитарным уклоном и 3600 — обычных классов. 10 %-ная механическая бесповторная выборка из типических групп показала, что на дневные отделения экономических специальностей вузов в этом году из классов с естественно-научным уклоном собирается поступать 10 % выпускников, из классов с гуманитарным уклоном — 30 %, из обычных классов — 25 %.

С надежностью 0,96 определите границы доверительного интервала доли абитуриентов, планирующих поступать на дневные отделения экономических специальностей вузов.

14.Для определения средней месячной зарплаты продавцов магазинов компьютерной техники была произведена 10 %-ная типи- ческая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Результаты выборки представлены в таблице.

	Òèï	Средняя	Среднее	Число продавцов,
		заработная	квадратическое
	магазина			÷åë.
		плата, $	отклонение, $
	Крупные	200	10	20
	Средние	180	8	50
	Мелкие	150	5	100

268

С надежностью 0,954 определите границы доверительного интервала средней месячной зарплаты всех продавцов магазинов компьютерной техники.

15. В фирме 500 сотрудников. Из них 200 — со стажем 10 лет и более и 300 — менее 10 лет. С целью определения доли курящих сотрудников предполагается провести типическую пропорциональную выборку. Какое количество сотрудников необходимо отобрать из всей совокупности, а также из каждой группы, чтобы с надежностью 0,9 ошибка выборки не превышала 5 %? Аналогичные обследования показывают, что средняя из групповых дисперсий составляет 0,24.

269

Так она разговаривала и спорила сама с собой, принимая то одну сторону, то другую. Беседа полу- чалась очень интересная…

Льюис Кэрролл. Алиса в зазеркалье

Глава 8

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Изучив тему, студент должен знать

■особенности законов распределения Стьюдента, хи-квадрат, Фишера, сферу их применения в математической статистике;

■понятие статистических гипотез, их виды, ошибки I и II рода, понятие об уровне значимости;

■виды критических областей; виды параметрических и непараметрических гипотез;

■алгоритм проверки статистических гипотез;

■статистические критерии проверки гипотез о форме распределения, о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнения исправленной выборочной дисперсии с предлагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности, о равенстве двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки), о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей, о равенстве двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны и одинаковы (малые независимые выборки), о равенстве выборочной средней с предполагаемой

генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии, о равенстве двух долей;

уметь

■пользоваться таблицами распределений Стьюдента, хи-квадрат, Фишера;

■формулировать нулевую и конкурирующую гипотезы, устанавливать уровень значимости; определять тип критической области; выбрать критерий проверки статистических гипотез;

■осуществить проверку гипотез о форме распределения, о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнение исправленной выборочной дисперсии с предполагаемой генеральной диспер-

270